黃文虎

摘要：認真研究高考試題，活化高考試題，舉一反三，觸類旁通，可以使高三數(shù)學課堂教學豐富、鮮活、高效，精彩紛呈。

關鍵詞：三角函數(shù)；高考選擇題；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）04-0124

導數(shù)在研究函數(shù)中的應用是高考的熱點、重點和難點，在很多省市的高考說明中明確確定利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值和最值，對于多項式函數(shù)不超過三次。

一、探析

2013年新課標全國卷Ⅱ第10題更是全面揭示了三次函數(shù)的圖象和性質

【例1】 （2013·新課標全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（ ）。

A. x0∈R，f（x0）=0

B. 函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C. 若x0是f（x）的極值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，x0）上單調遞減

D. 若x0是f（x）的極值點，則f ′（x0）=0

所以為選擇題，C，D選項的真假比較容易判斷，例如函數(shù)y=x3-3x的極大和極小值點分別是x=-1，或x=1，但y=x3-3x在（-∞，-1）和（-∞，1）上并不是單調遞減的，C選項是錯誤命題，故選C。若f（x）是（-∞，+∞）上可導函數(shù)，且在x=x0處取得極值，則一定有f ′（x0）=0，因此D選項是正確命題。（但應注意一般來說“函數(shù)y=f（x）在x=x0處取到極值”是“f ′（x0）=0”的既不充分也不必要條件，比如函數(shù)y=|x|在x=0處取到極小值但y=|x|在x=0處不可導，再如y=x3在x=0處的導數(shù)y′|x=0=0，但y=x3在x=0處不存在極值。

而對于A，B兩個選項的真假很多學生是難以把握的，對于選項A，由于f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上是可導函數(shù)，又limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=+∞；limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=-∞，因此f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上一定是存在零點的（零點的個數(shù)可以是1，2，3）；一般情況下，對于選項B正誤的判斷，教師和學生是很少看到的，下面是選項B的判斷過程：

其實在前些年的高考題中，也不乏對三次函數(shù)圖象是中心對稱圖形的考查.

【例2】已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）在x=s，x=t處取到極值，其中a>0，b>0，設A（s，f（s））B（t，f（t）），求證AB中點M在曲線y=f（x）上。

證明：由已知f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，

f ′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

f ′（s）=0，f ′（t）=0，

即3s2-2（a+b）s+ab=0 ①3t2-2（a+b）t+ab=0 ②

即A（s，f（s）），B（t，f（t））中點M在曲線y=f（x）上還可證明M是曲線y=f（x）的對稱中心，這問題給出了已知極值求函數(shù)圖象對稱中心的方法。

【例3】已知f（x）=x3-x。

（1）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程；

（2）設a>0，如果過點P（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明-a

解（1）f ′（x）=3x2-1，f ′（t）=3t2-1

曲線y=f （x）在點M（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=（3t2-1）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3

第（1）問求過三次函數(shù)圖象上一點的切線方程，由

y=x3-xy=（3t2-1）x-2t3，

聯(lián)之消去y，可得（x-t）2（x+2t）=0，

因此，當t=0時，x=0；當t≠0時，x=t或x=-2t，

由此，可知道：（1）過平面內(nèi)一點P作三次函數(shù)圖象的切線可以是一條，兩條或三條；（2）當P點在三次函數(shù)圖象上時，過三次函數(shù)圖象上一點作三次函數(shù)圖象的切線，切線可以是一條或兩條；當切線有且只有一條時，則P點就是三次函數(shù)圖象的對稱中心。

三、拓展

以上問題都揭示了三次函數(shù)圖象是中心對稱圖形，同時也給出了對稱中心的求法：（1）配方法；（2）利用極值點；（3）利用曲線的切線。由于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象的對稱（下轉第115頁）（上接第124頁）中心也恰好是拐點，也可由f ′（x）=0的解求出圖象的對稱中心。

近些年高考頻繁對三次函數(shù)進行了全方位的考查，筆者只是根據(jù)各地考題從一個側面和讀者分享對三次函數(shù)圖象和性質的認識和體會，我們有必要以研究三次函數(shù)的圖象和性質為依托，進一步研究多項式函數(shù)（2013年新課標全國卷Ⅰ第16題出現(xiàn)了四次函數(shù)）和類似于三次函數(shù)（如f（x）=（x2-2ax）ex，a≥0）等問題，以達到舉一反三、觸類旁通的目的。

參考文獻：

[1] 胡國生. 研究高考試題的五種視角[J].中學數(shù)學（教學參考），2013（11）.

[2] 孫向榮. 一類倍值函數(shù)問題的研究[J].中學數(shù)學（教學參考），2013（11）.

（作者單位：浙江省浦江縣第二中學 322200）