智常建，王三民，孫遠濤

運動副間隙對多桿鎖機構動力學特性的影響

智常建，王三民，孫遠濤

（西北工業(yè)大學機電學院，710072西安）

為降低因受力異常而出現(xiàn)飛機貨艙門意外打開的概率，詳細研究運動副間隙對多桿鎖機構動力學特性的影響.采用無質(zhì)量的等效間隙桿描述運動副的間隙，以拉格朗日動力學方程和螺旋理論為基礎建立了多桿鎖機構的動力學分析模型，并用MATLAB軟件編程對模型進行了求解分析.結果表明：桿的角速度、角加速度、驅(qū)動力矩和鉸鏈約束力對運動副間隙的大小比較敏感，在奇異位型附近受到的影響最大.間隙為10μm時，其對多桿鎖機構的動力學影響較??；間隙為100μm時，其對多桿鎖機構的動力學影響明顯增強.

運動副間隙；多桿鎖機構；螺旋理論；等效間隙桿；動力學特性

多桿鎖機構廣泛應用于飛行器的艙門中.多桿鎖機構出現(xiàn)鎖不緊或打不開的現(xiàn)象，大多是因為其受力出現(xiàn)了異常，而運動副間隙是造成多桿鎖機構受力異常的主要原因.運動副間隙對機構動力學性能的影響是機械學研究的熱點.考慮運動副間隙的機構動力學模型主要有三類［1］：“接觸-分離”的二狀態(tài)模型；“接觸-分離-碰撞”的三狀態(tài)模型；“連續(xù)接觸”的連續(xù)接觸模型（即等效間隙桿）.二狀態(tài)模型是由Dubowsky等［2-5］提出的，F(xiàn)unabashi等［6］以含間隙的四連桿為對象，對該模型進行了實驗驗證.周益君等［7］在兩狀態(tài)模型的基礎上，建立了三維運動副間隙，綜合考慮了桿件彈性對對桿機構的影響.三狀態(tài)模型最早由Miedema等［8］提出，Soong等［9］對其進行了實驗驗證，并進一步擴展了該模型.Earles等［10］最早建立了連續(xù)接觸模型，F(xiàn)uruhashi等［11］對考慮間隙的四連桿機構做了深入研究.白爭鋒等［12-13］建立了非線性的連續(xù)接觸碰撞力的混合模型，在嵌入ADAMS軟件中分析了運動副間隙對機構動態(tài)特性的影響.Tai等［14］采用無質(zhì)量的等效間隙桿描述間隙，以螺旋理論為基礎分析了運動副間隙對多桿機構運動靈敏度與定位誤差的影響.

雖然研究運動副間隙對桿機構動力學影響的文獻很多，但是直接以多桿鎖機構為研究對象的不多，只有劉霞［15］、Tai等［14，16］研究了桿長誤差對其運動精度及開鎖力影響的影響.本文采用無質(zhì)量的等效間隙桿描述運動副間隙，基于拉格朗日動力學方程和螺旋理論建立了理想多桿鎖機構和考慮間隙的多桿鎖機構的動力學特性分析模型，研究了不同間隙值下多桿鎖機構的運動規(guī)律、驅(qū)動力矩和運動副的約束反力，為多桿鎖機構的可靠性設計、性能評價和維護等提供參考依據(jù).

1 多桿鎖機構及其運動簡圖

多桿鎖機構是典型的瓦特I型機構，運動簡圖如圖1.該機構由兩個平面四桿機構組成，工作過程中主動桿6處于浮動狀態(tài).桿長的參數(shù)如下：l1＝410 mm，l2＝230 mm，l3＝430 mm，l3a＝700 mm，l3b＝315 mm，l4＝210 mm，l4a＝505 mm，l4b＝330 mm，l5＝380 mm，l6＝300 mm.各桿的質(zhì)量：m2＝1.670 9 kg，m3＝8.669 9 kg，m4＝5.949 0 kg，m5＝1.563 0 kg，m6＝1.327 3 kg.各桿的轉(zhuǎn)動慣量：J2＝677.563 6 kg·mm2，J3＝14 326 kg·mm2，J4＝7 631.552 6 kg·mm2，J5＝292.408 8 kg·mm2，J6＝260.440 kg·mm2.假定主動桿6的運動規(guī)律是已知的，即從靜止開始，以加速度α＝2 rad·s-2加速上鎖.θ6是主動件桿6的角位移，其滿足：-50°≤θ6≤125°.為了滿足機構的運動條件，主動桿上作用有一驅(qū)動力矩Md.為了簡化計算模型，暫時先不考慮運動副間的摩擦力，并以鉸鏈12為原點O建立笛卡爾坐標系X O Y.

圖1 多桿鎖機構的運動簡圖

2 理想多桿鎖機構的動力學分析模型

理想的多桿鎖機構是單自由度系統(tǒng)，其拉格朗日動力學方程為［17-18］

式中：E為系統(tǒng)的總動能，U為系統(tǒng)的總重力勢能，p為廣義坐標，M為廣義力，.p為廣義坐標對時間的導數(shù).

對多桿鎖機構，其總動能和重力勢能分別為

式中：mi為第i個桿的質(zhì)量，Ji為第i個桿的轉(zhuǎn)動慣量，xsi為第i個桿質(zhì)心的橫坐標，ysi為第i個桿質(zhì)心的縱坐標，g為重力加速度，θi為第i個桿的角位移.

將式（2）和（3）代入式（1），可得理想多桿鎖機構的拉格朗日動力學方程：

由圖1可知，理想多桿鎖機構是由兩個封閉的四邊形組成的，可以得到下列封閉矢量方程：

經(jīng)過分析，理想多桿鎖機構有θ2、θ3、θ4、θ5和θ6總計5個位置變量.選取θ6為廣義坐標，則θi（i＝2、3、4、5）4個位變量都是θ6的函數(shù).將式（5）和式（6）展開，可得到與θ6對應的θi（i＝2、3、4、5）的值.分別對式（5）和式（6）的展開式求時間t的一階導數(shù)和二階導數(shù)，可得到與.θ6和¨θ6對應的.θi和¨θi（i＝2、3、4、5）.各桿的質(zhì)心坐標xsi和ysi、.xsi和.ysi以及¨xsi和¨ysi可以由θi、.θi和¨θi（i＝2、3、4、5、6）表示.由于理想多桿鎖機構上只有一個驅(qū)動力矩，而且作用在桿6上，所以廣義力M即是驅(qū)動力矩Md.

為了獲得各鉸鏈的動態(tài)作用力，需要基于螺旋理論建立多桿鎖機構的動態(tài)平衡方程［16，19］.作用在理想多桿鎖機構第i個桿上的力螺旋為作用在連桿上的外部力螺旋Si（包括慣性力和重力）和鉸鏈約束力螺旋S（i-k）i.理想多桿鎖機構中的第i桿的受力如圖2，并且當桿i處于動平衡狀態(tài)時，滿足下列關系式［14，16］：

式中：S（i-k）i為桿i-k作用在桿i上的力螺旋，Si為作用在桿i上的外力螺旋.

其中：

圖2 第i桿的受力分析圖

多桿鎖機構處于動平衡狀態(tài)時，鉸鏈的約束力螺旋S（i-k）i與運動螺旋＄（i-k）i互易，滿足［2-5］

式中：＄（i-k）i＝（0，0，1；y（i-k）i，-x（i-k）i，0）.

式（4）、式（7）和式（8）構成了理想多桿鎖機構的動力學分析模型.將式（7）和式（8）展開，可以得到各鉸鏈的約束力F（i-k）i.

3 考慮間隙的多桿鎖機構動力學分析模型

在7個鉸鏈處分別引入等效間隙桿，每個間隙桿角位移為獨立廣義坐標，故考慮間隙的多桿鎖機構是8自由度系統(tǒng)，它的拉格朗日動力學方程為［17-18］

式中各變量的含義與式（1）相同.

將式（2）和式（3）代入式（9），可以得到考慮間隙的多桿鎖機構的拉格朗日動力學方程：

考慮間隙時，要在各運動副的間隙處添加等效間隙桿，其受力見圖3.為了便于研究不同間隙對多桿鎖機構的影響，本文直接給定各等效間隙桿的桿長，用e表示.

圖3 考慮間隙時多桿鎖機構的力學分析圖

與理想多桿鎖機構一樣，考慮間隙的多桿鎖機構依然是由兩個封閉的多桿機構組成的，所以可以得封閉矢量方程：

對考慮間隙的多桿鎖機構來說，不但包括θ2、θ3、θ4、θ5和θ6這5個的位置變量，而且還包括各等效間隙桿的位置變量θa、θb、θc、θd、θe、θf和θg.選擇θ6、θa、θb、θc、θd、θe、θf和θg作為廣義坐標.展開上面的兩個矢量方程可以得到4個代數(shù)方程.

由于新增的等效間隙桿不受外力的作用，理想多桿鎖機構的鉸鏈受力與X軸正方向的夾角可以看做是與該處的等效間隙桿的角位移的初值，即θa、θb、θc、θd、θe、θf和θg是已知的.因此可以由矢量方程求出θ2、θ3、θ4和θ5的值.在很短的時間內(nèi)（一個步長），假定各間隙桿是勻速運動的，即.θa、.θb、.θc、.θd、.θe、.θf、.θg、¨θa、¨θb、¨θc、¨θd、¨θe、¨θf和¨θg是已知的，且¨θa＝¨θb＝¨θc＝¨θd＝¨θe＝¨θf＝¨θg＝0.

分別對式（11）和式（12）的展開式求時間t的一階導數(shù)和二階導數(shù)，可以得到與.θ6和¨θ6對應的.θi、¨θi（i＝2、3、4、5）.各桿的質(zhì)心坐標xsi和ysi以及.xsi和.ysi、¨xsi和¨ysi可以由θi、.θi、¨θi（i＝2、3、4、5、6）表示.將它們代入式（10），可得到作用廣義力Mj（j＝1，…，8），其中驅(qū)動力矩Md＝M1.

式（7）、式（8）和式（10）構成了考慮間隙時多桿鎖機構的動力學分析模型.將式（7）和式（8）展開，可得到各鉸鏈的約束力F（i-k）i.

考慮間隙的多桿鎖機構動力學模型求解過程如下：1）給定桿位移的求解精度ε.

2）由理想多桿鎖機構的鉸鏈約束力求各等效間隙桿的初始角位移.

3）求考慮間隙時各桿的角位移，桿2的角位移為θ2（0）（i的初始值為0）.

任何事情，都有前因后果，都有來龍去脈，在語句中表現(xiàn)為前項和后項。但是第一，如果我們沒有找到真正的原因，那么所找的原因就是一個任意因果的原因，而不是必然因果的原因。第二，前項和后項在語句中的完備，不能代替事實中的正確的因果關系。

4）求各鉸鏈約束力和驅(qū)動力.

5）由鉸鏈約束力求各等效間隙桿的角位移.

6）求解各桿的角位移，桿2的角位移為θ2（i）.

7）求各鉸鏈約束力和驅(qū)動力.

8）判斷｜θ2（i）-θ2（0）｜＜ε是否成立，如果不成立，θ2（0）＝θ2（i），i＝i＋1轉(zhuǎn)向6）；如果成立，轉(zhuǎn)向9）.

9）輸出各桿的角位移、角速度、角加速度、驅(qū)動力矩和鉸鏈約束力.

依據(jù)上述求解過程，采用MATLAB語言編寫了考慮間隙的多桿鎖機構動力學分析程序，對不同間隙下多桿鎖機構的動力學特性進行了求解.

4 結果與分析

圖4 θ2隨驅(qū)動桿角位移θ6變化情況

圖5 ω2隨驅(qū)動桿角位移θ6變化情況

圖6 α2隨驅(qū)動桿角位移θ6變化情況

圖7 Md隨驅(qū)動桿角位移θ6變化情況

圖8 F12隨驅(qū)動桿角位移θ6變化情況

由圖4～8可以看出：

（1）e＝0μm時（不考慮間隙），在工作范圍內(nèi)，θ2、ω2、α2和Md曲線都比較平滑，狀態(tài)比較穩(wěn)定.F12在θ6＝-40°處附近出現(xiàn)了突變，原因是多桿鎖機構在此時出現(xiàn)了奇異位型.

（2）e≠0μm時（考慮間隙），與理想多桿鎖機構相比，θ2的曲線基本重合；ω2、α2、Md和F12的曲線出現(xiàn)了一定的偏差.為了更具體的描述偏差，引入了絕對偏離值的概念，即考慮間隙的值與理想值的差的絕對值.絕對偏離值的最大值反映了偏離的最大幅度，平均值反映了工作范圍內(nèi)的整體偏離情況.具體情況如下：

e＝10μm時，在多桿鎖機構的工作范圍內(nèi)，θ2的絕對偏離值的最大值為0.018 4 rad，平均值為0.001 1 rad；ω2的絕對偏離值的最大值為0.212 1 rad·s-1，平均值為0.005 4 rad·s-1；α2的絕對偏離值的最大值為55.051 7 rad·s-2，平均值為1.008 8 rad·s-2；Md的絕對偏離值的最大值為7 275.3 N·m，平均值為47.767 1 N·m；F12的絕對偏離值的最大值為17 044 N，平均值為191.629 3 N.

e＝100μm時，在多桿鎖機構的工作范圍內(nèi)，θ2的絕對偏離值的最大值為0.020 3 rad，平均值為0.001 2 rad；ω2的絕對偏離值的最大值為3.098 5 rad·s-1，平均值為0.069 3 rad·s-1；α2的絕對偏離值的最大值為948.615 8 rad·s-2，平均值為15.985 3 rad·s-2；Md的絕對偏離值的最大值為61 080 N·m，平均值為369.001 N·m；F12的絕對偏離值的最大值為166 110 N，平均值為957.481 1 N.

可以看出，運動副間隙對θ2的影響比較小，對ω2、α2、Md和F12的影響明顯大于對角位移的影響.間隙越大，θ2、ω2、α2、Md和F12的絕對偏離值的平均值也越大，即影響也越大.對比發(fā)現(xiàn)，θ2、ω2、α2和Md的絕對偏離值的最大值都出現(xiàn)在θ6＝117.5°附近，F(xiàn)12的絕對偏離值的最大值出現(xiàn)在-40°附近.原因是多桿鎖機構在θ6＝117.5°和θ6＝-40°附近出現(xiàn)了奇異位型.間隙值越大，在奇異位型附近波動的范圍和幅度也越大，說明多桿鎖機構在奇異位型附近的運動是不穩(wěn)定的.

5 結 論

1）理想的多桿鎖機構在工作范圍內(nèi)的運動是比較穩(wěn)定的，鉸鏈受力在局部發(fā)生突變；

2）多桿鎖機構在θ6＝117.5°和θ6＝-40°附近出現(xiàn)了奇異位型.在這兩點附近，多桿鎖機構對運動副間隙比較敏感，θ2、ω2、α2、Md和F23波動比較大，因此多桿鎖機構的上鎖和解鎖位置設計，盡量避開這兩個位置；

3）運動副間隙對多桿鎖機構的影響是顯而易見的，間隙越大影響也就越大.運動副間隙對多桿鎖機構的桿的角位移影響比較小，對桿的角速度、角加速度、驅(qū)動力矩和鉸鏈約束力影響比較大；

4）運動副間隙的產(chǎn)生不可避免，只要控制在一定范圍內(nèi)，就可以獲得相對穩(wěn)定的多桿鎖機構.運動副間隙足夠大時，在奇異位型附近發(fā)生振蕩的范圍比較大，上鎖或者解鎖過程都會受到較大程度的影響，嚴重時會影響飛機的安全.在實際的工作中，應根據(jù)間隙大小及時地維護或更換貨倉門的多桿鎖機構.

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（編輯楊 波）

Effect of kinematic pairs clearance on dynamic characteristics of multi?linkage lock mechanisms

ZHI Changjian，WANG Sanmin，SUN Yuantao
（School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi′an，China）

To reduce the probability of aircraft cargo door opened accidently caused by abnormal stress，the dynamic characteristics of multi?linkage lock mechanisms with kinematic pairs clearance are studied in detail.The equivalent joint clearance link（the length is e）is used to describe the influence of kinematic pairs clearance.Meanwhile，the dynamic analysis model of multi?linkage lock mechanisms is built based on the Lagrange kinetic equation and the screw theory，and the procedures programmed by MATLAB are used to solve and analysis the model.Results indicate that the kinematic pairs clearance has a bigger influence on angular velocity of the rod，angular acceleration of the rod，driving moment and hinge binding kinematic，and the greatest influence appears near the singular configuration.While e is 10μm，its impact on dynamics of the multi?linkage lock mechanisms is small，however while e is 100μm，the impact is enhanced obviously.

kinematic pairs clearance；multi?linkage lock mechanisms；screw theory；equivalent joint clearance link；dynamic characteristics

TH122

A

0367-6234（2014）08-0102-05

2013-07-09.

國家自然科學基金資助項目（51175422）.

智常建（1984—），男，博士研究生；

王三民（1961—），男，教授，博士生導師.

王三民，wangsami＠nwpu.edu.cn.