吳駿+杜珺+邱寧+殷從全
中位數(shù)和眾數(shù)是繼平均數(shù)之后,表示數(shù)據(jù)集中趨勢的兩個統(tǒng)計量.在對學(xué)生的調(diào)查中發(fā)現(xiàn),當(dāng)需要表示一組數(shù)據(jù)的平均水平時,學(xué)生往往認(rèn)為平均數(shù)才是這組數(shù)據(jù)的代表,而忽視了對中位數(shù)和眾數(shù)的選擇使用.究其原因,主要是學(xué)生不了解為何要學(xué)習(xí)中位數(shù)和眾數(shù),也不知道如何運用這兩個統(tǒng)計量,這需要從概念的歷史產(chǎn)生過程中尋求解決問題的方案.為此,我們對中位數(shù)和眾數(shù)的歷史起源進(jìn)行考察,設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的概念教學(xué)案例,并在八年級進(jìn)行了教學(xué)實踐.1 教學(xué)案例的設(shè)計與實踐
歷史現(xiàn)象學(xué)為學(xué)生理解中位數(shù)和眾數(shù)概念提供了豐富的素材.然而,歷史現(xiàn)象學(xué)和教學(xué)現(xiàn)象學(xué)卻是不同的,其差異主要體現(xiàn)在學(xué)生缺乏相關(guān)的歷史背景知識,而且他們也擁有了前人未知的一些知識,因此,在實際教學(xué)中,教師需要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,把歷史現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為教學(xué)現(xiàn)象,采用自然的方式呈現(xiàn)所教的知識[1].
1.1 從“數(shù)”的角度引入中位數(shù),激發(fā)學(xué)習(xí)動機
歷史現(xiàn)象 在歷史上,中位數(shù)幾乎是作為平均數(shù)的代替品而出現(xiàn)的.1874年,費歇爾(G. T. Fechner, 1801—1887)借助于天文學(xué)中行之有效的方法,使用中位數(shù)來描述社會和心理現(xiàn)象.埃其渥斯(F. Y. Edgeworth,1845-1926)發(fā)現(xiàn)平均數(shù)對極端值的敏感性,而中位數(shù)比平均數(shù)更穩(wěn)?。╮obustness)(穩(wěn)健性用于描述對極端值的不敏感性),因此選擇了中位數(shù)代替平均數(shù).這可能源于埃其渥斯對經(jīng)濟(jì)學(xué)的興趣,因為經(jīng)濟(jì)學(xué)中大多是一些不規(guī)則的數(shù)據(jù).現(xiàn)在,中位數(shù)的穩(wěn)健性是使用它的主要原因.
教學(xué)案例1 在汶川大地震的捐款活動中,某校八年級(1)班第3小組11名同學(xué)的捐款數(shù)如下(單位:元):1,1,2,2,3,4,1,5,8,10,80.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)能比較客觀地反映全班同學(xué)捐款的“平均水平”嗎?
設(shè)計說明 學(xué)生習(xí)慣于把平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的平均水平,他們對平均數(shù)的選擇使用往往優(yōu)于中位數(shù)和眾數(shù).該案例的設(shè)計擬合了中位數(shù)的歷史發(fā)展規(guī)律,即采用一組帶有極端值的不規(guī)則數(shù)據(jù),讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,激發(fā)論證中位數(shù)代替平均數(shù)的合理性.
教學(xué)實踐 任課教師認(rèn)為,如果先介紹中位數(shù)起源的歷史,則學(xué)生自然會想到用中位數(shù)作為平均水平的代表,這就失去了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機的目的.因此,教學(xué)中需要先講案例,引入中位數(shù)概念,再介紹中位數(shù)的歷來起源.以下是關(guān)于該案例的一段師生對話:
教師:你能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎?
學(xué)生:能.(過了一會)平均數(shù)為106.
教師:平均數(shù)能反映全班同學(xué)捐款的“平均水平”嗎?
學(xué)生:捐款超過106的人數(shù)只有1個,因而不能代表全班同學(xué)捐款的平均水平.
教師:為什么會出現(xiàn)這種情況?
學(xué)生:最大值和最小值差異過大,其中最大值80遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其余的數(shù)據(jù),拉大了這組數(shù)據(jù)的平均水平.
教師:也就是說,當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值時,平均數(shù)不能作為這組數(shù)據(jù)的代表,這時我們需要學(xué)習(xí)另外一個表示集中趨勢的概念,即中位數(shù).
1.2 從“形”的角度考察中位數(shù),強化概念理解
歷史現(xiàn)象 1882年,高爾頓(F. Galton,1822—1911)第一次使用“中位數(shù)”這個術(shù)語.與數(shù)學(xué)歷史經(jīng)常發(fā)生的情況一樣,高爾頓在使用這個術(shù)語之前就已經(jīng)知道了這個概念,但他使用其他的術(shù)語,如“最中間的值”,“中等的”等.1874年,他在一次演講中給出了下列描述:“一個占據(jù)中間位置的物體具有這樣的性質(zhì),比它多的物體的數(shù)目等于比它少的物體的數(shù)目.”[2]
教學(xué)案例2 如下圖,數(shù)軸的上方有一些質(zhì)點,每個質(zhì)點的取值用數(shù)軸上的坐標(biāo)來表示,如何尋找這些質(zhì)點的中位數(shù)位置[3]?
設(shè)計說明 數(shù)據(jù)的分布是決定使用平均數(shù)和中位數(shù)的關(guān)鍵所在,而大多數(shù)學(xué)生還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識,因此,當(dāng)數(shù)據(jù)呈不規(guī)則分布時,他們?nèi)菀谆煜龑ζ骄鶖?shù)和中位數(shù)的理解.該案例改編自歷史現(xiàn)象,要求在偏態(tài)分布中,學(xué)生能夠區(qū)分平均數(shù)和中位數(shù)所處的位置.
教學(xué)實踐 有學(xué)生錯誤地認(rèn)為,中位數(shù)就是質(zhì)點最大坐標(biāo)與最小坐標(biāo)的中點值,或數(shù)軸的最大值與最小值的平均數(shù),還有學(xué)生干脆把印發(fā)材料的那張紙對折,中間那條印痕就是中位數(shù)所在的位置.通過討論,大家澄清了各種錯誤認(rèn)識,認(rèn)為中位數(shù)所處位置應(yīng)該使左右兩邊質(zhì)點的個數(shù)相等,即在數(shù)軸上坐標(biāo)34偏左一點.
課后有一個學(xué)生說,可以把右邊比較分散的點移到坐標(biāo)34~36的上面,把左邊分散的點移到坐標(biāo)30~32的上面,這時質(zhì)點比較集中,就容易看出中位數(shù)的位置在坐標(biāo)34附近.這個想法可謂別出心裁,大大超出教師和研究者的想象.研究者對該生進(jìn)行了訪談:
研究者:你是如何想到移動質(zhì)點這個方法的?
趙同學(xué):這些質(zhì)點一個一個地數(shù)就太多了,可以把它們移動了放在一起,兩邊相互對稱就容易找到中位數(shù)的位置了.
可見,該同學(xué)尋找質(zhì)點中位數(shù)位置的方法與高爾頓描述的方法具有歷史相似性.
教學(xué)反思 在實際教學(xué)中,學(xué)生對中位數(shù)的理解比平均數(shù)更困難.(1)“獻(xiàn)愛心”捐款活動,中位數(shù)的引入遵循歷史發(fā)展順序,學(xué)生感受到中位數(shù)存在的意義與必要.(2)設(shè)計質(zhì)點中位數(shù)問題,從“形”的視角加深對中位數(shù)意義的理解.同時也發(fā)現(xiàn),學(xué)生思維的活躍性不可低估.
1.3講述古代戰(zhàn)爭故事,引入眾數(shù)概念
相對來說,眾數(shù)容易理解.第一個使用眾數(shù)的例子,可能出現(xiàn)在雅典和斯巴達(dá)戰(zhàn)爭中發(fā)生的故事.
教學(xué)案例3 在公元前428年冬天,普拉鐵阿人被伯羅奔尼撒人和皮奧夏人包圍.不久,他們開始出現(xiàn)糧食短缺,處于絕望之中.由于從雅典人那里獲得援助已經(jīng)沒有希望了,也看不到其他安全突圍的方法,普拉鐵阿人和被包圍的一些雅典人計劃棄城而去,他們打算做梯子翻過敵人的城墻.由于梯子的高度要與敵人城墻的高度一樣,為此,可以數(shù)敵人城墻上磚塊的層數(shù)來計算城墻的高度.在相同的時間,很多人數(shù)了磚塊的層數(shù).問:如何確定磚塊的層數(shù)[2]?endprint
設(shè)計說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中,很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù),也就是對磚塊重復(fù)計數(shù),出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的,這時已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.
教學(xué)實踐 教師神情激昂地講故事,讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈,他們認(rèn)為,士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時,有些可能數(shù)錯了,但大多數(shù)可能得到一個真實的數(shù)目,特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn),能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果,然后再估計出一塊磚的厚度,從而計算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫,學(xué)生知道了,眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊,所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù).
1.4 聯(lián)系現(xiàn)實生活問題,拓展眾數(shù)應(yīng)用
歷史現(xiàn)象 還有一個眾數(shù)使用的例子,即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利,選舉機構(gòu)已經(jīng)作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統(tǒng)治時期,往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發(fā)展,這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定,幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.
教學(xué)案例4 如何表示八年級一個教室里學(xué)生鞋子的顏色?在投票表決中,當(dāng)票數(shù)相對集中時,如何確定票數(shù)的代表性?眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
設(shè)計說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時,宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表,而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的,教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼,這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型,雖然超出了教材的要求,但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實生活中的普遍存在性,因此,適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的,學(xué)生也并不難理解.實際上,美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出,sad,glad,glad,mad,sad的眾數(shù)是sad和glad.
教學(xué)實踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題,有些同學(xué)彎腰去看,有些站起來看,還有些跑到其他組去看,整個教室熱鬧非凡,課堂氣氛非常活躍.討論結(jié)束后,教師和學(xué)生發(fā)生了一段對話:
教師:如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色?
學(xué)生:鞋子有各種各樣的顏色,例如有紅色、白色、黑色、彩色等.
教師:用哪一個數(shù)作為鞋子顏色的代表?
學(xué)生:為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色,應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.
教師:今天我們選舉一個臨時的數(shù)學(xué)科代表,當(dāng)選的依據(jù)是什么?
學(xué)生:選票.
教師:如何確定選舉產(chǎn)生的科代表?
學(xué)生:票數(shù)最多的當(dāng)選.
教師:用哪一個數(shù)表示票數(shù)的多少?
學(xué)生:眾數(shù).
教師:在描述鞋子顏色的問題中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:白色鞋子.
教師:在剛才選舉的例子中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:(思考之后得出)得票最多的同學(xué).
教師:那么,現(xiàn)在我問大家,眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
學(xué)生:不一定.
教學(xué)反思 (1)以歷史故事作為背景引入眾數(shù),能夠吸引學(xué)生注意力,讓學(xué)生參與到整個教學(xué)活動中.(2)設(shè)計學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色,是眾數(shù)的一個直觀應(yīng)用,這種拓展是有必要的.
2 學(xué)生反饋
2.1 問卷測試
為考察學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解,在本單元教學(xué)前后對學(xué)生進(jìn)行了測試,結(jié)果見表1所示.
前測試題:某人花費在因特網(wǎng)上的時間分別為(單位:分):50,276,57,50,62,53,72,71,63,60,22,用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他花費在因特網(wǎng)上的時間?說明理由.
后測試題:某人11天看電視的時間分別為:45,256,52,45,57,48,67,66,58,55,17(單位:分鐘),用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他看電視的時間?說明理由.
從表1可以看出,教學(xué)之前,很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表,因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后,選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升,達(dá)到班級人數(shù)的一半以上.學(xué)生對中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難,主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識.為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù),對學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由,而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因,筆者推測,這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).
2.2 個別訪談
梁同學(xué)是一個學(xué)困生,在這個階段的學(xué)習(xí)中,他積極參與小組討論,主動回答問題,有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個優(yōu)秀學(xué)生,近期表現(xiàn)更為突出,作業(yè)多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因,在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后,研究者對他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對梁同學(xué)的訪談片段:
研究者:老師上課的方式與以前有什么不同嗎?
梁同學(xué):討論比以前多了,一個人在那里想,只有一種思路,4個人圍在那里討論,就可以有不同的想法.
研究者:在這些課中,你最喜歡哪一節(jié)課?
梁同學(xué):眾數(shù)比較好學(xué),我比較感興趣.這一節(jié),既講了故事又學(xué)習(xí)了知識.
由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué),按照他說的“有興趣就學(xué)會了”,從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對葉同學(xué)訪談的一個片段:
研究者:你認(rèn)為這些歷史知識有用嗎?有什么用?
葉同學(xué):有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.
研究者:你最感興趣的是哪一個內(nèi)容?
葉同學(xué):中位數(shù).
研究者:為什么最喜歡這個內(nèi)容?
葉同學(xué):老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置,小于和大于它的數(shù)各占一半(意指判斷質(zhì)點中位數(shù)位置的那個示意圖).
從這個訪談中可以看出,利用數(shù)學(xué)史設(shè)計的教學(xué)案例加強了葉同學(xué)對統(tǒng)計概念的理解,特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點去理解中位數(shù)概念,這是一個優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).
綜上,基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例,讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程,加強了對概念的理解,在教學(xué)實踐中取得了很好的效果.
參考文獻(xiàn)
[1] 吳駿,黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報,2013,52(11):16-21.〖ZK)〗
[2] Bakker, A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis, The Freudenthal Inistitute, Utrecht, 2004. 〖ZK)〗
[3] Bakker, A. & Koeno, P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics, 2006, 62(2):149-168.〖ZK)〗endprint
設(shè)計說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中,很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù),也就是對磚塊重復(fù)計數(shù),出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的,這時已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.
教學(xué)實踐 教師神情激昂地講故事,讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈,他們認(rèn)為,士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時,有些可能數(shù)錯了,但大多數(shù)可能得到一個真實的數(shù)目,特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn),能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果,然后再估計出一塊磚的厚度,從而計算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫,學(xué)生知道了,眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊,所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù).
1.4 聯(lián)系現(xiàn)實生活問題,拓展眾數(shù)應(yīng)用
歷史現(xiàn)象 還有一個眾數(shù)使用的例子,即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利,選舉機構(gòu)已經(jīng)作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統(tǒng)治時期,往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發(fā)展,這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定,幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.
教學(xué)案例4 如何表示八年級一個教室里學(xué)生鞋子的顏色?在投票表決中,當(dāng)票數(shù)相對集中時,如何確定票數(shù)的代表性?眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
設(shè)計說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時,宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表,而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的,教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼,這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型,雖然超出了教材的要求,但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實生活中的普遍存在性,因此,適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的,學(xué)生也并不難理解.實際上,美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出,sad,glad,glad,mad,sad的眾數(shù)是sad和glad.
教學(xué)實踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題,有些同學(xué)彎腰去看,有些站起來看,還有些跑到其他組去看,整個教室熱鬧非凡,課堂氣氛非?;钴S.討論結(jié)束后,教師和學(xué)生發(fā)生了一段對話:
教師:如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色?
學(xué)生:鞋子有各種各樣的顏色,例如有紅色、白色、黑色、彩色等.
教師:用哪一個數(shù)作為鞋子顏色的代表?
學(xué)生:為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色,應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.
教師:今天我們選舉一個臨時的數(shù)學(xué)科代表,當(dāng)選的依據(jù)是什么?
學(xué)生:選票.
教師:如何確定選舉產(chǎn)生的科代表?
學(xué)生:票數(shù)最多的當(dāng)選.
教師:用哪一個數(shù)表示票數(shù)的多少?
學(xué)生:眾數(shù).
教師:在描述鞋子顏色的問題中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:白色鞋子.
教師:在剛才選舉的例子中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:(思考之后得出)得票最多的同學(xué).
教師:那么,現(xiàn)在我問大家,眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
學(xué)生:不一定.
教學(xué)反思 (1)以歷史故事作為背景引入眾數(shù),能夠吸引學(xué)生注意力,讓學(xué)生參與到整個教學(xué)活動中.(2)設(shè)計學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色,是眾數(shù)的一個直觀應(yīng)用,這種拓展是有必要的.
2 學(xué)生反饋
2.1 問卷測試
為考察學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解,在本單元教學(xué)前后對學(xué)生進(jìn)行了測試,結(jié)果見表1所示.
前測試題:某人花費在因特網(wǎng)上的時間分別為(單位:分):50,276,57,50,62,53,72,71,63,60,22,用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他花費在因特網(wǎng)上的時間?說明理由.
后測試題:某人11天看電視的時間分別為:45,256,52,45,57,48,67,66,58,55,17(單位:分鐘),用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他看電視的時間?說明理由.
從表1可以看出,教學(xué)之前,很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表,因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后,選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升,達(dá)到班級人數(shù)的一半以上.學(xué)生對中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難,主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識.為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù),對學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由,而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因,筆者推測,這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).
2.2 個別訪談
梁同學(xué)是一個學(xué)困生,在這個階段的學(xué)習(xí)中,他積極參與小組討論,主動回答問題,有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個優(yōu)秀學(xué)生,近期表現(xiàn)更為突出,作業(yè)多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因,在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后,研究者對他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對梁同學(xué)的訪談片段:
研究者:老師上課的方式與以前有什么不同嗎?
梁同學(xué):討論比以前多了,一個人在那里想,只有一種思路,4個人圍在那里討論,就可以有不同的想法.
研究者:在這些課中,你最喜歡哪一節(jié)課?
梁同學(xué):眾數(shù)比較好學(xué),我比較感興趣.這一節(jié),既講了故事又學(xué)習(xí)了知識.
由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué),按照他說的“有興趣就學(xué)會了”,從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對葉同學(xué)訪談的一個片段:
研究者:你認(rèn)為這些歷史知識有用嗎?有什么用?
葉同學(xué):有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.
研究者:你最感興趣的是哪一個內(nèi)容?
葉同學(xué):中位數(shù).
研究者:為什么最喜歡這個內(nèi)容?
葉同學(xué):老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置,小于和大于它的數(shù)各占一半(意指判斷質(zhì)點中位數(shù)位置的那個示意圖).
從這個訪談中可以看出,利用數(shù)學(xué)史設(shè)計的教學(xué)案例加強了葉同學(xué)對統(tǒng)計概念的理解,特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點去理解中位數(shù)概念,這是一個優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).
綜上,基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例,讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程,加強了對概念的理解,在教學(xué)實踐中取得了很好的效果.
參考文獻(xiàn)
[1] 吳駿,黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報,2013,52(11):16-21.〖ZK)〗
[2] Bakker, A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis, The Freudenthal Inistitute, Utrecht, 2004. 〖ZK)〗
[3] Bakker, A. & Koeno, P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics, 2006, 62(2):149-168.〖ZK)〗endprint
設(shè)計說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中,很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù),也就是對磚塊重復(fù)計數(shù),出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的,這時已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.
教學(xué)實踐 教師神情激昂地講故事,讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈,他們認(rèn)為,士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時,有些可能數(shù)錯了,但大多數(shù)可能得到一個真實的數(shù)目,特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn),能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果,然后再估計出一塊磚的厚度,從而計算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫,學(xué)生知道了,眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊,所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù).
1.4 聯(lián)系現(xiàn)實生活問題,拓展眾數(shù)應(yīng)用
歷史現(xiàn)象 還有一個眾數(shù)使用的例子,即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利,選舉機構(gòu)已經(jīng)作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統(tǒng)治時期,往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發(fā)展,這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定,幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.
教學(xué)案例4 如何表示八年級一個教室里學(xué)生鞋子的顏色?在投票表決中,當(dāng)票數(shù)相對集中時,如何確定票數(shù)的代表性?眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
設(shè)計說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時,宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表,而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的,教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼,這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型,雖然超出了教材的要求,但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實生活中的普遍存在性,因此,適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的,學(xué)生也并不難理解.實際上,美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出,sad,glad,glad,mad,sad的眾數(shù)是sad和glad.
教學(xué)實踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題,有些同學(xué)彎腰去看,有些站起來看,還有些跑到其他組去看,整個教室熱鬧非凡,課堂氣氛非常活躍.討論結(jié)束后,教師和學(xué)生發(fā)生了一段對話:
教師:如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色?
學(xué)生:鞋子有各種各樣的顏色,例如有紅色、白色、黑色、彩色等.
教師:用哪一個數(shù)作為鞋子顏色的代表?
學(xué)生:為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色,應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.
教師:今天我們選舉一個臨時的數(shù)學(xué)科代表,當(dāng)選的依據(jù)是什么?
學(xué)生:選票.
教師:如何確定選舉產(chǎn)生的科代表?
學(xué)生:票數(shù)最多的當(dāng)選.
教師:用哪一個數(shù)表示票數(shù)的多少?
學(xué)生:眾數(shù).
教師:在描述鞋子顏色的問題中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:白色鞋子.
教師:在剛才選舉的例子中,眾數(shù)是什么?
學(xué)生:(思考之后得出)得票最多的同學(xué).
教師:那么,現(xiàn)在我問大家,眾數(shù)一定是一個數(shù)字嗎?
學(xué)生:不一定.
教學(xué)反思 (1)以歷史故事作為背景引入眾數(shù),能夠吸引學(xué)生注意力,讓學(xué)生參與到整個教學(xué)活動中.(2)設(shè)計學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色,是眾數(shù)的一個直觀應(yīng)用,這種拓展是有必要的.
2 學(xué)生反饋
2.1 問卷測試
為考察學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解,在本單元教學(xué)前后對學(xué)生進(jìn)行了測試,結(jié)果見表1所示.
前測試題:某人花費在因特網(wǎng)上的時間分別為(單位:分):50,276,57,50,62,53,72,71,63,60,22,用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他花費在因特網(wǎng)上的時間?說明理由.
后測試題:某人11天看電視的時間分別為:45,256,52,45,57,48,67,66,58,55,17(單位:分鐘),用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他看電視的時間?說明理由.
從表1可以看出,教學(xué)之前,很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表,因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后,選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升,達(dá)到班級人數(shù)的一半以上.學(xué)生對中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難,主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識.為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù),對學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由,而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因,筆者推測,這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).
2.2 個別訪談
梁同學(xué)是一個學(xué)困生,在這個階段的學(xué)習(xí)中,他積極參與小組討論,主動回答問題,有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個優(yōu)秀學(xué)生,近期表現(xiàn)更為突出,作業(yè)多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因,在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后,研究者對他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對梁同學(xué)的訪談片段:
研究者:老師上課的方式與以前有什么不同嗎?
梁同學(xué):討論比以前多了,一個人在那里想,只有一種思路,4個人圍在那里討論,就可以有不同的想法.
研究者:在這些課中,你最喜歡哪一節(jié)課?
梁同學(xué):眾數(shù)比較好學(xué),我比較感興趣.這一節(jié),既講了故事又學(xué)習(xí)了知識.
由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué),按照他說的“有興趣就學(xué)會了”,從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對葉同學(xué)訪談的一個片段:
研究者:你認(rèn)為這些歷史知識有用嗎?有什么用?
葉同學(xué):有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.
研究者:你最感興趣的是哪一個內(nèi)容?
葉同學(xué):中位數(shù).
研究者:為什么最喜歡這個內(nèi)容?
葉同學(xué):老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置,小于和大于它的數(shù)各占一半(意指判斷質(zhì)點中位數(shù)位置的那個示意圖).
從這個訪談中可以看出,利用數(shù)學(xué)史設(shè)計的教學(xué)案例加強了葉同學(xué)對統(tǒng)計概念的理解,特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點去理解中位數(shù)概念,這是一個優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).
綜上,基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例,讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程,加強了對概念的理解,在教學(xué)實踐中取得了很好的效果.
參考文獻(xiàn)
[1] 吳駿,黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報,2013,52(11):16-21.〖ZK)〗
[2] Bakker, A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis, The Freudenthal Inistitute, Utrecht, 2004. 〖ZK)〗
[3] Bakker, A. & Koeno, P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics, 2006, 62(2):149-168.〖ZK)〗endprint