沈岳夫

波利亞指出：“拿一個有意義但又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.”在引領(lǐng)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)過程中，以典型試題作為案例引導(dǎo)學(xué)生自主探究，學(xué)生每解決一個數(shù)學(xué)問題，教師就引導(dǎo)學(xué)生對自己解決的問題進行反思、聯(lián)想.一方面反思問題的解題方法、思路是否具有規(guī)律性，能否遷移處理類似的問題；另一方面反思問題的圖形結(jié)構(gòu)能否改變，命題的條件能否弱化或加強，結(jié)論能否拓展、引申與推廣.這樣不但可以深化學(xué)生對問題的理解，優(yōu)化思維過程，完善認知結(jié)構(gòu)，而且可以提高學(xué)生自主探究、分析問題的創(chuàng)新能力.本文選取一道月考試題作為案例進行反思、聯(lián)想、拓展，以饗讀者.1 試題及其解析

例1 如圖1，拋物線y=x2的頂點為P，A、B是拋物線上兩點，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過點P，AB=2AD.

（1）求矩形ABCD的面積；

（2）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2+1”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；

（3）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=12x2+x+1”，其他條件不變，求矩形ABCD的面積.如圖2若改為拋物線“y=ax2+bx+c”（a、b、c為常數(shù)，a≠0），影響矩形ABCD面積的是a、b、c中的哪個量，直接寫出矩形ABCD的面積.〖TPsyf-1.tif，BP〗〖TS（〗〖JZ〗圖1 圖2〖TS）〗

解析 （1）顯然，可知P（0，0）.設(shè)DP=AD=m（m>0，下同），則不難得D（-m，0），A（-m，m）.由（-m）2=m，進而求得m=0（舍），m=1，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=2m2=2.

（2）仿照（1），不難求得本題答案依次是：12，12.

附加題：如圖6，設(shè)拋物線y1=a1（x+h1）2+k1，則C（-h1，k1）.過點C作CE⊥AB于點E，設(shè)AE=m，則B（-h1+m，k1+〖KF（〗3〖KF）〗m）.不難求得m=〖KF（〗3〖KF）〗a1.進而得B（-h1+〖KF（〗3〖KF）〗a1，k1+3a1）.又點B為拋物線的C2頂點，所以y2=a2（x+h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1）2+k1+3a1.因為拋物線C2經(jīng)過C點，進而解得a2=-a1.從而得=-a1〖JB（[〗x2+2〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗x+〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗2〖JB）]〗+k1+3a1，則b2=-2a1〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，即b2=-2a1〖JB（（〗b12a1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，化簡整理得b1+b2=2〖KF（〗3〖KF）〗.

評注 此題構(gòu)造巧妙，問題前后設(shè)計逐層遞進，思維引導(dǎo)拾級而上.第（1）問是探究1的變式，難度不大，類比解決；第（2）問 與第（1）問相比，雖然表象發(fā)生了變化，解題思路一脈相承；附加題看似與前面沒有關(guān)聯(lián)，但只有在充分消化、理解、吸收第（1）問、第（2）問的基礎(chǔ)上，才能找到解題的突破口——用頂點式表示出頂點C的坐標→得到點B的坐標→代入拋物線C2，得到C2的解析式→……，即抓住點C、點B的雙重身份解決問題.縱觀整道題目及解答過程，可獲得如下的思維脈絡(luò)：感知（獲得初步經(jīng)驗）——領(lǐng)悟（對經(jīng)驗的提煉、積累）——變通（把經(jīng)驗系統(tǒng)化、智能化）——遷移（活學(xué)活用，把經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為新情景下的思路，形成新的經(jīng)驗）.如此的循環(huán)往復(fù)，學(xué)生的基本活動就有了經(jīng)驗獲得后成功的正能量支撐，為后續(xù)的學(xué)習(xí)蘊足動力.

學(xué)生的疑難主要是知識性疑難和策略性疑難.毋庸置疑，經(jīng)過這樣的課堂訓(xùn)練，對架構(gòu)在拋物線上圖形變換的規(guī)律題掌握比較熟練、扎實，這樣的訓(xùn)練一定是有效的，甚至是高效的，因為很好地解決了學(xué)生的知識性疑難.前面著重強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，如果再追加探究3，那就更有利于對學(xué)生全面分析問題和解決問題思維品質(zhì)的培養(yǎng)，提高他們的發(fā)散力和創(chuàng)新力，為培養(yǎng)高尖人才奠定基礎(chǔ)，因為有效地幫助學(xué)生解決了策略性疑難.

探究3 若將例1題中的“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”，“AB =2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數(shù)時，矩形ABCD需要滿足什么條件？并說明理由.

解析 ABAD為常數(shù).設(shè)拋物線y=a（x+h）2+n，則P（-h，n）.設(shè)AD=m，由ABAD=k，得AB=km， PD=12AB=km2.則A〖JB（（〗-h-km2，n+m〖JB））〗，不難解得m=4ak2，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=km2=16a2k3.因為a 為常數(shù)，所以k為常數(shù)時，矩形 ABCD的面積為常數(shù).

評注 本題是例1的拓展題，為學(xué)生提供了一個自主探究、觀察、猜想并進行說理驗證的探究模型，讓學(xué)生能在一個逆向的數(shù)學(xué)情境中感悟知識的發(fā)生、發(fā)展過程，探索問題的結(jié)論和規(guī)律的邊與不變，從而真正理解此類問題的特征，對所有學(xué)生來說是公平、公正的，同時也對學(xué)生的學(xué)習(xí)與教師的教學(xué)起到一個很好的引領(lǐng)作用. 4 幾點思考

由于在復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重，我們既要系統(tǒng)地復(fù)習(xí)主干知識和核心知識，又要關(guān)注中考的熱點和試題特征，準確把握復(fù)習(xí)方向；既要注重學(xué)生解題的數(shù)量和質(zhì)量，又要注重揭示解題的思維過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維上的漏洞，及時加以彌補；既要關(guān)注習(xí)題的選擇，又要防止單純地就題論題，注重解題后的反思，以積累解題經(jīng)驗、形成能力為落腳點；既要重視知識的綜合、聯(lián)系，又要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法、策略、學(xué)科能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，把復(fù)習(xí)工作真正落到實處.在此，提出以下幾點反思.

4.1 反思解題思路

解題思路的形成，就是把從題目中捕捉的有關(guān)信息與從儲存機構(gòu)中提取的有關(guān)信息結(jié)合起來，進行加工、重組與再生的過程.對思路的形成過程進行反思，就是在解題結(jié)束后，回顧自己是如何對信息進行加工、重組與再生.長期堅持這樣的反思，就可以總結(jié)出規(guī)律性的經(jīng)驗，有利于思維監(jiān)控能力的提高，更是一種學(xué)會學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學(xué)生會養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問題的解決方法進行歸類整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過程；問題（2）是考查學(xué)生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運用.同時學(xué)生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結(jié)論、背景進行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問題的本質(zhì)，通過邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對問題進行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學(xué)生會養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問題的解決方法進行歸類整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過程；問題（2）是考查學(xué)生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運用.同時學(xué)生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結(jié)論、背景進行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問題的本質(zhì)，通過邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對問題進行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學(xué)生會養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問題的解決方法進行歸類整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過程；問題（2）是考查學(xué)生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運用.同時學(xué)生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結(jié)論、背景進行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問題的本質(zhì)，通過邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對問題進行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint