鐘勁松

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）列出共9條基本事實，其中把“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”作為基本事實.教材編寫時不需要去證明，在證明其他命題時可以直接作為結(jié)論使用.筆者認(rèn)為課標(biāo)中“基本事實”規(guī)定不宜過多，本條“基本事實”也可以通過演繹推理的方法加以證明.

1 教材的處理方法

選擇作業(yè)本上不相鄰的三條平行線，任意畫兩條直線m、n與它們相交.如果m、n這兩條直線平行（如圖1），觀察并思考這時所得的AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什么關(guān)系；如果m、n這兩條直線不平行（如圖2），你再觀察一下，也可以量一量，算一算，看看它們是否存在類似的關(guān)系.

經(jīng)過觀察、測量、驗證等過程，發(fā)現(xiàn)與三條平行線相交的任意一條直線所截得的兩條線段之比，都等于它們所對應(yīng)的兩條平行線之間的距離的比.

2 三種處理方法

方法一：如圖3，有一組平行直線l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直線A1An與直線B1Bn被這一組平行直線分別截于點A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和點B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根據(jù)已學(xué)定理（通過平移后證明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

這時，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

方法二：如圖4，已知直線a∥b∥c，l1，l2被直線a，b，c截得的線段為AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23嗎？〖HJ1.4mm〗

把線段AB二等分，分點為D，過點D作直線d∥a，交l2于點D1.把線段BC三等分，分點為E，F(xiàn)，分別過點E，F(xiàn)作直線e∥a，f∥a，分別交l2于點E1，F(xiàn)1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

從而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

類似地，可以證明：直線a∥b∥c，直線l1，l2被直線a，b，c截得的線段分別為AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整數(shù)），則A1B1B1C1=mn，從而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如圖5，兩條直線分別與三條平行線順次交于點A，B，C和X，Y，Z，則有ABBC=XYYZ.endprint

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）列出共9條基本事實，其中把“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”作為基本事實.教材編寫時不需要去證明，在證明其他命題時可以直接作為結(jié)論使用.筆者認(rèn)為課標(biāo)中“基本事實”規(guī)定不宜過多，本條“基本事實”也可以通過演繹推理的方法加以證明.

1 教材的處理方法

選擇作業(yè)本上不相鄰的三條平行線，任意畫兩條直線m、n與它們相交.如果m、n這兩條直線平行（如圖1），觀察并思考這時所得的AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什么關(guān)系；如果m、n這兩條直線不平行（如圖2），你再觀察一下，也可以量一量，算一算，看看它們是否存在類似的關(guān)系.

經(jīng)過觀察、測量、驗證等過程，發(fā)現(xiàn)與三條平行線相交的任意一條直線所截得的兩條線段之比，都等于它們所對應(yīng)的兩條平行線之間的距離的比.

2 三種處理方法

方法一：如圖3，有一組平行直線l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直線A1An與直線B1Bn被這一組平行直線分別截于點A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和點B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根據(jù)已學(xué)定理（通過平移后證明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

這時，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

方法二：如圖4，已知直線a∥b∥c，l1，l2被直線a，b，c截得的線段為AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23嗎？〖HJ1.4mm〗

把線段AB二等分，分點為D，過點D作直線d∥a，交l2于點D1.把線段BC三等分，分點為E，F(xiàn)，分別過點E，F(xiàn)作直線e∥a，f∥a，分別交l2于點E1，F(xiàn)1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

從而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

類似地，可以證明：直線a∥b∥c，直線l1，l2被直線a，b，c截得的線段分別為AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整數(shù)），則A1B1B1C1=mn，從而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如圖5，兩條直線分別與三條平行線順次交于點A，B，C和X，Y，Z，則有ABBC=XYYZ.endprint

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）列出共9條基本事實，其中把“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”作為基本事實.教材編寫時不需要去證明，在證明其他命題時可以直接作為結(jié)論使用.筆者認(rèn)為課標(biāo)中“基本事實”規(guī)定不宜過多，本條“基本事實”也可以通過演繹推理的方法加以證明.

1 教材的處理方法

選擇作業(yè)本上不相鄰的三條平行線，任意畫兩條直線m、n與它們相交.如果m、n這兩條直線平行（如圖1），觀察并思考這時所得的AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什么關(guān)系；如果m、n這兩條直線不平行（如圖2），你再觀察一下，也可以量一量，算一算，看看它們是否存在類似的關(guān)系.

經(jīng)過觀察、測量、驗證等過程，發(fā)現(xiàn)與三條平行線相交的任意一條直線所截得的兩條線段之比，都等于它們所對應(yīng)的兩條平行線之間的距離的比.

2 三種處理方法

方法一：如圖3，有一組平行直線l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直線A1An與直線B1Bn被這一組平行直線分別截于點A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和點B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根據(jù)已學(xué)定理（通過平移后證明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

這時，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

方法二：如圖4，已知直線a∥b∥c，l1，l2被直線a，b，c截得的線段為AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23嗎？〖HJ1.4mm〗

把線段AB二等分，分點為D，過點D作直線d∥a，交l2于點D1.把線段BC三等分，分點為E，F(xiàn)，分別過點E，F(xiàn)作直線e∥a，f∥a，分別交l2于點E1，F(xiàn)1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

從而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

類似地，可以證明：直線a∥b∥c，直線l1，l2被直線a，b，c截得的線段分別為AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整數(shù)），則A1B1B1C1=mn，從而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如圖5，兩條直線分別與三條平行線順次交于點A，B，C和X，Y，Z，則有ABBC=XYYZ.endprint