李樹臣+袁中海

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)2011年版》）在“課程的總目標(biāo)”中指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”這實際上是在強調(diào)數(shù)學(xué)教育要重視對數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)問題.所謂數(shù)學(xué)觀念，就是指運用數(shù)學(xué)的觀點、方法去觀察、認(rèn)識問題的自覺意識和思維方式.我們常說某人有沒有“數(shù)學(xué)頭腦”，實際上就是指他能否運用數(shù)學(xué)方法來解難答疑.歸根結(jié)底是指他數(shù)學(xué)觀念的有、無、強、弱的問題.在義務(wù)教育階段，我們應(yīng)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成基本技能的過程中，不斷形成和強化至少下面八種最基本的數(shù)學(xué)觀念：

1 本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念

我們知道，任何事物都有質(zhì)和形兩個方面，“質(zhì)”是一事物成為它自身并區(qū)別于另一事物的內(nèi)在規(guī)定性，是事物存在的根據(jù)，是事物的根本性質(zhì).“形”是外在的表現(xiàn).事物的質(zhì)也是一種事物——區(qū)別于事物本身的另一層次的理想事物，因而也有自己的形.數(shù)學(xué)所研究的形，正是事物的這種形.從這個意義上講，數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容都是關(guān)于客觀事物本質(zhì)結(jié)構(gòu)的表述.因此，數(shù)學(xué)教育必須培養(yǎng)學(xué)生看問題要從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，努力形成明確的本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念.

案例1 一元二次方程概念的建立過程.

筆者在引入一元二次方程的概念時，首先給出以下三個實際問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考與探索：

（1）教室的面積為54m2，長比寬的2倍少3m，如果設(shè)教室的寬為xm，則長為 m，所列方程為 .

（2）直角三角形斜邊的長為11cm，兩條直角邊長的差為7cm，如果設(shè)較短直角邊的長為ycm，則較長直角邊的長為 cm，所列方程為 .

（3）如圖1，點C是線段AB上的一點，且

學(xué)生思考后不難得到下面三個方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

為了概括方便，我們將其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引導(dǎo)學(xué)生分析這三個方程的屬性，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)很多：如它們分別是從計算教室的長和寬，求直角三角形的直角邊以及線段的比值得到的，含有不同的未知數(shù)，兩邊都是整式，最高項的次數(shù)都是2等等.

這時，引導(dǎo)學(xué)生針對上面的眾多屬性進(jìn)行分析與綜合，在學(xué)生相互交流的基礎(chǔ)上，得到三個本質(zhì)屬性：（1）方程兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這就是一元二次方程的本質(zhì)屬性，至于用什么字母作為未知數(shù)，是從怎樣的實際問題抽象出來的等，這些屬性都是非本質(zhì)的，數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是本質(zhì)屬性.

有了上面的認(rèn)識，給出一元二次方程概念的時機已經(jīng)成熟.我們將一元二次方程定義為：“只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成過程中，我們是時刻抓住它的本質(zhì)屬性進(jìn)行教學(xué)的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)對每一個概念都能從它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行重點講解和各種有益的訓(xùn)練.久而久之，學(xué)生就能樹立起在觀察、分析任何事物時都能從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)的數(shù)學(xué)觀念.只有這樣，才能實現(xiàn)《課標(biāo)2011年版》提出的“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”的要求.

2 空間觀念

空間觀念是一個人對周圍環(huán)境和實物的直接感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.《課標(biāo)2011年版》指出“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等.”空間觀念至少反映了如下5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號作出圖形.可見，形成學(xué)生空間觀念的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象、分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程之中，無論是圖形的認(rèn)識，圖形的運動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù).

例如，通過學(xué)習(xí)數(shù)軸這一概念，讓學(xué)生在頭腦中形成如下的一些認(rèn)識：任何一個有理數(shù)在數(shù)軸上都對應(yīng)著一個點；互為相反的兩個數(shù)位于原點的兩邊，到原點的距離相等；在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)要大；借助于數(shù)軸可以直觀的理解絕對值的概念等等.通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生明白在一維直線空間里“實數(shù)和點是一一對應(yīng)的”.在二維平面空間里，要準(zhǔn)確地描述一個點的位置，要用兩個實數(shù)（x，y）才能完成，而且要從本質(zhì)上理解A（3，4）和B（4，3）為什么是兩個不同的點及這兩個點的位置關(guān)系是怎樣的.在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行如下拓寬：如果學(xué)生杜雨笑在沂南四中七年級六班三組，可以寫成（7，6，3），啟發(fā)學(xué)生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意義？通過交流得出，這些數(shù)字的順序是不可交換的，它們是有嚴(yán)格的先后順序的，其本質(zhì)是對應(yīng)的關(guān)系.

學(xué)生有了上面的知識基礎(chǔ)，進(jìn)一步可以得到下面的認(rèn)識：在我們生活的空間里，任何事物均處于一定的空間之中，均在其空間中與其它相關(guān)事物保持一定的聯(lián)系.事物的空間位置以及它與其相關(guān)事物之間的聯(lián)系是客觀的，一般保持穩(wěn)定狀態(tài)，不可輕易強行改變，否則，事物便會在其空間中失去平衡，空間也便會出現(xiàn)紊亂無序狀態(tài).

案例2 畫一條直線，將圖2所示的正方形分為兩個相同的部分（或全等的部分）.

對這個問題絕大多數(shù)學(xué)生都能畫出四條符合要求的直線，如圖3所示.endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)2011年版》）在“課程的總目標(biāo)”中指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”這實際上是在強調(diào)數(shù)學(xué)教育要重視對數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)問題.所謂數(shù)學(xué)觀念，就是指運用數(shù)學(xué)的觀點、方法去觀察、認(rèn)識問題的自覺意識和思維方式.我們常說某人有沒有“數(shù)學(xué)頭腦”，實際上就是指他能否運用數(shù)學(xué)方法來解難答疑.歸根結(jié)底是指他數(shù)學(xué)觀念的有、無、強、弱的問題.在義務(wù)教育階段，我們應(yīng)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成基本技能的過程中，不斷形成和強化至少下面八種最基本的數(shù)學(xué)觀念：

1 本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念

我們知道，任何事物都有質(zhì)和形兩個方面，“質(zhì)”是一事物成為它自身并區(qū)別于另一事物的內(nèi)在規(guī)定性，是事物存在的根據(jù)，是事物的根本性質(zhì).“形”是外在的表現(xiàn).事物的質(zhì)也是一種事物——區(qū)別于事物本身的另一層次的理想事物，因而也有自己的形.數(shù)學(xué)所研究的形，正是事物的這種形.從這個意義上講，數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容都是關(guān)于客觀事物本質(zhì)結(jié)構(gòu)的表述.因此，數(shù)學(xué)教育必須培養(yǎng)學(xué)生看問題要從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，努力形成明確的本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念.

案例1 一元二次方程概念的建立過程.

筆者在引入一元二次方程的概念時，首先給出以下三個實際問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考與探索：

（1）教室的面積為54m2，長比寬的2倍少3m，如果設(shè)教室的寬為xm，則長為 m，所列方程為 .

（2）直角三角形斜邊的長為11cm，兩條直角邊長的差為7cm，如果設(shè)較短直角邊的長為ycm，則較長直角邊的長為 cm，所列方程為 .

（3）如圖1，點C是線段AB上的一點，且

學(xué)生思考后不難得到下面三個方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

為了概括方便，我們將其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引導(dǎo)學(xué)生分析這三個方程的屬性，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)很多：如它們分別是從計算教室的長和寬，求直角三角形的直角邊以及線段的比值得到的，含有不同的未知數(shù)，兩邊都是整式，最高項的次數(shù)都是2等等.

這時，引導(dǎo)學(xué)生針對上面的眾多屬性進(jìn)行分析與綜合，在學(xué)生相互交流的基礎(chǔ)上，得到三個本質(zhì)屬性：（1）方程兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這就是一元二次方程的本質(zhì)屬性，至于用什么字母作為未知數(shù)，是從怎樣的實際問題抽象出來的等，這些屬性都是非本質(zhì)的，數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是本質(zhì)屬性.

有了上面的認(rèn)識，給出一元二次方程概念的時機已經(jīng)成熟.我們將一元二次方程定義為：“只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成過程中，我們是時刻抓住它的本質(zhì)屬性進(jìn)行教學(xué)的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)對每一個概念都能從它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行重點講解和各種有益的訓(xùn)練.久而久之，學(xué)生就能樹立起在觀察、分析任何事物時都能從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)的數(shù)學(xué)觀念.只有這樣，才能實現(xiàn)《課標(biāo)2011年版》提出的“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”的要求.

2 空間觀念

空間觀念是一個人對周圍環(huán)境和實物的直接感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.《課標(biāo)2011年版》指出“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等.”空間觀念至少反映了如下5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號作出圖形.可見，形成學(xué)生空間觀念的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象、分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程之中，無論是圖形的認(rèn)識，圖形的運動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù).

例如，通過學(xué)習(xí)數(shù)軸這一概念，讓學(xué)生在頭腦中形成如下的一些認(rèn)識：任何一個有理數(shù)在數(shù)軸上都對應(yīng)著一個點；互為相反的兩個數(shù)位于原點的兩邊，到原點的距離相等；在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)要大；借助于數(shù)軸可以直觀的理解絕對值的概念等等.通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生明白在一維直線空間里“實數(shù)和點是一一對應(yīng)的”.在二維平面空間里，要準(zhǔn)確地描述一個點的位置，要用兩個實數(shù)（x，y）才能完成，而且要從本質(zhì)上理解A（3，4）和B（4，3）為什么是兩個不同的點及這兩個點的位置關(guān)系是怎樣的.在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行如下拓寬：如果學(xué)生杜雨笑在沂南四中七年級六班三組，可以寫成（7，6，3），啟發(fā)學(xué)生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意義？通過交流得出，這些數(shù)字的順序是不可交換的，它們是有嚴(yán)格的先后順序的，其本質(zhì)是對應(yīng)的關(guān)系.

學(xué)生有了上面的知識基礎(chǔ)，進(jìn)一步可以得到下面的認(rèn)識：在我們生活的空間里，任何事物均處于一定的空間之中，均在其空間中與其它相關(guān)事物保持一定的聯(lián)系.事物的空間位置以及它與其相關(guān)事物之間的聯(lián)系是客觀的，一般保持穩(wěn)定狀態(tài)，不可輕易強行改變，否則，事物便會在其空間中失去平衡，空間也便會出現(xiàn)紊亂無序狀態(tài).

案例2 畫一條直線，將圖2所示的正方形分為兩個相同的部分（或全等的部分）.

對這個問題絕大多數(shù)學(xué)生都能畫出四條符合要求的直線，如圖3所示.endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)2011年版》）在“課程的總目標(biāo)”中指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”這實際上是在強調(diào)數(shù)學(xué)教育要重視對數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)問題.所謂數(shù)學(xué)觀念，就是指運用數(shù)學(xué)的觀點、方法去觀察、認(rèn)識問題的自覺意識和思維方式.我們常說某人有沒有“數(shù)學(xué)頭腦”，實際上就是指他能否運用數(shù)學(xué)方法來解難答疑.歸根結(jié)底是指他數(shù)學(xué)觀念的有、無、強、弱的問題.在義務(wù)教育階段，我們應(yīng)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成基本技能的過程中，不斷形成和強化至少下面八種最基本的數(shù)學(xué)觀念：

1 本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念

我們知道，任何事物都有質(zhì)和形兩個方面，“質(zhì)”是一事物成為它自身并區(qū)別于另一事物的內(nèi)在規(guī)定性，是事物存在的根據(jù)，是事物的根本性質(zhì).“形”是外在的表現(xiàn).事物的質(zhì)也是一種事物——區(qū)別于事物本身的另一層次的理想事物，因而也有自己的形.數(shù)學(xué)所研究的形，正是事物的這種形.從這個意義上講，數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容都是關(guān)于客觀事物本質(zhì)結(jié)構(gòu)的表述.因此，數(shù)學(xué)教育必須培養(yǎng)學(xué)生看問題要從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，努力形成明確的本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念.

案例1 一元二次方程概念的建立過程.

筆者在引入一元二次方程的概念時，首先給出以下三個實際問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考與探索：

（1）教室的面積為54m2，長比寬的2倍少3m，如果設(shè)教室的寬為xm，則長為 m，所列方程為 .

（2）直角三角形斜邊的長為11cm，兩條直角邊長的差為7cm，如果設(shè)較短直角邊的長為ycm，則較長直角邊的長為 cm，所列方程為 .

（3）如圖1，點C是線段AB上的一點，且

學(xué)生思考后不難得到下面三個方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

為了概括方便，我們將其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引導(dǎo)學(xué)生分析這三個方程的屬性，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)很多：如它們分別是從計算教室的長和寬，求直角三角形的直角邊以及線段的比值得到的，含有不同的未知數(shù)，兩邊都是整式，最高項的次數(shù)都是2等等.

這時，引導(dǎo)學(xué)生針對上面的眾多屬性進(jìn)行分析與綜合，在學(xué)生相互交流的基礎(chǔ)上，得到三個本質(zhì)屬性：（1）方程兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這就是一元二次方程的本質(zhì)屬性，至于用什么字母作為未知數(shù)，是從怎樣的實際問題抽象出來的等，這些屬性都是非本質(zhì)的，數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是本質(zhì)屬性.

有了上面的認(rèn)識，給出一元二次方程概念的時機已經(jīng)成熟.我們將一元二次方程定義為：“只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成過程中，我們是時刻抓住它的本質(zhì)屬性進(jìn)行教學(xué)的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)對每一個概念都能從它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行重點講解和各種有益的訓(xùn)練.久而久之，學(xué)生就能樹立起在觀察、分析任何事物時都能從本質(zhì)結(jié)構(gòu)出發(fā)的數(shù)學(xué)觀念.只有這樣，才能實現(xiàn)《課標(biāo)2011年版》提出的“學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”的要求.

2 空間觀念

空間觀念是一個人對周圍環(huán)境和實物的直接感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面.《課標(biāo)2011年版》指出“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等.”空間觀念至少反映了如下5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號作出圖形.可見，形成學(xué)生空間觀念的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象、分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程之中，無論是圖形的認(rèn)識，圖形的運動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù).

例如，通過學(xué)習(xí)數(shù)軸這一概念，讓學(xué)生在頭腦中形成如下的一些認(rèn)識：任何一個有理數(shù)在數(shù)軸上都對應(yīng)著一個點；互為相反的兩個數(shù)位于原點的兩邊，到原點的距離相等；在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)要大；借助于數(shù)軸可以直觀的理解絕對值的概念等等.通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生明白在一維直線空間里“實數(shù)和點是一一對應(yīng)的”.在二維平面空間里，要準(zhǔn)確地描述一個點的位置，要用兩個實數(shù)（x，y）才能完成，而且要從本質(zhì)上理解A（3，4）和B（4，3）為什么是兩個不同的點及這兩個點的位置關(guān)系是怎樣的.在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行如下拓寬：如果學(xué)生杜雨笑在沂南四中七年級六班三組，可以寫成（7，6，3），啟發(fā)學(xué)生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意義？通過交流得出，這些數(shù)字的順序是不可交換的，它們是有嚴(yán)格的先后順序的，其本質(zhì)是對應(yīng)的關(guān)系.

學(xué)生有了上面的知識基礎(chǔ)，進(jìn)一步可以得到下面的認(rèn)識：在我們生活的空間里，任何事物均處于一定的空間之中，均在其空間中與其它相關(guān)事物保持一定的聯(lián)系.事物的空間位置以及它與其相關(guān)事物之間的聯(lián)系是客觀的，一般保持穩(wěn)定狀態(tài)，不可輕易強行改變，否則，事物便會在其空間中失去平衡，空間也便會出現(xiàn)紊亂無序狀態(tài).

案例2 畫一條直線，將圖2所示的正方形分為兩個相同的部分（或全等的部分）.

對這個問題絕大多數(shù)學(xué)生都能畫出四條符合要求的直線，如圖3所示.endprint