甄 昕，丁力軍

（1.解放軍92941部隊93分隊，遼寧 葫蘆島 125000；2.解放軍92493部隊98分隊，遼寧 葫蘆島 125000）

復(fù)合假設(shè)下導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)Bayes檢驗方法

甄 昕1，丁力軍2

（1.解放軍92941部隊93分隊，遼寧 葫蘆島 125000；2.解放軍92493部隊98分隊，遼寧 葫蘆島 125000）

在用Bayes方法對海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)進(jìn)行假設(shè)檢驗時，原假設(shè)和對立假設(shè)均采用簡單假設(shè)的形式，而此種方法可能導(dǎo)致使用方Bayes風(fēng)險增大。從理論上闡述了簡單假設(shè)Bayes檢驗方法可能導(dǎo)致使用方Bayes風(fēng)險增大的原因，同時給出了用于取代簡單假設(shè)的復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法，并用實例證明了它比簡單假設(shè)Bayes檢驗方法科學(xué)、合理。

簡單假設(shè)，復(fù)合假設(shè)，經(jīng)典風(fēng)險，Bayes風(fēng)險

引言

從上世紀(jì)90年代開始，Bayes理論逐漸在海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈試驗與鑒定領(lǐng)域得到應(yīng)用，主要應(yīng)用在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)各類可靠性指標(biāo)的檢驗與評估等方面，特別是為小樣本條件下導(dǎo)彈可靠性指標(biāo)評定提供了一種可信的解決方案。隨著Bayes理論應(yīng)用的不斷深入，其起到的減少試驗子樣、縮短試驗周期、增加試驗效益的作用是不言而喻的，在這一過程中取得的某些成果已被相關(guān)國軍標(biāo)收錄，例如：從1994年頒布的GJBZ20217-94到2009年頒布的GJB6671-2009［1］等系列有關(guān)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)設(shè)計定型試驗規(guī)程中，均引用了相同的簡單假設(shè)下導(dǎo)彈單發(fā)命中概率指標(biāo)Bayes檢驗方法，此種方法有著計算簡單、工程應(yīng)用方便等特點，但隨著實際應(yīng)用的加深，發(fā)現(xiàn)其存在瑕疵，有進(jìn)一步改進(jìn)的余地，下面就其存在的問題及解決辦法展開深入探討。

1 簡單假設(shè)Bayes檢驗方法

在海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計定型試驗中，導(dǎo)彈射擊方案的制定通常是基于單發(fā)命中概率指標(biāo)的檢驗方案。當(dāng)試驗子樣較少或者應(yīng)用經(jīng)典法制定檢驗方案將導(dǎo)致雙方風(fēng)險偏大時，一般采用Bayes方法來制定檢驗方案，下面給出以往規(guī)程中簡單假設(shè)下對導(dǎo)彈單發(fā)命中概率指標(biāo)θ的Bayes檢驗方法。

對于統(tǒng)計假設(shè)：

其中，參數(shù)空間Θ=Θ0+Θ1。

決策不等式為:

其中，d=（1-θ1）/（1-θ0）為鑒別比，λ=θ1/θ0為鑒別系數(shù)，sn為試驗成功數(shù)，fn為試驗失敗數(shù)。

驗前概率為：

其中，n0為驗前試驗數(shù)，s0為驗前成功數(shù)。

檢驗過程中，生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險απ0、使用方Bayes風(fēng)險βπ1為：

式（2）中，α和β分別為經(jīng)典的生產(chǎn)方風(fēng)險和使用方風(fēng)險，且有：

在制定檢驗方案時，應(yīng)使απ0與βπ1相當(dāng)。

2 問題分析

“當(dāng)產(chǎn)品設(shè)計過程結(jié)束，完成了從設(shè)計到工藝生產(chǎn)的轉(zhuǎn)化，于是理論上可以據(jù)此生產(chǎn)無限多產(chǎn)品，就是我們要考察的全體，其某一質(zhì)量特性服從某個總體分布?！保?］，海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計定型亦符合這一過程，所以在導(dǎo)彈設(shè)計定型試驗中對導(dǎo)彈產(chǎn)品的檢驗屬于抽樣檢驗，根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗原理［3］，當(dāng)導(dǎo)彈單發(fā)命中概率θ不低于AQL（合格質(zhì)量水平，取為θ0）或θ≥θ0時，定型試驗成功；當(dāng)θ不高于LQ（極限質(zhì)量水平，取為θ1）或θ≤θ1時，定型試驗失敗。

根據(jù)統(tǒng)計決策理論［4］，在上述導(dǎo)彈產(chǎn)品檢驗過程中的Bayes風(fēng)險r(π，a)由下式?jīng)Q定：

其中，Θ為參數(shù)空間，χ為樣本空間，θ為導(dǎo)彈質(zhì)量特征參數(shù)，a為采取的行為或決策，L（θ，a）為損失函數(shù)，f（x|θ）為似然函數(shù)，π（θ）為先驗概率密度函數(shù)。

在以往規(guī)程給出的簡單假設(shè)Bayes檢驗方案中，有下式成立：

其中，χ0為接收產(chǎn)品的樣本空間，χ1為拒收產(chǎn)品的樣本空間，ai為接收假設(shè)Hi的行為或決策。

將式（4）代入式（3），可得簡單假設(shè)Bayes風(fēng)險，即有式（2）成立。

在簡單假設(shè)Bayes檢驗方法中，式（4）是對導(dǎo)彈設(shè)計定型試驗實際情況的數(shù)學(xué)抽象，其參數(shù)空間只包含兩點即Θ={θ0，θ1}，顯然與實際不符，致使其損失函數(shù)有可能存在系統(tǒng)偏差。

從檢驗風(fēng)險或損失角度而言，產(chǎn)品質(zhì)量的合格標(biāo)準(zhǔn)是唯一的，即當(dāng)θ≥θ0時產(chǎn)品檢驗結(jié)果合格接收此批產(chǎn)品，則此決策對使用方而言是沒有損失的；當(dāng)θ＜θ0時產(chǎn)品檢驗結(jié)果不合格拒收此批產(chǎn)品，則此決策對生產(chǎn)方而言是沒有損失的，反之都是有損失的。風(fēng)險或損失正是由于非全額檢驗造成的。據(jù)此，在制定檢驗方案時應(yīng)有下式成立：

其中，a0：接收假設(shè)H0，a1：接收假設(shè)H1。

將式（5）代入式（3），可得復(fù)合假設(shè)生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險απ00和使用方Bayes風(fēng)險βπ11為：

GJB6671-2009規(guī)定在導(dǎo)彈指標(biāo)的檢驗過程中要堅持雙方風(fēng)險相當(dāng)?shù)脑瓌t，所以風(fēng)險的計算對于確定試驗樣本量是至關(guān)重要的，同時也涉及到試驗的公平性。簡單假設(shè)Bayes檢驗方法的統(tǒng)計假設(shè)與導(dǎo)彈飛行試驗實際有出入，其無法考慮θ∈（θ1，θ0）時決策所帶來的損失，導(dǎo)致Bayes風(fēng)險可能存在系統(tǒng)偏差，而復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法可以有效解決這一問題。

3 復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法

復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法，設(shè)有統(tǒng)計假設(shè)：

π（H0|X）與π（H1|X）為θ的后驗概率，決策不等式為：

其中，

θ的后驗概率密度π（θ|x）由下式?jīng)Q定［5］：

其中，fn為試驗失敗數(shù)，n0、s0和sn定義同前，B（a，b）為貝塔函數(shù)。

θ的先驗概率π（θ）由下式?jīng)Q定［5］：

將似然函數(shù)π（x|θ）、式（5）和式（9）代入式（6），可得到生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險απ00和使用方Bayes風(fēng)險βπ11。

在制定檢驗方案時，應(yīng)使απ00和βπ11相當(dāng)。

4 案例分析

采用GJB6671-2009給出的范例。假設(shè)某型導(dǎo)彈設(shè)計定型試驗，其單發(fā)命中概率θ的合格質(zhì)量水平θ0=0.75，極限質(zhì)量水平θ1=0.58，且有導(dǎo)彈研制試驗結(jié)果作為先驗信息（n0，s0）=（8，6），利用簡單假設(shè) Bayes檢驗方法制定的檢驗方案為（sn，fn）=（5，2），即定型試驗7發(fā)5中合格，經(jīng)計算雙方風(fēng)險απ0=0.151 0、βπ1=0.140 9，基本相當(dāng)。

試根據(jù)以上數(shù)據(jù)制定復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方案，并比較兩方案的Bayes風(fēng)險。

解：已知θ0=0.75，θ1=0.58，s0=6，f0=2，當(dāng)導(dǎo)彈定型試驗樣本量n=6、7、8時，在滿足式（7）的條件下，可以得到相應(yīng)的檢驗方案（sn，fn）下的Bayes風(fēng)險，計算結(jié)果見表1。

本案例用Matlab編程計算，計算過程中的積分值由int（）函數(shù)求取。

從表1的計算結(jié)果可以得到以下兩點結(jié)論：

①對于相同的檢驗方案，簡單假設(shè)的生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險απ0要大于復(fù)合假設(shè)的生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險απ00；簡單假設(shè)的使用方Bayes風(fēng)險βπ1要小于復(fù)合假設(shè)的使用方Bayes風(fēng)險βπ11。

表1 導(dǎo)彈單發(fā)命中概率兩種檢驗方案Bayes風(fēng)險比較

②按照雙方風(fēng)險相當(dāng)?shù)脑瓌t，用簡單假設(shè)Bayes檢驗方法選擇的檢驗方案為（sn，fn）=（5，2），即定型試驗7發(fā)5中合格；用復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法選擇的檢驗方案為（sn，fn）=（5，1），即定型試驗6發(fā)5中合格。

以上兩點說明：從Bayes風(fēng)險或試驗公平性角度而言，用以往規(guī)程給出的簡單假設(shè)Bayes檢驗方法來制定檢驗方案，相比較用復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法來制定檢驗方案，增大了生產(chǎn)方Bayes風(fēng)險，使最終檢驗結(jié)果照顧了生產(chǎn)方利益，但損害了使用方利益。

5 結(jié)論

理論和實例分析表明，復(fù)合假設(shè)Bayes檢驗方法相較以往規(guī)程中給出的簡單假設(shè)Bayes檢驗方法更加符合海防戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈飛行試驗的實際情況，相比較而言是科學(xué)合理的，特別是其損失函數(shù)的確定方法對經(jīng)典假設(shè)檢驗也有重要借鑒意義。

對于服從非二項分布的可靠性指標(biāo)的復(fù)合假設(shè)檢驗，只是似然函數(shù)、先驗函數(shù)及后驗函數(shù)和二項分布有所不同，所得結(jié)論不變。

［1］李守秀.GJB 6671-2009反艦導(dǎo)彈定型試驗規(guī)程［S］.北京：中國人民解放軍總裝備部，2009.

［2］何國偉.可靠性試驗技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1995.

［3］馬毅林，于振凡.產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢驗［M］.北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1997.

［4］James O B．Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis［M］．New York:SVNY Publishing，1980.

［5］周源泉，翁朝曦.可靠性評定［M］.北京：科學(xué)出版社，1990：66.

［6］茆詩松，王玲玲.可靠性統(tǒng)計［M］.南京：華東師范大學(xué)出版社，1985.

Method for Bayesian Hypothesis Testing of Missile Reliability Indexes under Complex Hypothesis

ZHEN Xin1，DING Li-jun2
（1.Unit 93 Troop 92941 of PLA，Huludao 125000，China；2.Unit 98 Troop 92493 of PLA，Huludao 125000，China）

For a long time，a null hypothesis and its resistant hypothesis have been adopted the form of a point hypothesis which may increase Bayes risk of users when Bayesian hypothesis testing for the reliability indexes of the Navy tactic missile has been conducted in the test of missiles.In this article，the reason of the growth of Bayes risk of users has been clarified theoretically.Meantime，a complex hypothesis has been given up，and its advantages over a point hypothesis have been vindicated by example.

a Point Hypothesis，complex hypothesis，classical risk，Bayesian risk

E917

A

1002-0640（2014）10-0183-03

2013-07-09

2013-09-07

甄 昕（1970- ），男，高級工程師。研究方向：導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可靠性試驗。