安海崗

（石家莊經(jīng)濟學(xué)院管理科學(xué)與工程學(xué)院，石家莊 050031）

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時間序列雙變量聯(lián)動波動

安海崗

（石家莊經(jīng)濟學(xué)院管理科學(xué)與工程學(xué)院，石家莊 050031）

選擇倫敦金與Au9999下午收盤價格作為樣本數(shù)據(jù)研究時間序列雙變量之間的聯(lián)動波動規(guī)律.依據(jù)粗?；椒ǎ瑢惗亟鹋cAu9999價格的聯(lián)動波動狀態(tài)轉(zhuǎn)化為由5個｛P，N，M｝字符組成的字符串，每個字符串代表5天的價格聯(lián)動波動模態(tài).將模態(tài)作為節(jié)點，模態(tài)之間的轉(zhuǎn)化為邊，構(gòu)建價格聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對時間序列雙變量聯(lián)動波動模態(tài)的統(tǒng)計、變化規(guī)律和演化機制進行分析.結(jié)果表明：時間序列雙變量聯(lián)動波動模態(tài)分布具有冪律性、群簇性和周期性，其聯(lián)動波動模態(tài)主要通過少數(shù)幾種模態(tài)進行轉(zhuǎn)換與演化.本方法不僅可以研究不同類型時間序列雙變量聯(lián)動波動，同時可為多變量聯(lián)動波動研究提供思路.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；粗?；?；聯(lián)動波動；時間序列

0 引言

時間序列數(shù)據(jù)是一種動態(tài)的高維數(shù)據(jù)，與靜態(tài)數(shù)據(jù)不同之處在于它是隨著時間的改變而發(fā)生變化.在金融、經(jīng)濟及工程管理等眾多領(lǐng)域，通過對時間序列數(shù)據(jù)進行挖掘與分析能夠為管理者提供許多有價值的商業(yè)信息，為管理決策制定提供參考［1］.挖掘時間序列數(shù)據(jù)中的各種動態(tài)特征及發(fā)展演化規(guī)律，是一種重要的統(tǒng)計分析方法，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域，是一種科學(xué)研究的創(chuàng)新性思維.時間序列數(shù)據(jù)是一種歷史數(shù)據(jù)，通過對歷史數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，可預(yù)測其未來發(fā)展趨勢，即時間序列數(shù)據(jù)預(yù)測.

時間序列數(shù)據(jù)預(yù)測包括單變量預(yù)測和多變量預(yù)測兩種.在目前單變量時間序列預(yù)測方法中，常用的有移動平均與分解方法［2］、指數(shù)平滑方法［3］、Box-Jenkins方法［4］、ARARMA模型［5］、Pandit-Wu方法［6］、干預(yù)分析模型［7］、狀態(tài)空間模型及Bayesi-an預(yù)測方法［8］等.倫敦金與Au9999現(xiàn)貨黃金價格屬于時間序列雙變量，對時間序列雙變量之間關(guān)系進行研究的傳統(tǒng)方法主要側(cè)重于探究它們之間的均衡關(guān)系，包括自回歸模型［9］、協(xié)整檢驗及誤差修正模型、方差分析［10］、數(shù)據(jù)挖掘［11］、多元統(tǒng)計［12］、協(xié)同理論［13］等.倫敦金與Au9999每天都在發(fā)生著變化，兩種價格的聯(lián)動性也隨之發(fā)生著改變，它們之間的聯(lián)動關(guān)系是一個非線性的、動態(tài)變化的復(fù)雜系統(tǒng).現(xiàn)有的傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)中的方法很難揭示關(guān)系的波動機理，而物理經(jīng)濟領(lǐng)域的研究為我們提供了一些新的思路和方法.對于此類問題，國內(nèi)外學(xué)者將粗?；椒ㄅc復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來進行了一些研究，包括對我國溫度波動模態(tài)的分析［14］、國際原油價格波動的分析［15］、國際原油與國內(nèi)原油價格波動關(guān)系的研究［16］等.

黃金具有貨幣和商品的雙重屬性，是各國外匯儲備的重要組成部分，具有良好的流通性和不可替代的保值與避險功能，一直受到各國政府的重視.近些年來，由于中國黃金市場的發(fā)展和中國影響力的不斷增大，中國黃金市場正日益受到國際社會的關(guān)注，在國際黃金市場上的影響力也在逐年提高，但中國黃金市場在國際黃金定價中的影響力究竟有多大，與國際黃金市場之間存在怎樣的聯(lián)系以及這種聯(lián)系的動態(tài)特征，是多數(shù)投資人與管理者關(guān)注的問題.

由以上研究可知，國際倫敦金與我國的Au9999黃金現(xiàn)貨價格的時間序列雙變量之間存在聯(lián)動性，通過傳統(tǒng)的經(jīng)濟方法可以將雙變量之間的關(guān)系表示出來，但是對于雙變量之間是如何聯(lián)動波動的，以及內(nèi)在的變化規(guī)律和演化機理卻無法描述.要解決該問題可以借鑒統(tǒng)計物理學(xué)的方法，將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與粗?；椒☉?yīng)用于其聯(lián)動波動的研究中來.本文運用粗?；椒▽惗亟鹋cAu9999黃金現(xiàn)貨價格的聯(lián)動波動關(guān)系轉(zhuǎn)換為聯(lián)動波動模態(tài)，以時間順序關(guān)系為邊構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對其聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行統(tǒng)計分析，進而研究其內(nèi)在的變化規(guī)律和演化機理.

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)

本文的研究需選擇兩個時間序列單變量作為研究對象，且此變量應(yīng)具有一定代表性，因此選擇上海黃金交易所Au9999黃金現(xiàn)貨收盤價與倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨的下午定盤價作為樣本數(shù)據(jù).上海黃金交易所黃金現(xiàn)貨價格是我國黃金現(xiàn)貨價格的晴雨表，倫敦標(biāo)準(zhǔn)金代表國際黃金現(xiàn)貨的黃金價格.倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨為純度不低于99.5%的標(biāo)準(zhǔn)金塊，而上海黃金交易所的Au9999為純度在99.99%以上的Au9999金，是上海黃金交易所交易時間最長且交易量較大的一種黃金現(xiàn)貨，二者在品質(zhì)上具有一致性［17］.

選取2003年1月1日到2013年9月6日之間的黃金價格數(shù)據(jù).由于國內(nèi)外市場節(jié)假日不同，為使數(shù)據(jù)保持一致，刪除所有的不匹配數(shù)據(jù)，得到配對數(shù)據(jù)2553個.由于上海黃金交易所黃金報價單位為人民幣元／克，倫敦黃金報價單位為美元／盎司，因此需對Au9999現(xiàn)貨價格進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，其中1盎司＝31.103 5克，匯率采用國家外匯管理局網(wǎng)站統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫中提供的人民幣基準(zhǔn)匯價.

1.2 數(shù)據(jù)粗?；幚?/p>

選取倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨與AU9999的下午定盤價時間序列數(shù)據(jù)作為研究對象，對于此類經(jīng)濟金融學(xué)數(shù)據(jù)，價格波動扮演著十分重要的角色.

設(shè)AUt為第t天的Au9999現(xiàn)貨價格，LDt為第t天的倫敦標(biāo)準(zhǔn)金現(xiàn)貨價格，AUt－1和LDt－1為第t－1天的Au9999與倫敦金價格，則ΔAU＝AUt-AUt－1，ΔLD＝LDt-LDt－1．當(dāng)ΔAU×ΔLD＞0時，表示兩者之間具有同向聯(lián)動性；當(dāng)ΔAU×ΔLD＜0時，表示兩者之間具有異向聯(lián)動性；當(dāng)ΔAU×ΔLD＝0時，表示兩者之間價格沒有聯(lián)動性［18］.

為了更有效地分析它們之間的聯(lián)動性，所選擇的模態(tài)符號應(yīng)越少越好.因此，設(shè)兩個價格之間的聯(lián)動性為符號CLi，即ΔAU×ΔLD

由此，可將雙變量之間聯(lián)動波動情況用連續(xù)的符號序列來表示，使得對粗?；姆栃蛄械韧趯r間序列數(shù)據(jù)的研究.轉(zhuǎn)化后相應(yīng)的符號序列CLt為

在對2 521－1個聯(lián)動波動符號化后，將得到同樣數(shù)量的抽象符號序列CLi＝（CL1，CL2，CL3，CL4，CL5，…，CLn）（n＝2 520）．同樣以5個聯(lián)動波動符號作為一個符號序列，以1天為步長作數(shù)據(jù)滑動，由此將得到2 516個價格聯(lián)動波動模態(tài).例如本文所構(gòu)建的黃金價格聯(lián)動波動符號序列為：｛MPPMPMMPMPPMMPPNP PPPPPPPPMMP…｝對此字符串做數(shù)據(jù)滑窗，形成的模態(tài)集合｛MPPMP，PPMPM，PMPMM，MPMMP，PMMPM，MMPMP，MPMPP，PMPPM，MPPMM，PPMMP，PMMPP，MMPPN，MPPNP，PPNPP，PNPPP，NPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPM，PPPMM，PPMMP，…｝.由于模態(tài)形成過程是通過數(shù)據(jù)滑動的形式實現(xiàn)的，因此后一個模態(tài)的形成以前一個模態(tài)為基礎(chǔ)，模態(tài)之間具有了傳遞性與有向性，便于模態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建.整體數(shù)據(jù)滑動及模態(tài)形成過程如表1所示.

1.3 聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法主要用來解釋系統(tǒng)中各個要素（即各個模態(tài)）之間的分布特征及相互關(guān)系，所以應(yīng)首先構(gòu)建時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點與邊構(gòu)成，本文構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型時以時間序列雙變量聯(lián)動波動模態(tài)為節(jié)點，模態(tài)之間的有向轉(zhuǎn)換為邊，由此構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).雙變量時間序列聯(lián)動波動是一個有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，模態(tài)間轉(zhuǎn)換的次數(shù)為此有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重.

表1 聯(lián)動波動粗?；幚磉^程Table 1 Coarse-grained process of linkage fluctuation

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括許多統(tǒng)計參數(shù)，如度、點強度、平均最短路徑、中心性、加權(quán)集聚系數(shù)、小團體及結(jié)構(gòu)洞等.通過對這些參數(shù)進行分析可對時間序列雙變量聯(lián)動波動情況、變化規(guī)律與演化機理有所掌握，可對其未來演變趨勢進行預(yù)測，為規(guī)避市場風(fēng)險投資提供決策與建議.

1）聯(lián)動波動模態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律

聯(lián)動波動模態(tài)統(tǒng)計規(guī)律是對聯(lián)動波動模態(tài)間復(fù)雜關(guān)系的統(tǒng)計.本文所構(gòu)建的倫敦金與Au9999時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)屬有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，與無權(quán)網(wǎng)絡(luò)不同，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的邊帶有權(quán)重，因此采用點強度的概念，點強度對應(yīng)無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的度.點強度是該節(jié)點在此網(wǎng)絡(luò)中重要性的體現(xiàn)，它不僅考慮與該節(jié)點連接的所有近鄰，而且還考慮鄰近節(jié)點與其之間關(guān)聯(lián)的緊密，即它們之間的權(quán)重.點強度的定義為［19］

式（1）中，Ni為與節(jié)點i相連接的由節(jié)點i指向的所有近鄰節(jié)點的集合，Wij為節(jié)點i到j(luò)的權(quán)重.點強度越大，表明該模態(tài)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的地位越重要，該模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù)越多.

不同節(jié)點的點強度不一樣，強度分布存在差異性，本文將時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點強度分布定義為

式（2）中ki代表節(jié)點i的點強度，N代表所有節(jié)點強度的和.

時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的點強度及強度分布描述了雙變量之間聯(lián)動波動模態(tài)及其之間的關(guān)聯(lián)程度.節(jié)點的點強度及強度分布越大表明當(dāng)前模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù)越多，在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的概率也就越大，此模態(tài)也就越重要.

2）聯(lián)動波動模態(tài)的變化規(guī)律

聯(lián)動波動模態(tài)變化規(guī)律主要用來研究那些模態(tài)在網(wǎng)絡(luò)中處于重要位置，這些模態(tài)之間怎樣轉(zhuǎn)換，模態(tài)轉(zhuǎn)換中的核心模態(tài)有那些，那些節(jié)點控制著網(wǎng)絡(luò)的交往能力，在網(wǎng)絡(luò)中存在多少個網(wǎng)絡(luò)子群.

對子群進行分析時可主要采用n-Cliques方法和k-Plex方法.n-Cliques方法主要對網(wǎng)絡(luò)的可達性進行分析，k-Plex方法是基于節(jié)點度基礎(chǔ)上子群的一種分析方法.對于一個網(wǎng)絡(luò)圖來說，如果存在這樣一個子圖，則可稱它為n－派系：在網(wǎng)絡(luò)子圖中，該子圖中的任何兩點之間的最短距離不超過n［20］.令d（i，j）代表節(jié)點i和節(jié)點j之間的距離，則d（i，j）≤n，將滿足該條件的所有節(jié)點組成的子圖即為n-Cliques.k-Plex即滿足以下條件的凝集子群：假如子群中有n個節(jié)點，子群中的每個節(jié)點都至少與n-k個節(jié)點直接有邊相連，即該子群中的每個節(jié)點度數(shù)都大于或等于n-k［21］.

運用n-Cliques方法和k-Plex方法可對網(wǎng)絡(luò)中的凝集子群進行分析，可以解決該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中那些模態(tài)存在著較多的相互轉(zhuǎn)換，但是對于模態(tài)轉(zhuǎn)換中的核心模態(tài)及不同模態(tài)的重要性進行挖掘還需要對其集聚系數(shù)進行研究.加權(quán)聚集系數(shù)為有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點近鄰之間聚集性質(zhì)的一個統(tǒng)計參數(shù)，聚集系數(shù)越高，表示近鄰之間的關(guān)聯(lián)程度越緊密，反之越松散.倫敦金與Au9999聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)就屬于加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，權(quán)重表示兩個節(jié)點之間關(guān)系的緊密程度，權(quán)重越大，關(guān)系越緊密.本文將加權(quán)聚集系數(shù)定義為［22］

式（3）中，wij代表節(jié)點（i，j）邊的權(quán)重，ki代表節(jié)點i的點強度，Si代表節(jié)點i的度數(shù)．a(chǎn)ijajkaki代表三個節(jié)點之間是否相互有關(guān)聯(lián)，值為0表示它們之間沒有關(guān)聯(lián)，值1表示它們之間有邊相關(guān)聯(lián)，如果三者之間均有關(guān)聯(lián)，表示它們構(gòu)成一個三角形.加權(quán)聚集系數(shù)值越高，代表該模態(tài)在子群中位置越重要，該模態(tài)與其他模態(tài)轉(zhuǎn)換越頻繁越緊密.

3）聯(lián)動波動模態(tài)的演化規(guī)律

聯(lián)動波動模態(tài)演化規(guī)律主要研究不同模態(tài)隨時間演化情況，聯(lián)動波動模態(tài)是通過哪些模態(tài)進行轉(zhuǎn)化的，轉(zhuǎn)化周期是多少.聯(lián)動波動模態(tài)演化規(guī)律可借助中介中心性和平均路徑長度來統(tǒng)計分析.

對于節(jié)點控制能力的分析，可對網(wǎng)絡(luò)的中介中心性進行分析.節(jié)點中介中心性wk的定義如下：設(shè)c（i，j）是節(jié)點i與j之間所有最短路徑的總數(shù)，路徑的長度就是路徑通過的各條邊的權(quán)重，這些路徑中通過中間節(jié)點k的路徑數(shù)為ck，則節(jié)點k的中介中心性測度wk為所有節(jié)點對wk（i，j）的和［23］.

假如兩個節(jié)點i和j之間的距離為dij（即任意兩個節(jié)點相互連接所要經(jīng)過的連邊數(shù)），網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度定義為任意兩個節(jié)點之間距離的平均值.在有向網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度定義為：其中N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)目.

2 結(jié)果及分析

2.1 聯(lián)動波動模態(tài)統(tǒng)計規(guī)律

本文對雙時間序列雙變量倫敦金與Au9999下午定盤價聯(lián)動波動模態(tài)點強度及強度分布進行了統(tǒng)計計算，對其模態(tài)作了粗?；幚恚玫搅寺?lián)動波動的符號序列.由此符號序列組成的聯(lián)動波動模態(tài)理論上存在35＝243種，但是實際只出現(xiàn)了106個，其它模態(tài)并沒有出現(xiàn).對符號序列中不同符號出現(xiàn)的次數(shù)進行統(tǒng)計后，發(fā)現(xiàn)代表正向聯(lián)動波動的符號P出現(xiàn)了1 668次，占比66%，代表異向聯(lián)動波動的符號M出現(xiàn)了819次，占比32%，代表無聯(lián)動波動的符號N僅出現(xiàn)了45次，占比僅2%.這說明在2003年到2013年間，倫敦金與Au9999價格聯(lián)動性較強，這與事實一致，結(jié)果如圖1所示.

對雙變量聯(lián)動波動模態(tài)節(jié)點強度及強度分布進行統(tǒng)計計算，結(jié)果如表2所示.

圖1 聯(lián)動波動符號出現(xiàn)次數(shù)比重Fig.1 Proportion of P，M，N

由表2可知，代表倫敦金與Au9999連續(xù)5天同向聯(lián)動的字符PPPPP點強度為336，代表連續(xù)5天異向聯(lián)動的字符MMMMM點強度為17，這說明在這十年多內(nèi)，倫敦金與Au9999連續(xù)5天同向變化共出現(xiàn)了336次，而連續(xù)5天異向變化出現(xiàn)次數(shù)較少，只有17次，倫敦金與Au9999價格同向聯(lián)動性較強.在點強度最高的32個節(jié)點中，字符“N”出現(xiàn)次數(shù)為零次，這表明在近10年的黃金現(xiàn)貨市場中，黃金現(xiàn)貨價格波動激烈，兩者之間連動性較強.兩者之間的聯(lián)動方向性，可通過對加權(quán)次數(shù)M的計算來獲得.M可定義為價格波動符號出現(xiàn)的次數(shù)與該節(jié)點的強度分布（即加權(quán)次數(shù)的權(quán)重）的乘積.

在節(jié)點度數(shù)最高的32個節(jié)點中，其聯(lián)動性符號組合加權(quán)次數(shù)如表3所示.由表3可知，隨著同向與反向符號數(shù)量的增多，同向符號組合除以反向符號組合的數(shù)值越來越大，這表明在黃金現(xiàn)貨聯(lián)動波動網(wǎng)絡(luò)中，隨著時間的逐步推移，同向聯(lián)動性出現(xiàn)的比率越來越多，價格同增或同長頻率越來越高.

在106個節(jié)點中，點強度排名前32的節(jié)點強度分布占比92.15%，這32個模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)變、或者其他模態(tài)向此32個模態(tài)轉(zhuǎn)換概率相對較高.節(jié)點強度分布在0.2%以下的節(jié)點個數(shù)為63，這些節(jié)點在此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)概率較小.

時間序列雙變量倫敦金與Au9999價格聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度k與累積強度LP（k）分布關(guān)系如圖2所示.

對聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的點強度由高到低排序可得到各個節(jié)點的排序名詞，并計算點強度與排序名詞的對數(shù)，得到線性回歸方程Y＝－1.751 8＋3.528，回歸系數(shù)為0.901，發(fā)現(xiàn)它們整體上也服從冪律分布，結(jié)果如圖3所示.

表2 聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點點強度及強度分布Table 2 Strength degrees and distribution of nodes of a linkage fluctuation complex network

表3 前32個模態(tài)聯(lián)動性符號組合加權(quán)次數(shù)Table 3 Weighted counts of linkage fluctuation combination symbols of former 32 nodes

圖2 （a）點強度與累積強度分布；（b）點強度與累積強度分布雙對數(shù)關(guān)系Fig.2 （a）Distribution of strength degree and accumulation strength degree；（b）Double logarithm distribution of strength degree and accumulation strength degree

由以上分析可知，時間序列雙變量倫敦金與Au9999收盤價格聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點強度與強度分布、排序名詞均服從冪律分布，且同向聯(lián)動性趨勢較強.說明我國黃金現(xiàn)貨價格Au9999受到倫敦金價格的影響，且基本保持同步.但是二者之間并非完全同步，表明我國在制定黃金現(xiàn)貨價格時，并不是完全與國際價格一致，而是根據(jù)我國政治經(jīng)濟環(huán)境作適當(dāng)調(diào)整.

圖3 （a）點強度與排序名次分布；（b）點強度與排序名詞雙對數(shù)關(guān)系Fig.3 （a）Distribution of strength degree and its ranking；（b）Double logarithm distribution of strength degree and its ranking

2.2 聯(lián)動波動模態(tài)變化規(guī)律研究

運用n-Cliques對倫敦金與Au9999價格聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行統(tǒng)計研究，當(dāng)n＝2，節(jié)點規(guī)模為7時，存在11個子群；當(dāng)n＝2，節(jié)點規(guī)模為8時候，存在2個子群，結(jié)果如表4所示.

表4 n-Cliques方法聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)子群集合Table 4 Clusters of a linkage fluctuation complex network based on n-Cliques

表4中，13個子群中模態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換最多不超過2步，當(dāng)某一模態(tài)屬于一子群時，此模態(tài)轉(zhuǎn)化為同一子群內(nèi)其他模態(tài)概率較大.13個子群根據(jù)其模態(tài)可分為二類：1－11號子群中，符號P和M出現(xiàn)次數(shù)相當(dāng)，價格正向聯(lián)動與異向聯(lián)動相互轉(zhuǎn)換頻率較高；12－13號子群中，符號M出現(xiàn)次數(shù)較多，在這兩個子群中，持續(xù)的異向聯(lián)動波動相互轉(zhuǎn)換概率較大.在某些子群中，價格聯(lián)動波動以同向為主，但黃金現(xiàn)貨市場有時會根據(jù)實際情況進行微小調(diào)整，例如小團體“NMPPP、MMPPP、MPPPP、PMPPP、PPPMM、PPPMP、PPPPM、PPPPP”中就存在9天的異向聯(lián)動.當(dāng)進入小團體模態(tài)時，價格聯(lián)動變化遵循一定規(guī)律，能對黃金市場交易、風(fēng)險投資及規(guī)避經(jīng)濟風(fēng)險提供決策參考.運用k-Plex方法，當(dāng)k＝2，節(jié)點規(guī)模為4時，共存在33個子群，在這33個子群中，每個節(jié)點都至少與3個節(jié)點直接有邊相連，且向這些節(jié)點轉(zhuǎn)化較頻繁；當(dāng)k＝2，節(jié)點規(guī)模為5時，不存在子群.

通過對網(wǎng)絡(luò)的子群進行統(tǒng)計分析有助于掌握聯(lián)動波動變化過程中那些模態(tài)變化較為頻繁和迅速.但是要挖掘核心模態(tài)及不同模態(tài)在轉(zhuǎn)換過程中的重要性，還需要對此網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)進行分析.

實驗發(fā)現(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)中僅有14個模態(tài)的加權(quán)集聚系數(shù)不為零，前7個節(jié)點占比86%，即這14個模態(tài)的近鄰節(jié)點之間有關(guān)聯(lián)，形成了以這些模態(tài)為核心的14個小群簇（見表5）.在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，若節(jié)點的聚集系數(shù)較高，度值也較高，則說明該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中具有一定的主導(dǎo)地位.建立節(jié)點加權(quán)聚集系數(shù)與點強度的分布發(fā)現(xiàn)，兩者之間并沒有表現(xiàn)出良好的相關(guān)性，時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出較高的復(fù)雜性，如圖4所示.

表5 各模態(tài)及其加權(quán)聚集系數(shù)Table 5 All models and their weighted clustering coefficients

圖4 節(jié)點加權(quán)聚集系數(shù)與點強度分布Fig.4 Distribution of weighted clustering coefficients and strength degrees

2.3 聯(lián)動波動模態(tài)的演化規(guī)律

通過對此網(wǎng)絡(luò)的中介中心性進行計算發(fā)現(xiàn)模態(tài)MPPPM、PPPMP、PPPPM、PPPMM、MMPPP、PPMPN中介中心性較高，其中MPPPM為組群1、2、8、9的核心模態(tài)，PPPMP為組群1－7的核心模態(tài).研究節(jié)點中介性與節(jié)點強度發(fā)現(xiàn)，某些點強度較高的節(jié)點（如PPPPP）中介中心性很弱，某些點強度較低的節(jié)點（如PPMPN或NPPPP）反而充當(dāng)著網(wǎng)絡(luò)中重要的中介功能.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)如PPMPN或NPPPP節(jié)點時，說明該時期為倫敦金與Au9999價格聯(lián)動波動的過渡時期，從而可以對下一時期的波動狀態(tài)做出預(yù)測.

對節(jié)點的中介中心性與等級數(shù)取雙對數(shù)，結(jié)果如圖5所示.由圖5可知，雙對數(shù)坐標(biāo)系下，等級數(shù)與中心性呈冪律關(guān)系.

通過對時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點中介性進行分析，發(fā)現(xiàn)此網(wǎng)絡(luò)中某些節(jié)點的中介性較高，這意味著網(wǎng)絡(luò)中任意兩個價格聯(lián)動波動模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換經(jīng)過這些節(jié)點中轉(zhuǎn)的可能性較大，這些節(jié)點對控制其他節(jié)點的轉(zhuǎn)換具有重要意義，它們在一定程度上可以作為聯(lián)動波動模特之間轉(zhuǎn)換的前兆，對其進行研究將有利于更好的把握黃金價格變化的規(guī)律性，為規(guī)避市場風(fēng)險提供決策支持.

時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，通過計算發(fā)現(xiàn)此網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為7.670，網(wǎng)絡(luò)基于距離的聚類系數(shù)為0.166（范圍從0到1，值越小代表集聚性越弱），加權(quán)距離為0.833.結(jié)合加權(quán)聚集系數(shù)分析結(jié)果可知，在10個小族群中，模態(tài)之間轉(zhuǎn)化不需要經(jīng)過多次路徑，而在這10個族群之外的其他模態(tài)節(jié)點之間平均轉(zhuǎn)換周期為7.7.

此網(wǎng)絡(luò)基于距離的聚類系數(shù)為0.166，接近于0，這表明此網(wǎng)絡(luò)聚集性很弱，盡管此網(wǎng)絡(luò)中存在10個小族群，但每個族群中模態(tài)數(shù)量較少，并且族群間關(guān)聯(lián)性也較弱.例如，節(jié)點PPPPP與MMMMM聚集系數(shù)相對較高，但此兩個節(jié)點之間如要進行轉(zhuǎn)換至少需要5步（PPPPP→PPPPM→PPPMM→PPMMM→PMMMM→

圖5 等級數(shù)與中介中心性雙對數(shù)Fig.5 Distribution of betweenness centrality and ranking

MMMMM），如圖6所示.

圖6 模態(tài)PPPPP與MMMMM轉(zhuǎn)換過程示意圖Fig.6 Transformation process of PPPPP and MMMMM

3 結(jié)論

時間序列雙變量聯(lián)動波動是一個非線性、非穩(wěn)定的復(fù)雜系統(tǒng).現(xiàn)有的傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)中的方法很難揭示其波動機理，而物理經(jīng)濟領(lǐng)域的研究為我們提供了一些新的思路和方法.對于此類問題，國內(nèi)外學(xué)者通常根據(jù)一定的規(guī)則將單時間序列變量波動狀態(tài)轉(zhuǎn)化為特定的符號，運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對其波動狀態(tài)（即變量的升與降）進行統(tǒng)計分析，但是對雙變量聯(lián)動波動模態(tài)變動及內(nèi)在演化機理卻沒有涉及.

選擇時間序列雙變量倫敦金與Au9999價格作為樣本數(shù)據(jù)，對其聯(lián)動波動狀態(tài)進行粗?；?，步長為1天作數(shù)據(jù)滑動，構(gòu)建連續(xù)五天的價格聯(lián)動波動模態(tài).借鑒復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，構(gòu)建時間序列雙變量聯(lián)動波動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，通過對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型進行分析，對其模態(tài)分布規(guī)律、變化規(guī)律和演化機理進行了研究.

由于時間序列雙變量聯(lián)動波動是一個非線性的、動態(tài)變化的復(fù)雜系統(tǒng)，常受到國際政治經(jīng)濟環(huán)境及其他因素的影響，且現(xiàn)實社會中存在不同的時間序列變量，其聯(lián)動波動具有不同的分布特征和演化機理.下一步將收集更多的數(shù)據(jù)，對時間序列雙變量影響因素及不同類型變量聯(lián)動波動進行研究.

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Linkage Fluctuation in Double Variables of Time Series Based on Complex Networks

AN haigang
（Management Science and Engineering，Shijiazhuang University of Economics，Shijiazhuang 050031，China）

To study linkage fluctuation of double variables of time series，we took London Gold and Au9999.Model of linkage fluctuation is consisted of characters｛P，N，M｝，using coarse graining process.Nodes of complex network are 5-symbol strings.Linkage fluctuation complex network is composed of all models and link edges between them.It indicates that models have power-law distribution，clustering and periodicity.Transmission and evolution are finished mainly by few models.It provides an analyzing method for many kinds of double variables of time series and ideas for general law of multi-variables of time series，as well.

complex networks；coarse-grained；linkage fluctuation；time series

date： 2013－11－25；Revised date： 2014－04－02

N945.2

A

2013－11－25；

2014－04－02

國家自然科學(xué)基金（71173199）、國土資源部資源環(huán)境承載力評價重點實驗室和河北省重點學(xué)科技術(shù)經(jīng)濟及管理聯(lián)合資助作者簡介：安海崗（1980－），男，博士，從事復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜項目管理研究，E-mail：anhaigang＠163.com

1001-246X（2014）06-0742-09