何繼煒 李福海

（1.同濟大學建筑工程系，上海200092；2.西南交通大學土木工程學院，成都610031）

圓柱體與棱柱體混凝土動彈性模量轉換關系

何繼煒1，2，*李福海2

（1.同濟大學建筑工程系，上海200092；2.西南交通大學土木工程學院，成都610031）

共振法測量混凝土動彈性模量是一種非破損檢查方法，對于持續(xù)的化學侵蝕及反復的凍融循環(huán)等導致的混凝土動彈性模量變化的檢測非常有效。使用動彈儀測得不同齡期、不同強度等級的棱柱體混凝土試件和圓柱體混凝土試件的基振頻率，通過基振頻率計算動彈性模量，提出圓柱體混凝土動彈性模量的計算公式。結果表明：混凝土動彈性模量隨強度等級的提高而增大，隨含水率的減小而降低。棱柱體混凝土試件與圓柱體混凝土試件之間動彈性模量存在相關關系，并建立了計算公式，可供有關規(guī)范、標準修訂時參考。

共振法，動彈性模量，圓柱體混凝土，齡期，相關關系

1 引 言

混凝土動彈性模量通常用以檢驗混凝土在經受凍融或其他侵蝕作用后遭受破壞的程度，并以此來評定其耐久性能。本試驗測量混凝土動彈性模量的原理是基于共振法。通過共振法測得材料的基頻，就可以推知材料的彈性模量，為區(qū)別于常規(guī)的靜力法得到的彈性模量，故稱為動彈性模量［1］。該方法具有測量精度高、試驗方便等特點。

目前國內規(guī)范中只規(guī)定了棱柱體混凝土動彈性模量的計算方法和試驗方案［1，2］，文獻資料中對圓柱體混凝土動彈性模量的研究以及考慮試件形狀、大小對混凝土動彈性模量影響的研究很少。工程中，試件制備或者是鉆芯取樣進行動彈性模量分析時，很多時候要用到圓柱體試件。由幾何學可知，在高度相同的情況下，不同截面形狀的混凝土體積一般不相等。體積小的試件形成大孔隙的概率相對較低，結構更密實［3］。所以體積小的試件動彈性模量相對較高，這與其他條件相同的情況下，小試件強度高、大試件強度低的原理是一致的。因此，研究圓柱體混凝土動彈性模量的計算方法以及棱柱體混凝土與圓柱體混凝土之間動彈性模量的轉換關系非常有必要。

筆者通過對不同強度等級的棱柱體混凝土試件和圓柱體混凝土試件在不同齡期下的動彈性模量進行測定，分析了動彈性模量隨齡期和強度等級的變化規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)100 mm×100 mm× 400 mm的棱柱體混凝土和φ100 mm×400 mm的圓柱體混凝土之間的動彈性模量采用線性模型進行回歸分析的精度和穩(wěn)定性最優(yōu)，并建立了計算公式。

2 試驗原理

縱向尺寸L遠大于橫向尺寸的細長結構，作微小橫振動（彎曲振動），滿足動力學方程（橫振動方程）為

棒的軸線沿x方向，式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為動彈性模量，ρ為材料密度，S為截面積，J為某一截面的轉動慣量。

用分離變量法求解方程式（1），令y（x，t）＝X（x）T（t），對于等截面的情況，可以求得結構的自振頻率為

式中，β為常數(shù)。

在自由端邊界條件下，棒的兩端（x＝0，L）既不受彎矩也不受剪力。根據邊界條件可以得到超越方程

解超越方程式（3）得：βnL＝0，4.73，…其中β1L＝4.73。對應的結構振動頻率稱為基振頻率（基頻）。將β1L＝4.73代入式（2）中可以得到

式中，f為基振頻率。

如果試樣不能滿足縱向長度遠遠大于橫向長度，就應該乘以一個修正系數(shù)T1，即

參照《普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準》（GB／T 50082—2009）中測量混凝土動彈性模量對試件尺寸的要求，當試件為100 mm× 100 mm×400 mm的棱柱體混凝土時，由式（6）可以得到T1＝1.4。將T1＝1.4帶入式（5）中，并考慮到J＝a4／12，可以得到棱柱體試件的動彈性模量

《金屬材料楊氏模量切變模量及泊松比測量方法（動力學法）》（GB／T 2105—91）中對修正系數(shù)T1作了定義。該標準中指出該方法除了適用于金屬外，還適用于其他均質體。如果不發(fā)生分層離析，混凝土從宏觀上講可以看作均質體，因此該標準適用于混凝土動彈性模量的計算。

對于截面邊長為a、長度為L的棱柱體混凝土（泊松比取0.2）試件修正系數(shù)

單位為GPa。上述計算公式同《普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準》（GB／T 50082—2009），《公路工程水泥及水泥混凝土試驗規(guī)程》（JTGE 30—2005）中對100 mm×100 mm×400 mm的棱柱體混凝土試件動彈性模量的計算規(guī)定完全相同。驗證了混凝土動彈性模量計算中引入《金屬材料楊氏模量切變模量及泊松比測量方法（動力學法）》（GB／T 2105—91）中修正系數(shù)T1的正確性。

雖然規(guī)范中沒有對圓柱體混凝土動彈性模量計算作定義，但是根據上述方法同樣可以推導。對于截面直徑為d、長度為L的圓柱體混凝土（泊松比取0.2）試件修正系數(shù)

由式（8）可以得到幾種常用尺寸試件的修正系數(shù)，該修正系數(shù)可以為相關規(guī)范和計算提供參考，見表1。

由表1可知，當試件為φ100mm×400mm的圓柱體混凝土時，T1＝1.3。將T1＝1.3帶入式（5）中，并考慮到J＝πd4／64，可以得到圓柱體試件的動彈性模量

單位為GPa。在高度相同的情況下，不同截面形狀的混凝土體積一般不相等，動彈性模量也不相同。體積較小的試件動彈性模量高，體積較大的試件動彈性模量低，這是因為大試件容易形成大孔隙，而小試件形成大孔隙的概率相對較低（假設材料或多或少都存在一定量的孔隙或缺陷）［3］。因此小試件一般要比大試件密實，那么小試件的彈性模量就要高些。這與小試件強度高，大試件強度低的原理相一致。對比式（7）和式（9），對于100 mm×100 mm×400 mm的棱柱體混凝土試件和φ100 mm×400 mm的圓柱體混凝土試件，尺寸已定好，為常數(shù)，動彈性模量和質量與基頻平方的乘積有關系（質量和基頻正好和孔隙、缺陷等有一定的關系），所以要通過試驗測得試件的質量和頻率，從而計算出動彈性模量，然后用不同的回歸曲線對測試結果進行擬合，確定最優(yōu)擬合曲線，以反映出棱柱體和圓柱體動彈性模量的轉換關系。

表1 幾種常用圓柱體混凝土試件的修正系數(shù)Table 1 Coefficient of correction for common concrete cylinder specimens

3 試驗概況

3.1 試件制備

原材料情況如下：水泥為四川金頂（集團）股份有限公司生產的峨眉山牌普通硅酸鹽水泥P·O42.5R，密度為2.912 g／cm3；粗骨料來自四川廣漢，表觀密度為2 719 kg／m3，公稱粒徑5～20 mm的連續(xù)級配碎石；細骨料為廣漢河砂，細度模數(shù)為2.77，表觀密度為2 632 kg／m3，堆積密度為1 630 kg／m3；粉煤灰為遂寧熱電廠生產的Ⅰ級粉煤灰，密度為2.059 g／cm3；礦粉為成都混凝土新建材有限責任公司生產的S95級礦粉；減水劑為四川巨星新型材料有限公司生產的JXGBNH1／1型聚羧酸高效減水劑；拌和水為普通自來水，試件制備如圖1所示。具體配合比見表2。

表2 混凝土配合比Table 2 M ix proportion of concrete

根據《普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準》（GB／T 50082—2009）的規(guī)定，按上述原材料和配合比制備混凝土試件，按強度等級（C25，C35，C50）劃分棱柱體混凝土（100 mm× 100 mm×400 mm）與圓柱體混凝土（φ100 mm× 400 mm）各3組，每組均為3個試件，共計18個。試件分組見表3。

表3 試件分組Table 3 Sam ple grouping

3.2 試驗方案

基于共振法，采用型號為DT-10W的動彈性模量儀對每組試件的基頻進行測定，通過測得的基頻算出動彈性模量。根據《普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準》（GB／T 50082—2009）的規(guī)定，每次測量中，每組測試結果取該組三個試件動彈模的均值。例如某一齡期下C25棱柱體混凝土試件的動彈模等于L25-1到L25-3試件動彈模的平均值：

測試時間從混凝土齡期28 d開始，每隔28 d測量一次，一共測5次。0～56 d混凝土試件在標準養(yǎng)護室進行養(yǎng)護，56 d以后將混凝土試件從養(yǎng)護房取出，置于室外干燥環(huán)境中。試件制備與試件測量如圖1所示。

圖1 混凝土試件制備與測量Fig.1 Preparation and measurement of concrete specimens

4 試驗結果與分析

4.1 不同強度等級的混凝土動彈性模量隨齡期的變化

將測得的基頻通過式（7）和式（9）計算得出各試件的動彈性模量，并求出每組三個試件的動彈性模量在該齡期下的平均值，見表4和表5。

表4 棱柱體動彈性模量數(shù)據Table 4 Data of dynam ic elastic modulus for prism

表5 圓柱體動彈性模量數(shù)據Table 5 Data of dynam ic elastic m odulus for cylinder

從表4和表5中可以看出，在同一齡期、同一強度等級的條件下，圓柱體混凝土要比棱柱體混凝土的動彈性模量略微大些。這是因為φ100 mm×400 mm的圓柱體混凝土體積小于100 mm ×100 mm×400 mm的棱柱體混凝土（約為79%），所以圓柱體混凝土產生大孔隙和缺陷的概率較小，混凝土結構相對密實，彈性模量較大。

為了便于分析，根據以上數(shù)據，分別繪制棱柱體混凝土試件和圓柱體混凝土試件的動彈性模量隨齡期的變化規(guī)律曲線，見圖2和圖3。

從圖2和圖3中可以看出，動彈性模量隨著強度等級的提高而增大。這是因為混凝土強度等級越高，水灰比越小，混凝土就越密實，因此彈性模量也就越大。

圖2 不同強度等級棱柱體混凝土動彈性模量隨時間變化規(guī)律Fig.2 Viaration of dynamic elastic modulus for prism concrete under different strength grade and age

圖3 不同強度等級圓柱體混凝土動彈性模量隨時間變化規(guī)律Fig.3 Viaration of dynamic elasticmodulus for cylinder concrete under different strength grade and age

通過對比觀察圖2和圖3中的總共6條曲線，動彈性模量隨齡期變化規(guī)律具有相似性，相互之間證實了試驗結果的可靠性?？傮w變化規(guī)律為：對于某一強度等級的混凝土的動彈性模量，在28～56 d的齡期內變化不大，在56～84 d的齡期內有略微的提高，在84～140 d的齡期內逐漸降低。動彈性模量的這種變化規(guī)律和下述兩種因素的作用有關：一是在標準養(yǎng)護的條件下，濕度較大，游離水進入水泥混凝土的毛細孔，在試件干燥過程中，由于溫度升高，未完全水化的水泥顆粒在游離水存在的條件下繼續(xù)水化，生成水化硅酸鈣和水化鋁酸鈣，填充了混凝土的毛細孔［3］，增加了混凝土的密實性，此時試件的動彈性模量增加；二是在室內干燥的條件下多余的游離水蒸發(fā)會給水泥混凝土帶來更多的毛細孔和微裂縫［5］，尤其在水泥水化反應基本結束之后，此原因會占到主導地位，表現(xiàn)為試樣動彈性模量的降低。試件在56 d齡期的時候，從標準養(yǎng)護房中取出放入干燥的室內，所以水泥顆粒繼續(xù)水化，動彈性模量有略微增高。84 d以后水化反應基本完成，游離水蒸發(fā)占主導地位，因此動彈性模量逐漸降低。

4.2 棱柱體混凝土與圓柱體混凝土動彈性模量關系

用動彈儀測得不同強度等級（C25，C35，C50）的混凝土試件（100 mm×100 mm×400 mm和Φ100 mm×400 mm）在不同齡期的自振頻率，用式（7）與式（9）分別計算棱、圓柱體混凝土的動彈性模量。以每一齡期、每一強度等級下的棱柱體試件動彈性模量為橫坐標，圓柱體試件動彈性模量為縱坐標繪出散點圖，分別采用線性、拋物線、指數(shù)和冪函數(shù)四種回歸模型，利用最小二乘法進行回歸分析，得到4種回歸方程和相應的擬合曲線圖，如圖4所示。

線性函數(shù)方程：

拋物線函數(shù)方程：

圖4 棱、圓柱體動彈性模量散點圖及擬合曲線Fig.4 Scatter diagram of dynamic elastic modulus for prism and cylinder concrete and the fitting line

冪函數(shù)方程：

指數(shù)函數(shù)方程：

式中，EY表示圓柱體混凝土動彈性模量；EL表示棱柱體混凝土動彈性模量。

對以上4類曲線進行擬合精度和穩(wěn)定性的分析，需要計算出4種回歸模型的以下參數(shù)。平均相對誤差：

相對標準差：

剩余標準差：

平均值：

回歸變異系數(shù)：

式（15）—式（19）中EYT，i為第i個圓柱體動彈性模量測試值（取每組三個試件的平均值）；EY，i為第i個圓柱體動彈性模量按回歸曲線的計算值；n為圓柱體動彈性模量測試值（取每組三個試件的平均值）的個數(shù)。

精度和穩(wěn)定性計算結果見表6。

表6 精度和穩(wěn)定性計算結果Table 6 Results of precision and stability

從表6中可以看出，4種回歸模型的相關系數(shù)相差很小，都約等于0.96。通過對其余指標的比較，可發(fā)現(xiàn)采用直線擬合得到的平均相對誤差、相對標準差和變異系數(shù)均最小，所以直線擬合的效果（精度和穩(wěn)定性）最優(yōu)，冪函數(shù)次之，拋物線稍差，而指數(shù)函數(shù)擬合的效果最差。因此，最終確定采用直線擬合的函數(shù)模型，即

式中，EY表示圓柱體混凝土動彈性模量；EL表示棱柱體混凝土動彈性模量（對于同一齡期、同一強度等級），適用范圍C25—C50。

（1）回歸相關系數(shù)檢驗。根據表6得到直線回歸分析中，棱柱體與圓柱體動彈性模量的相關系數(shù)R＝0.958，當顯著性水平α＝0.05時，r0.05＝0.532＜0.958，故相關系數(shù)滿足要求。

（2）曲線精度檢驗。由于規(guī)范中沒有對動彈性模量擬合曲線的精度的要求，所以適當參照測強曲線對平均相對誤差和相對標準差的要求［6］：δ＜14%，er＜17%。由表6可知，線性回歸模型的平均相對誤差和相對標準差均遠遠小于限值，精度條件滿足。

（3）動彈性模量區(qū)間預測。圓柱體混凝土動彈性模量概率為95%的近似區(qū)間可以取為［EY－2S，EY＋2S］。其中，S為剩余標準差，對于直線擬合模型S＝1.04。故圓柱體動彈性模量的預測區(qū)間為［EY－2.08，EY＋2.08］。

5 結 論

（1）建立了圓柱體混凝土動彈性模量的計算公式，得出幾種常用尺寸下試件的修正系數(shù)，可供相關規(guī)范、標準修訂時參考。

（2）混凝土強度等級越高，結構越密實，動彈性模量越大?；炷羷訌椥阅Ａ侩S齡期變化規(guī)律和下述兩種因素的作用有關：水化反應的進行程度和游離水的蒸發(fā)程度。水化反應的進行增加動彈性模量，游離水的蒸發(fā)減少動彈性模量。

（3）通過試驗，得出了圓柱體與棱柱體混凝土動彈性模量之間的關系。相同齡期，相同強度等級的棱柱體（100 mm×100 mm×400 mm）和圓柱體（φ100 mm×400 mm）混凝土之間動彈性模量采用線性擬合模型得到的精度和穩(wěn)定性最高。線性擬合公式為EY＝1.083EL－0.095，相關系數(shù)R＝0.958。平均相對誤差δ＝1.8%，相對標準差er＝2.35%，變異系數(shù)Cv＝2.5%。

［1］ 中華人民共和國交通部.JTGE 30—2005公路工程水泥及水泥混凝土試驗規(guī)程［S］.北京：人民交通出版社，2005.Ministry of Communications of the People’s Republic of China.JTGE 30—2005 Test methods of cement and concrete for highway engineering［S］.Beijing：China Communication Press，2005.（in Chinese）

［2］ 中華人民共和國建設部.GB／T 50082—2009普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2009.Ministry of Construction of the People’s Republic of China.GB／T 50082—2009 Standard for testmethods of long-term performance and durability of ordinary concrete［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2009.（in Chinese）

［3］ 楊彥克，葉躍忠，潘紹偉.建筑材料［M］.成都：西南交通大學出版社，2006.Yang Yanke，Ye Yuezhong，Pan Shaowei.Building Material［M］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2006.（in Chinese）

［4］ 國家技術監(jiān)督局.GBT 2105—91金屬材料楊氏模量切變模量及泊松比測量方法（動力學法）［S］.北京：中國標準出版社，1991.National Bureau of Technical Supervision.GBT 2105—91 Metallic material-standard test method for the Young’s modulus，shear modulus and poison’s ratio（dynamic method）［S］.Beijing：China Standard Press，1991.（in Chinese）

［5］ 喬紅霞，周茗如，何忠茂，等.混凝土相對動彈性模量及微觀機理研究［J］.粉煤灰綜合利用，2009，5：6-10.Qiao Hongxia，Zhou Mingru，He Zhongmao，et al.The study on relative dynamic modulus of elasticity and microstructure of concrete［J］.Fly Ash Comprehensive Utilization，2009，5：6-10.（in Chinese）

［6］ 謝正良，陸洲導.逐層回彈法檢測火災后混凝土強度［J］.結構工程師，2006，22（4）：82-85.Xie Zhengliang，Lu Zhoudao.Layer-by-layer rebound method to access the strength of fire-damaged concrete［J］.Structural Engineers，2006，22（4）：82-85.（in Chinese）

Conversion Relationship of Dynam ic Elastic M odulus between Prism and Cylinder Concrete

HE Jiwei1，2，*LIFuhai2
（1.Department of Building Engineering，Tongji University，Shanghai200092，China；2.School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The resonancemethod is a nondestructivemethod tomeasure the dynamic elastic modulus of concrete，which is rather effective to measure the change ofmodulus caused by sustained chemical erosion，repeated freeze-thaw cycles and other factors.Fundamental frequencies of prism and cylinder concrete with different ages and strength grades were tested by using the dynamic modulus instrument.The dynamic modulus could be calculated by the fundamental frequency.Results show that the dynamic modulus increaseswith the improvement of strength grade and it decreases with the decrease ofmoisture content.There is a correlation between the dynamicmodulus of prism and cylinder specimens and a formula was proposed.The formulamay provide some reference for relative codes and criteria.

resonancemethod，dynamic elastic modulus，concrete cylinder，age，correlation

2013－05－14

鐵道部科技研究開發(fā)計劃重大課題（2008G032-5）*聯(lián)系作者，Email：1130374hjw＠#edu.cn