雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471003）

橢圓輪廓度誤差幾何遍歷搜索算法

雷賢卿1，崔靜偉2，王海洋1

（1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471003）

結(jié)合橢圓幾何特性及其相關(guān)的評定問題的研究現(xiàn)狀，提出了橢圓輪廓度誤差的遍歷搜索算法。該算法的原理是以最小二乘橢圓兩焦點為初始參考點，按一定的規(guī)則分別布置一系列的網(wǎng)格點構(gòu)造輔助焦點，依次以各輔助點為假定理想橢圓焦點，構(gòu)造一系列的輔助橢圓作為假定理想橢圓。計算測量點到這些假定理想橢圓的距離極差，最終實現(xiàn)橢圓輪廓度誤差的最小區(qū)域評定。實例驗證表明：該算法可以有效、正確地評定橢圓輪廓度誤差。

誤差評定；橢圓度；遍歷搜索算法；最小區(qū)域

0 引言

橢圓輪廓度的公差帶是與理想橢圓等距的兩個橢圓等距線之間的區(qū)域。對于其輪廓的幾何參數(shù)和輪廓度誤差等的評定方法，國家標(biāo)準(zhǔn)尚未做出明確的規(guī)定和說明。但橢圓形零件在特殊場合的應(yīng)用，如發(fā)動機活塞的裙部設(shè)計成中凸變橢圓形狀，以保證其吸能效果，這就使得橢圓線輪廓度精密測量及精確評定有著重要的價值。但關(guān)于橢圓輪廓度誤差的評定，國家和國際標(biāo)準(zhǔn)都沒有給出一種特定的評定算法。近年來橢圓輪廓度誤差的評定方法主要是運用最小二乘法，但最小二乘法的計算誤差較大，不能進行精確評定，很難符合實際測量的要求。不少學(xué)者都進行了橢圓輪廓度誤差評定的研究，比較有代表性的算法有：基于代數(shù)距離的最小二乘法［1－5］，正交最小二乘法［6］，矢函數(shù)法［7］，采用對應(yīng)特征點法、一維搜索法（DFP）及一維搜索法的自適應(yīng)調(diào)整的線輪廓誤差評定方法［8］，最小方差估計擬合算法［9］，橢圓直接擬合算法［10］，最大內(nèi)接橢圓法，最小外接橢圓法［11］。這些評定方法對于橢圓輪廓度誤差的評定都有一定的作用和效果。

本文結(jié)合橢圓輪廓度誤差幾何特性及其評定問題，提出了幾何遍歷搜索的橢圓輪廓度誤差最小區(qū)域評定算法，該算法可以有效、準(zhǔn)確地評定橢圓度誤差。

1 幾何遍歷搜索算法的原理

首先通過橢圓輪廓上測量點的坐標(biāo)值，以一定方法（如最小二乘法）確定參考橢圓，計算所有測量點到參考橢圓的距離極差值（橢圓輪廓度誤差，記為 e0）。如圖 1所示，以參考橢圓的兩焦點F1（x01，y01）、F2（x02，y02）為初始參考點，在其周圍以定邊長f（如最小二乘橢圓度誤差值或估計的橢圓度誤差值）分別布置一個正方形為搜索區(qū)域，將正方形區(qū)域的邊長分別進行n等分，并對搜索區(qū)域進行網(wǎng)格劃分，可得兩組（n＋1）2網(wǎng)格點，（n＋1）4對輔助點（即新的焦點坐標(biāo)），計算測量點到輔助點所確定的假定理想橢圓的誤差值echa，可得到（n＋1）4個echa，其中這（n＋1）4個echa中的最小值記為e1。比較e0和e1的大小，根據(jù)橢圓度誤差的定義可知：e0和e1中較小值就是被測橢圓的最小區(qū)域橢圓度誤差。

2 幾何遍歷逼近算法的步驟

設(shè)橢圓輪廓上測量點的坐標(biāo)值為：pi（xi，yi）， （i＝1，2，…，N）。

2.1 構(gòu)造輔助點

以最小二乘橢圓的焦點坐標(biāo)F01（x01，y01）、F02（x02，y02）為初始參考點（橢圓輪廓度誤差的最小二乘評定算法在許多參考文獻中均有詳細(xì)的介紹，本文不再重復(fù)）。以最小二乘橢圓輪廓度誤差或估計的橢圓輪廓度誤差值e0為定邊長f（f＝e0）構(gòu)造正方形區(qū)域，對每個正方形區(qū)域的邊長進行n等分的網(wǎng)格劃分，得到兩組（n＋1）2個網(wǎng)格點，將兩組網(wǎng)格點進行組合可得（n＋1）4對輔助點。

輔助點坐標(biāo)按式（1）～式（4）進行計算：首先，利用式（1）計算出正方形左上角的輔助點坐標(biāo)Fv1（xv1，yv1）、Fv2（xv2，yv2）作為計算基點：

圖1 橢圓度誤差幾何遍歷搜索評定原理

以計算基點為參考點，利用式（2）和式（3）計算輔助點坐標(biāo)Fv1（p，q）（xv1（p，q），yv1（p，q））、Fv2（p，q）（xv2（p，q），yv2（p，q）），（p，q＝1，2，…，n＋1）：

2.2 構(gòu)造輔助橢圓

以輔助點Fv1（p，q）（xv1（p，q），yv1（p，q））（p，q＝1，2，…，n＋1）依次與輔助點Fv2（p，q）（xv2（p，q），yv2（p，q））（p，q＝1，2，…，n＋1）組合可得到（n＋1）4對假定理想橢圓焦點坐標(biāo)，可構(gòu)造出（n＋1）4個輔助橢圓。由橢圓的幾何特性可知：橢圓可以用下列5個獨立參數(shù)來唯一確定，長軸半徑、短軸半徑、中心坐標(biāo)及長軸與x軸的夾角。

（Ⅰ）長軸半徑aj（j＝1，2，…，16）的確定。僅由兩焦點坐標(biāo)無法確定一個橢圓，由橢圓定義可知：橢圓上的點到兩焦點坐標(biāo)的距離之和為長軸半徑的2倍，本文利用測量點的坐標(biāo)值，用式（5）計算所有測量點pi（xi，yi）（i＝1，2，…，N）分別到這（n＋1）4對焦點的距離dij（j＝1，2，…，（n＋1）4），作為（n＋1）4個輔助橢圓的長軸值。輔助橢圓長軸半徑值aj（j＝1，2，…，（n＋1）4）利用式（6）取所有測量點所確定的長軸半徑值的平均值。

（Ⅱ）短軸半徑bj（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定。利用式（7）根據(jù)兩焦點坐標(biāo)計算輔助橢圓的焦距。由橢圓長、短半軸間的關(guān)系按式（8）確定短軸半徑。

（Ⅲ）中心坐標(biāo)x0j、y0j（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定，由橢圓位置的幾何關(guān)系可得：

（Ⅳ）長軸與x軸的夾角θj（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定：

由以上得到橢圓主參數(shù)，則輔助橢圓的方程可表達(dá)為：

設(shè)橢圓的一般方程為x2＋Axy＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0，將式（12）展開，計算假定理想橢圓的一般方程系數(shù)：

可得到（n＋1）4個輔助橢圓方程x2＋Ajxy＋Bjy2＋Cjx＋Djy＋Ej＝0，j＝1，2，…，（n＋1）4。

2.3 計算測量點到輔助橢圓的距離極差

設(shè)點Mij（Xij，Yij）為過測量點pi（xi，yi），（i＝1，2，…，N）的橢圓法線與輔助橢圓的交點，由于交點Mij（Xij，Yij）既在法線上又在輔助橢圓上，即點Mij（Xij，Yij）滿足方程組（14）：

用式（15）計算所有測量點到（n＋1）4個輔助橢圓的距離，其中測量點在輔助橢圓外側(cè)的最大距離與內(nèi)側(cè)的最小距離之差為橢圓度誤差echaj，即式（16）。

有（n＋1）4個輔助橢圓就可以得到（n＋1）4個距離極差值echaj，根據(jù)橢圓度誤差的定義可以知道，（n＋1）4個距離極差值中的最小者min echaj即為被測橢圓的最小區(qū)域橢圓度誤差，用F表示。

3 實例驗證

表1為文獻［6］中的橢圓的測量數(shù)據(jù)，利用本文所提算法對同一組數(shù)據(jù)處理結(jié)果比較，驗證橢圓度幾何遍歷搜索算法的正確性。設(shè)定初始條件如下：

（Ⅰ）初始參考點坐標(biāo)：用最小二乘法計算的橢圓焦點坐標(biāo)為F1（－11.283 1，－21.423 3）、F2（11.284 0，81.425 5）。

（Ⅱ）擴展區(qū)域的初始邊長：f＝e0（最小二乘法計算出的橢圓度誤差值e0＝0.004 9 mm）。

（Ⅲ）擴展區(qū)域劃分的網(wǎng)格點數(shù)：每個擴展區(qū)域劃分的網(wǎng)格點數(shù)為k（k分別取25，100，225，400），則組成k2對橢圓焦點坐標(biāo)來進行計算。

數(shù)據(jù)處理結(jié)果見表2，與其他文獻中不同方法計算結(jié)果比較見表3。

表1 測量數(shù)據(jù) mm

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

表3 不同方法的計算結(jié)果比較

由表2和表3可以看出：本文提出的橢圓輪廓度幾何遍歷搜索算法結(jié)果與文獻［7］的計算結(jié)果中橢圓的主參數(shù)相一致，且評定結(jié)果更精確。

由表2可以看出：在使用本算法時，初始區(qū)域一定的情況下，網(wǎng)格點劃分越多，得到的誤差值呈現(xiàn)出越來越小的規(guī)律，所以算法是收斂的。當(dāng) k≥100時，所計算出的橢圓輪廓度誤差值之間相差小于0.000 1 mm，說明算法具有良好的穩(wěn)定性。所以在實際應(yīng)用劃分網(wǎng)格時k≤100即可。這就說明幾何遍歷誤差最小區(qū)域評定算法可以有效、準(zhǔn)確地評定橢圓輪廓度誤差。

4 結(jié)束語

結(jié)合橢圓度誤差的幾何特性，研究了橢圓輪廓度誤差的幾何遍歷搜索算法。該算法對測樣點是否均勻沒有要求，其原理簡單，易于編程。應(yīng)用文獻［7］的測量數(shù)據(jù)，將幾何遍歷搜索算法應(yīng)用于橢圓度誤差評定中，在每個搜索區(qū)域劃分網(wǎng)格點數(shù)分別為100時，計算結(jié)果分別比最小外接橢圓法［10］、最大內(nèi)接橢圓法［10］、矢函數(shù)法［6］計算的結(jié)果減小了2.6μm、2.9μm和3.0μm。計算結(jié)果證明：幾何遍歷搜索算法能夠有效地對橢圓輪廓度誤差進行精確評定，對三坐標(biāo)測量機上橢圓輪廓度誤差的評定具有一定的借鑒作用。

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TH161

A

1672－6871（2014）06－0009－05

國家自然科學(xué)基金項目（50875076）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃基金項目（122300413209，122300410114）

雷賢卿（1963－），男，河南洛寧人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事精密測試技術(shù)方面的研究.

2014－03－28