楊 莉，呂相銀，金 偉，趙紀金，楊 華

（1.電子工程學(xué)院 脈沖功率激光技術(shù)國家重點實驗室，安徽 合肥230037，2.電子工程學(xué)院 紅外與低溫等離子體安徽省重點實驗室，安徽 合肥230037）

引言

星等是天文學(xué)上傳統(tǒng)形成的表示天體亮度的一套特殊方法，它表示天體明暗程度的相對亮度并以對數(shù)標度測量的數(shù)值。古希臘天文學(xué)家根據(jù)恒星的明亮程度把它們分成6等，最亮的星為1等星，肉眼剛好能看到的星為6等星，恒星越亮，星等數(shù)越小。望遠鏡技術(shù)問世后，可以看到更暗的恒星，比如現(xiàn)代大口徑望遠鏡能觀測25等的暗星。其中對于衛(wèi)星而言，由于其反射太陽光而具有一定的亮度，若能計算其星等，就可以預(yù)估這顆衛(wèi)星是否能被眼睛觀測到，或者需要怎樣的望遠鏡才能觀測到。由此可見，計算衛(wèi)星的星等對于衛(wèi)星觀測跟蹤等具有重要意義。以往對于星等的研究主要是在觀測方面，通過觀測衛(wèi)星的亮度來確定衛(wèi)星的星等，理論計算方面也都沒有考慮地球反照的影響，而且缺少一些通用模型［1－6］。文中研究了計算軌道衛(wèi)星星等的通用數(shù)學(xué)模型，從而可以為觀測跟蹤衛(wèi)星所需要的光學(xué)系統(tǒng)等硬件設(shè)計提供一定的指導(dǎo)。

1 衛(wèi)星可見光特性計算

衛(wèi)星的可見光特性主要由兩部分組成，即衛(wèi)星對太陽直接照射的反射和衛(wèi)星對地球反射太陽光（以下簡稱為“地球反照”）的反射。衛(wèi)星繞地球運行，同時地球帶著衛(wèi)星一起繞太陽公轉(zhuǎn)。當太陽的位置確定以后，地球的公轉(zhuǎn)軌道也就確定了，但衛(wèi)星繞地球的軌道是由人工發(fā)射決定的，具體軌道的空間位置在滿足天體力學(xué)的前提下可以是任意的。因此要計算衛(wèi)星對太陽輻射和地球反照的反射，首先要確定衛(wèi)星的軌道。

1.1 衛(wèi)星的軌道描述

衛(wèi)星的軌道方程由天體力學(xué)理論推導(dǎo)結(jié)果為

式中：p為半通徑；e為偏心率；a為半長軸。

僅僅由上述軌道方程式還不能確定衛(wèi)星在任意時刻所處空間的位置，要描述軌道在空間的位置，還需要一些特征量。完全描述軌道的所有特征量是：軌道半長軸a，軌道偏心率e，升交點赤經(jīng)Ω，軌道傾角i，近地點幅角ω，紀元時刻的平近點角M（t0），它們總稱為軌道要素。其作用分別是：軌道半長軸a和偏心率e確定軌道的大小和形狀；升交點赤經(jīng)Ω和軌道傾角i確定軌道平面在慣性空間的取向；近地點幅角ω確定拱點線（從遠地點到近地點的直線）在軌道平面內(nèi)的取向；紀元時刻的平近點角M（t0）確定時間的起點。由衛(wèi)星的軌道描述可以確定衛(wèi)星的空間位置，由太陽的赤經(jīng)赤緯可以確定太陽光的入射方向。當衛(wèi)星的空間位置及姿態(tài)和太陽光的入射方向確定以后，就可以計算衛(wèi)星接收的太陽輻射了。當然同時還要考慮衛(wèi)星處于地球陰影時所受地球遮擋的問題［7］。

1.2 衛(wèi)星表面接收的太陽直接輻射

在計算時以三軸穩(wěn)定型衛(wèi)星為例，其結(jié)構(gòu)形式大致為盒型，外加可展開的太陽能電池帆板。這種衛(wèi)星通常采用慣性穩(wěn)定，而有一個軸緩慢旋轉(zhuǎn)以使有效載荷天線或敏感器指向地球，太陽能電池帆板也相對于衛(wèi)星連續(xù)旋轉(zhuǎn)以保持其始終面向太陽。衛(wèi)星任一表面單位面積接收到的太陽輻射為

式中：ζ為日地間距引起的修正值；Esun＝1 353 W／m2，稱為太陽常數(shù)；Fsun為目標表面對太陽直接輻射的角度因子。

1.3 衛(wèi)星表面接收的地球反照

太陽輻射入射到地球及其大氣內(nèi)不同介質(zhì)上，一部分被吸收，另一部分則被反射，被反射的這部分太陽輻射到達衛(wèi)星表面，構(gòu)成了地球反照。地球反照在衛(wèi)星某一表面上的輻射能量密度為

式中：l為地球面元dAE到衛(wèi)星表面的距離；η為太陽對地球面元dAE的入射角；α1為沿l和地球面元dAE法線間的夾角；α2為沿l和衛(wèi)星表面法線間的夾角。dAE的積分區(qū)域為衛(wèi)星表面對有太陽照射地球表面的可視范圍。

1.4 衛(wèi)星的可見光反射能量計算

在衛(wèi)星表面為漫反射的情況下，衛(wèi)星某一表面在Δλ為可見光波段的反射亮度為

式中：Li為衛(wèi)星第i個表面的輻射亮度；ΔAi為第i個表面的面積；d為星地距離；θi為衛(wèi)星第i個表面的法線與衛(wèi)星和接收點連線的夾角；θ′為接收表面法線方向與星地連線的夾角。

式中：ρΔλ為衛(wèi)星某一表面在可見光波段的反射率；kΔλ－sun為在可見光波段的太陽輻射能量占太陽全波段輻射能量的比值；其他參數(shù)含義同上。

衛(wèi)星在地球上某一點產(chǎn)生的輻射照度，通過推導(dǎo)可得：

圖1給出了反射率為0.5時衛(wèi)星本體6個漫反射表面的可見光反射亮度在衛(wèi)星運行5個周期內(nèi)隨時間的變化曲線。比較衛(wèi)星不同側(cè)面的反射亮度隨時間的變化曲線可以看出，衛(wèi)星不同側(cè)面的可見光反射亮度隨時間的變化是不一樣的。這主要是由于衛(wèi)星在不同時刻每個面所接收到的太陽直接照射和地球反照是不一樣的。進一步比較衛(wèi)星表面接收太陽直接照射與地球反照的大小可知，衛(wèi)星部分表面接收到的太陽直接輻射要遠遠大于地球的反照，部分表面接收到的太陽直接輻射與接收到的地球反照相當，這主要是因為衛(wèi)星的不同表面和太陽光的夾角不同，和地球光照區(qū)的空間關(guān)系也不同，相關(guān)的空間關(guān)系取決于軌道參數(shù)及衛(wèi)星在軌道上的位置。

圖1 衛(wèi)星本體各個表面的可見光反射亮度Fig.1 Reflection luminance on satellite body surface

圖2 給出了反射率為0.5時太陽能帆板2個表面的可見光亮度隨時間的變化。由圖可見，太陽能帆板的向陽表面反射亮度在出了陰影區(qū)后即達到一個最大值，之后隨著時間的變化其并不是一個常數(shù)，先是逐漸降低，直到一個極小值，之后又逐漸升高，這主要是由于太陽能帆板表面始終垂直于太陽光，故接收到的太陽直射是一個常數(shù)；而太陽能帆板與地球的角度關(guān)系卻在時刻變化，接收到的地球日照區(qū)的反照也時刻在變化。剛出陰影區(qū)時接收到的地球反照最大，當處于太陽和地心連線時接收到的反照為0時，于是出現(xiàn)了如圖所示的變化。另外太陽能帆板的背陽面雖然接收不到太陽直接輻射，但還是會有一定的亮度，這顯然是由地球反照造成的。

圖2 衛(wèi)星太陽能帆板2個面的可見光反射亮度Fig.2 Reflection luminance on satellite solar panel surface

圖3給出了反射率為0.5時衛(wèi)星處于光照區(qū)的可見光反射強度空間分布圖。由圖可以看出，在面向太陽的方向衛(wèi)星的可見光強度可達1 200 W／sr。

圖3 某時刻衛(wèi)星可見光反射強度空間分布圖Fig.3 Reflection intensity distribution of satellite

2 衛(wèi)星星等的計算

由于目標在可見光波段的特性可用眼睛直接觀測或通過光學(xué)系統(tǒng)觀測，因此如何描述針對人眼觀測的衛(wèi)星可見光特性也是一個重要的問題，這就涉及到光度量。在天文學(xué)中，通常用視星等（可簡稱為“星等”）來描述所感覺到的天體發(fā)光的明亮程度。因此也可用星等來描述衛(wèi)星的可見光特性。

星等的測算方法：對于兩顆星體，如果其星等分別為m和m0（m＞m0），他們的亮度分別為E和E0，其亮度比率為［8］

兩邊取對數(shù)并取0等星的亮度E0＝1，則有：

此式即普森公式。普森公式表明，只要有明確的0等星和它的標準亮度，就可以根據(jù)所測得的天體亮度計算其星等。星等越大，則星體越暗，其中太陽的星等為－26.74。同時天文學(xué)家定義0等星在地球大氣層外產(chǎn)生的光照度為2.089×10－6lm／m2。

由星等的測算方法可知，要計算衛(wèi)星的星等，首先要計算衛(wèi)星在地面所產(chǎn)生的光照度，然后將其與0等星的照度比較，進而求得衛(wèi)星的星等。衛(wèi)星在地面產(chǎn)生的光照度，除了與太陽對衛(wèi)星的照射及衛(wèi)星的高度有關(guān)外，還必然與衛(wèi)星的光譜反射率密切相關(guān)。對于衛(wèi)星整體在某一點產(chǎn)生的光譜照度，可以表示為

根據(jù)輻射度量與光度量的關(guān)系，可得衛(wèi)星整體在某一點產(chǎn)生的光照度為

式中：Km＝683lm／W，為最大光譜光視效能值；V（λ）為光譜光視效率，它是一個與人眼視覺刺激有關(guān)的量，其曲線如圖4所示。V（λ）通常適應(yīng)于亮度為幾Cd／m2以上的環(huán)境，稱為明視覺光譜光視效率；如果亮度為百分之幾Cd／m2以下的環(huán)境，則光譜光視效率曲線變?yōu)閂′（λ），稱為暗視覺光譜光視效率曲線。顯然光譜光視效率與人眼所處環(huán)境的亮度水平有關(guān)。如果是在地面上觀測衛(wèi)星，則可能受到觀測時間與觀測條件的影響，根據(jù)實際情況可能會選擇不同的光譜光視效率曲線。

圖4 光譜光視效率曲線Fig.4 Curve of spectral luminous efficiency

由于V（λ）沒有解析表達式，故實際計算中都是采用數(shù)值方法［9］：

如果考慮大氣的衰減，則只要把上式中的EV修正為

式中τ（λi）為在波長為λi處的大氣透過率。

如果衛(wèi)星表面在可見光波段可視為灰體，即衛(wèi)星在可見光波段的光譜反射率為一常數(shù)，由于衛(wèi)星的可見光無論是來自太陽的直接照射還是來自地球的反照，都是源于太陽的可見光，衛(wèi)星在可見光波段的光譜特性應(yīng)與太陽光譜特性相同。此時可避開光度量與輻射度量之間復(fù)雜的變換關(guān)系，而可用一種簡便的方法計算衛(wèi)星的星等。衛(wèi)星某一表面反射光亮度為

式中：ρV為衛(wèi)星某一灰體表面在可見光波段的反射率；EV－sundir為太陽輻射在衛(wèi)星表面上的光照度；EV－sunref為地球反照在衛(wèi)星表面上的光照度；其他參數(shù)含義同上。

對于衛(wèi)星整體在某一點產(chǎn)生的光照度，可以表示為

由上式可見，灰體表面衛(wèi)星的星等只取決于反射率以及一些相關(guān)的幾何量。如果考慮大氣的衰減，設(shè)大氣在可見光波段的光譜透過率為常數(shù)τV，則上式修正為

式中d為衛(wèi)星到觀測點的距離，對于星下點，顯然d等于衛(wèi)星的高度h。

實際上大氣在可見光波段的透過率與波長有一定關(guān)系，但由于大氣本身的復(fù)雜多變，故在一定估算精度范圍內(nèi)計算時，可以認為大氣在可見光波段的透過率近似為一常數(shù)。

由灰體衛(wèi)星星等計算式可見，灰體衛(wèi)星的星等主要取決于以下一些因素：衛(wèi)星的表面反射率、衛(wèi)星的高度、衛(wèi)星的面積與姿態(tài)等。

圖5給出了反射率為0.5時衛(wèi)星星等在衛(wèi)星運行5個周期內(nèi)隨時間的變化曲線。其中的空白部分表示衛(wèi)星處于陰影區(qū)，不可見。由圖可見，在不同時刻衛(wèi)星運行在不同的位置時，在星下點觀測到的星等是不一樣的，而且變化非常劇烈，這主要是由于衛(wèi)星在不同位置反射到星下點的太陽輻射和地球反照差異非常大的緣故。

圖5 星下點觀測的衛(wèi)星星等Fig.5 Satellite apparent magnitude observed from subastral point

3 結(jié)束語

衛(wèi)星的星等計算涉及到衛(wèi)星的軌道參數(shù)、衛(wèi)星形狀和表面光譜反射特性、觀測點以及人眼的視覺特性等復(fù)雜因素，目前一般主要靠測量來獲得相關(guān)衛(wèi)星星等。本文從衛(wèi)星軌道參數(shù)出發(fā)，計算了衛(wèi)星的反射光能量隨軌道運行的變化特征，并推導(dǎo)出計算衛(wèi)星星等的一般公式，建立了衛(wèi)星星等的通用計算模型，并以表面為灰體的衛(wèi)星為例，計算了在星下點觀測時，其星等隨運行時間的變化，由計算結(jié)果可以看出，衛(wèi)星星等在日照區(qū)運行過程中，不同星下點觀測到的星等差異可達5個等級之多。文中的星等建模具有一定的工程實用價值，利用本星等計算模型，可為觀測跟蹤衛(wèi)星所需要的光學(xué)系統(tǒng)等硬件條件提供一定的設(shè)計指導(dǎo)。

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