金晗 潘晨 楊仁 楊宗林

摘 要：本文主要是對(duì)機(jī)器人在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的通過(guò)不同障礙物到指定目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行研究，首先通過(guò)機(jī)器人與障礙物的最小安全距離對(duì)不同障礙物的禁區(qū)進(jìn)行了劃分，把障礙物劃分為有頂點(diǎn)和無(wú)頂點(diǎn)兩大類。然后證明了機(jī)器人在障礙物頂點(diǎn)處轉(zhuǎn)彎路徑最優(yōu)，轉(zhuǎn)彎半徑最小路徑最優(yōu)，轉(zhuǎn)彎圓心在障礙物頂點(diǎn)處（圓行障礙物在圓心）路徑最優(yōu)。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人；避障；單目標(biāo)點(diǎn)

把機(jī)器人的行進(jìn)路線看成一根有彈性的繩子，根據(jù)實(shí)際情況我們推論：禁區(qū)頂點(diǎn)處變向路徑最小，轉(zhuǎn)彎半徑最小路徑最短，轉(zhuǎn)彎弧圓心在頂點(diǎn)路徑最短。

1.禁區(qū)劃分

由于機(jī)器人行進(jìn)過(guò)程中與障礙物有最小距離的限制，因此我們先畫(huà)出包絡(luò)障礙物的禁區(qū)，對(duì)于有圓形障礙物來(lái)說(shuō)，禁區(qū)還是一個(gè)圓，對(duì)于有頂點(diǎn)的障礙物來(lái)說(shuō)禁區(qū)拐角處為一個(gè)圓弧，具體如圖1：

圖1 禁區(qū)示意圖

2.障礙物有頂點(diǎn)

2.1禁區(qū)頂點(diǎn)變向路徑最小

如下圖2所示，機(jī)器人從指定的A點(diǎn)到C點(diǎn)，需要進(jìn)行變向，從圖形可以看出來(lái)，在禁區(qū)邊緣變向總路徑會(huì)最小，下面我們進(jìn)行證明：

圖2 禁區(qū)頂點(diǎn)處變向圖

假設(shè)D點(diǎn)為禁區(qū)頂點(diǎn)，先不考慮轉(zhuǎn)彎半徑等因素，其中B為禁區(qū)外任意一點(diǎn)，AD變延長(zhǎng)線交BC于E點(diǎn)。由三角形的任意兩邊之和大于第三邊可以得到：

AB+BE>AD+DE

EC+DE>DC

兩式相加得到：

AB+BE+EC+DE>AD+DE+DC

化簡(jiǎn)得到：

AB+BC>AD+DC

即，由A點(diǎn)到B點(diǎn)，選擇在頂點(diǎn)D處轉(zhuǎn)向，總路徑最短。推論得證。

2.2轉(zhuǎn)彎半徑最小路徑最短

機(jī)器人從A點(diǎn)到B點(diǎn)需要繞過(guò)禁區(qū)，在禁區(qū)頂點(diǎn)附近（前面已證）轉(zhuǎn)彎。選擇的轉(zhuǎn)彎半徑越小，得到的路徑越短。下面從物理學(xué)的角度進(jìn)行證明：

如下圖3所示，將A到B的路徑看做一條可伸縮的繩子。假設(shè)其兩點(diǎn)相連時(shí)，繩子自然伸長(zhǎng)。如線段AB。由于機(jī)器人要繞過(guò)禁區(qū)，因此拉長(zhǎng)繩子繞過(guò)禁區(qū)，又因?yàn)闄C(jī)器人有最小轉(zhuǎn)彎半徑為10，禁區(qū)直徑也為10，因此可以把繩子直接繞過(guò)禁區(qū)邊緣。

由于繩子的彈性勢(shì)能EP與伸長(zhǎng)量ΔL的關(guān)系為：

EP=12kΔL2

因此繩子伸長(zhǎng)量最小時(shí)，路徑最短。

圖3 機(jī)器人過(guò)障礙轉(zhuǎn)彎半徑

根據(jù)最小勢(shì)能原理[1]可知，當(dāng)彈性體平衡時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能最小。即彈性體在自由條件下，有由高勢(shì)能向低勢(shì)能轉(zhuǎn)化的趨勢(shì)?，F(xiàn)在將圓環(huán)看成也有彈性，在如圖所示的條件下為初始狀態(tài)。圓環(huán)受力如圖所示，此時(shí)圓環(huán)有縮小的趨勢(shì)，隨著圓環(huán)的縮小系統(tǒng)趨于平衡，彈性繩有最小勢(shì)能。由能量守恒也可以說(shuō)明，繩子的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈性圓環(huán)的彈性勢(shì)能，于是彈性繩的彈性勢(shì)能減小。

因此，隨著圓環(huán)的半徑的減小，繩子的勢(shì)能減小，即最短路徑變短。所以最小轉(zhuǎn)彎半徑最小路徑最短得證。

2.3結(jié)論分析

結(jié)合2.1、2.2證明得到結(jié)論：

機(jī)器人過(guò)有頂點(diǎn)的障礙物時(shí)，沿以頂點(diǎn)為圓心，最小轉(zhuǎn)彎半徑為半徑的圓弧轉(zhuǎn)彎路徑最短，即機(jī)器人沿禁區(qū)邊緣轉(zhuǎn)彎路徑最短。（作者單位：1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2012級(jí)，2.大連理工大學(xué)化工與環(huán)境生命學(xué)部2014級(jí)，3.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2012級(jí)，4.湖南省懷化市氣象局）

參考文獻(xiàn)：

[1] 姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 吳濤.移動(dòng)機(jī)器人避障與路徑規(guī)劃研究[D].華中科技大學(xué)，2004.