蓋仕廣　錢德春

著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家G·波利亞說：“好的題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長.找到了一個以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面這個命題的證明及其引申就是一個很好的體現(xiàn).

這個命題成立嗎？有何價值呢？本文擬通過命題的證明、引申與應(yīng)用，談?wù)勔坏篮妙}是如何成串生長的.

1命題的證明

將反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx（k≠0）變形為xy=k（k≠0），兩邊取絕對值得：x·y=k（k≠0），其幾何意義是：過雙曲線上任一點分別向兩坐標軸作垂線，兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形的面積恒等于k.用函數(shù)的觀點描述就是：矩形的面積S是比例系數(shù)k的常數(shù)函數(shù).我們稱之為反比例函數(shù)的面積不變性，該性質(zhì)簡潔優(yōu)美，應(yīng)用廣泛.

一般說，函數(shù)中的相關(guān)問題通常代數(shù)運算方法解決，而方法二則另辟蹊徑，以獨特的視角巧妙地將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)有機結(jié)合，通過直覺、聯(lián)想和歸納得到了結(jié)論，不是靠機械的運算，而是依賴思維和策略.

2命題的引申

引申1在第一象限內(nèi)，直線y=ax+b的圖像與雙曲線y=kx的圖像相切時，切點是該直線被兩坐標軸所截線段的中點.反過來，若雙曲線經(jīng)過一條直線被兩坐標軸所截線段的中點，則該直線與雙曲線僅有這一個交點，即雙曲線與直線相切.

當然，結(jié)論及引申的應(yīng)用遠不止這些.在解題過程中，不能僅僅停留在“會”上，更重要的是研究題目的生成性、發(fā)展性、引申性，充分挖掘其價值，使貌似平凡的數(shù)學題變成“成串生長”的好題.

著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家G·波利亞說：“好的題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長.找到了一個以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面這個命題的證明及其引申就是一個很好的體現(xiàn).

這個命題成立嗎？有何價值呢？本文擬通過命題的證明、引申與應(yīng)用，談?wù)勔坏篮妙}是如何成串生長的.

1命題的證明

將反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx（k≠0）變形為xy=k（k≠0），兩邊取絕對值得：x·y=k（k≠0），其幾何意義是：過雙曲線上任一點分別向兩坐標軸作垂線，兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形的面積恒等于k.用函數(shù)的觀點描述就是：矩形的面積S是比例系數(shù)k的常數(shù)函數(shù).我們稱之為反比例函數(shù)的面積不變性，該性質(zhì)簡潔優(yōu)美，應(yīng)用廣泛.

一般說，函數(shù)中的相關(guān)問題通常代數(shù)運算方法解決，而方法二則另辟蹊徑，以獨特的視角巧妙地將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)有機結(jié)合，通過直覺、聯(lián)想和歸納得到了結(jié)論，不是靠機械的運算，而是依賴思維和策略.

2命題的引申

引申1在第一象限內(nèi)，直線y=ax+b的圖像與雙曲線y=kx的圖像相切時，切點是該直線被兩坐標軸所截線段的中點.反過來，若雙曲線經(jīng)過一條直線被兩坐標軸所截線段的中點，則該直線與雙曲線僅有這一個交點，即雙曲線與直線相切.

當然，結(jié)論及引申的應(yīng)用遠不止這些.在解題過程中，不能僅僅停留在“會”上，更重要的是研究題目的生成性、發(fā)展性、引申性，充分挖掘其價值，使貌似平凡的數(shù)學題變成“成串生長”的好題.

著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家G·波利亞說：“好的題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長.找到了一個以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面這個命題的證明及其引申就是一個很好的體現(xiàn).

這個命題成立嗎？有何價值呢？本文擬通過命題的證明、引申與應(yīng)用，談?wù)勔坏篮妙}是如何成串生長的.

1命題的證明

將反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx（k≠0）變形為xy=k（k≠0），兩邊取絕對值得：x·y=k（k≠0），其幾何意義是：過雙曲線上任一點分別向兩坐標軸作垂線，兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形的面積恒等于k.用函數(shù)的觀點描述就是：矩形的面積S是比例系數(shù)k的常數(shù)函數(shù).我們稱之為反比例函數(shù)的面積不變性，該性質(zhì)簡潔優(yōu)美，應(yīng)用廣泛.

一般說，函數(shù)中的相關(guān)問題通常代數(shù)運算方法解決，而方法二則另辟蹊徑，以獨特的視角巧妙地將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)有機結(jié)合，通過直覺、聯(lián)想和歸納得到了結(jié)論，不是靠機械的運算，而是依賴思維和策略.

2命題的引申

引申1在第一象限內(nèi)，直線y=ax+b的圖像與雙曲線y=kx的圖像相切時，切點是該直線被兩坐標軸所截線段的中點.反過來，若雙曲線經(jīng)過一條直線被兩坐標軸所截線段的中點，則該直線與雙曲線僅有這一個交點，即雙曲線與直線相切.

當然，結(jié)論及引申的應(yīng)用遠不止這些.在解題過程中，不能僅僅停留在“會”上，更重要的是研究題目的生成性、發(fā)展性、引申性，充分挖掘其價值，使貌似平凡的數(shù)學題變成“成串生長”的好題.