侍紅巖

(內(nèi)蒙古民族大學)

1.引言

弓形彈簧是一種特殊形式的彈簧，最初主要應用于箭術(shù)【1】方面，工業(yè)上應用的相對較少。它屬于一種介于板彈簧和片彈簧之間的彈簧，其潛在應用領(lǐng)域很廣。目前主要的應用還是在油井開采過程中，弓形彈簧套管扶正器【2】作為一種輔助工具使用，也可以作為壓縮彈簧【3】或是減震彈簧【4】使用。但就目前來看弓形彈簧的建模方法比較少見，已有的設計方法與弓形彈簧的實際性質(zhì)差距較大。對于弓形彈簧來說對機械特性（彎曲形狀和變形力）進行建模比較難，因為其內(nèi)力、力矩和幾何形狀都是未知數(shù)，而且其間的關(guān)系不是很明確。而且該系統(tǒng)的唯一閉合解對研究人員來說用處不大。

對弓形彈簧進行機械分析比較難，因為其幾何形狀與內(nèi)力和力矩錯綜復雜地結(jié)合在一起，而內(nèi)力與力矩的力學分析比較直觀，最難不過為二階單變量積分。但是，弓形彈簧的幾何形狀不能簡化為單微分方程?，F(xiàn)有文獻中很少有關(guān)于弓形彈簧幾何變形與力之間關(guān)系的描述。

采用標準力學分析技術(shù)進行兼容性分析。設弓形彈簧的長度為L，弓形彈簧首尾之間的變形為D，將弓形彈簧彎曲進行安裝。因為弓形彈簧彎曲后的形狀既不是拋物線也不是圓弧。因此外力與變形之間是非線性的關(guān)系，對這種非線性關(guān)系的求解只能采用近似求解的方法。需要事先給定一些假設條件，首先我們假設弓形彈簧各段的材料性質(zhì)一致，其次假設受力過程中所施加的外力大小和方向已知，另外假設彎曲過程中弓形彈簧的中點位置沒有發(fā)生移動，最后假設變形過程在安全系數(shù)范圍內(nèi)進行。

2.弓形彈簧的設計與建模

弓形彈簧在工業(yè)上的應用主要是作為支撐和控制變形位移量的工件。根據(jù)其在實際應用中的受力情況，發(fā)現(xiàn)通常弓形彈簧的受力點有兩種。一種是外力作用在弓形彈簧的兩端，另一種是外力作用在弓形彈簧的對稱中點。不管是哪個位置作為受力點，弓形彈簧受力后都會出現(xiàn)長度（端到端的直線距離）和寬度（中點的切線到兩端連線的垂線）方向的變化。通過控制這兩方向變化的大小就可以控制相應所需的位移量，可以是某一個方向上的，也可以是兩個方向綜合作用下的。

圖1 弓形彈簧受力變形過程

本文研究的受力點為在弓形彈簧兩端受大小相等的力。弓形彈簧為純彎曲薄片狀，厚長比大于100。本文采用彎曲梁受力的分析過程來近似分析弓形彈簧的受力過程，為了便于分析，作出以下假設：材料為均勻的各向同性材料；變形過程中中點的位置不發(fā)生相對移動；對稱部分的變形是同步的；弓形彈簧在手里變形時，其內(nèi)部應變-應力關(guān)系是線彈性的，并且彈性變形相對較小。

弓的內(nèi)力矩與二力軸的位移成正例【5】。顯而易見從弓的任何部分截取一段，在其上都有內(nèi)力矩M與Fy相等，F(xiàn)是端對端彈簧力，y是到載荷軸到中點的垂直距離。 為弓形彈簧一側(cè)的曲線段的切線（切點為弓形彈簧的末端）與水平線的夾角，定義為彎曲角。這個角度隨著弓形彈簧的受力會發(fā)生相應的變化。因為彈力不隨切入的位置改變，發(fā)現(xiàn)。另外，根據(jù)曲率公式可知：

截取弓形彈簧上一個微小的片段，得：

而曲率也可寫成：

將公式（2）代入上式，得：

將公式（4）代入公式（1），得

對公式（5）進行兩次積分，得：

即：

假設弓形彈簧的中心對稱點在受力過程中沒有相對位移，則根據(jù)邊界條件：，得到，。那么公式（6）就可寫成：

上面這個公式表達了在假設條件下的弓形彈簧所受載荷與變形之間的關(guān)系。從中可以得到載荷與寬度變形、長度變形以及長寬綜合變形之間的關(guān)系。從這個公式中還可以看到，弓形彈簧的形狀會隨著載荷的變化而出現(xiàn)非線性的變化。

3.弓形彈簧的仿真模擬

由于弓形彈簧力與變形之間存在這非線性的關(guān)系，而且在公式中存在著四個未知量，所以用一般的數(shù)值算法很難進行精確求解。為了得到弓形彈簧變形與受力之間的關(guān)系，本文采用MATLAB編程語言對弓形彈簧進行建?！?】，運用迭代的方式計算弓形彈簧彎曲部分的力學特性。改變其中的某些參數(shù)就可以看出得到不同性能的弓形彈簧的機械性能，從而用來分析各個變量對于弓形彈簧的機械性能影響程度。對于弓形彈簧來說，初始狀態(tài)對其力學性能的影響大小可以通過下面的曲線知道，

下面是四條力與變形的曲線，初始參數(shù)EI=78，L=1m，dmax=0.29m，四條曲線的初始彎曲角分別為KAngle=0.05，0.1，0.15，0.2弧度。從曲線圖中可以看出，每條曲線的在變形小于0.02m的情況下，其斜率會有很大的不同，但是在變形大于0.05m時逐漸趨于同樣的斜率值收斂。從中可以看出初始彎曲角對弓形彈簧的影響還是比較大的，當初始彎曲角比較小的時候，弓形彈簧在外力作用下比較容易變形，而初始彎曲角比較大的時候，會比較難變形。但是，當變形量達到一定值的時候，初始彎曲角的大小對變形的影響就可以忽略不計了。而在變形量為0.02m至0.05m之間時，不同初始變形角的弓形彈簧均出現(xiàn)了曲線斜率的突變。初始變形角越小，這種突變出現(xiàn)的越早，也就是說所需的外力越大。在經(jīng)過這個突變后，變形量的大小與外力

之間逐漸趨于正比關(guān)系。

圖2 形變量與外力之間的模擬關(guān)系

4.試驗結(jié)果對比分析

用彈簧鋼加工出一組長度為1m，寬度為0.03m，厚度為0.005m，初始彎曲角為0.05弧度的弓形彈簧，在力學測試儀器上進行力學性能對比測試。中點位置固定后，對兩端進行加載，所加載荷為仿真實驗所測得數(shù)據(jù)，可以得到相應的實測變形量。將仿真變形量與實測變形量進行對比，如表1。

圖3 形變量與外力之間的實驗關(guān)系

上圖中曲線代表仿真數(shù)據(jù)，點線代表實測數(shù)據(jù)，從中可以看到實測曲線與仿真曲線大致相同，兩者的差異相對來說不是很大，最大的差異出現(xiàn)在變形量為0.03m，處，仿真值為193.1N,而實驗值為217.5N，相對誤差達到了11%。這個最大誤差出現(xiàn)在弓形彈簧彈性的過渡期，也就是說彈簧對變形的抵抗強度從強變?nèi)醯倪^渡期。經(jīng)過了這段線段后，誤差在逐漸減小，最小的誤差接近于0。

這個誤差變化產(chǎn)生的原因有幾個，其一是實驗件加工中存在的誤差。其二是實驗中測位移和力的準確度不高。最主要的是因為在仿真建模中引進了假設的部分，并且對寬度沒有具體的限定。

5.結(jié)論

弓形彈簧并不是新型彈簧，只是對它的研究和應用比較少，但這并不表明弓形彈簧沒有應用價值。對一些跨度大，空間有限，變形量大的實際應用方面還是有很大的使用前景。從上述模擬和實驗的結(jié)果來看，可以采用避開弓形彈簧非線性變形的部分，利用它近視線性變形的部分進行實際應用，就可以合理有效地發(fā)揮其最大作用。目前急需對它進行更全面和深入地研究。

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