梁 進(jìn)，李文毅

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200092）

從2009年底的迪拜債務(wù)危機(jī)到去年的歐洲債務(wù)危機(jī)，再到目前全球范圍內(nèi)的通脹危機(jī)，都顯示世界經(jīng)濟(jì)還沒有從美國次貸危機(jī)的陰霾中走出來.這些危機(jī)凸顯場外衍生工具市場交易對手風(fēng)險的重要性，特別是信用衍生工具.

大多數(shù)的場外衍生品交易都有交易對手的信用風(fēng)險.在巴塞爾協(xié)議II中，交易對手信用風(fēng)險（counterparty credit risk，CCR）被定義為：“一樁交易的對手方可能在交易現(xiàn)金流最后結(jié)算前發(fā)生違約；如果這樁交易或資產(chǎn)組合在違約時對本方有正的經(jīng)濟(jì)價值，那么對本方就會發(fā)生經(jīng)濟(jì)上的損失.”過去的十年中，場外交易飛速發(fā)展，但直到2008年次貸危機(jī)爆發(fā)才使其違約風(fēng)險被廣泛受到關(guān)注.這次金融危機(jī)造成了自1930年經(jīng)濟(jì)大蕭條后全球范圍內(nèi)的一次巨大的經(jīng)濟(jì)衰退.而交易對手信用風(fēng)險也在這次金融危機(jī)中扮演了重要的角色.

信用違約互換（credit default swap，CDS）可以顯示市場中交易的“信用健康”.CDS的出現(xiàn)解決了信用風(fēng)險的流動性問題，使得信用風(fēng)險可以像市場風(fēng)險一樣進(jìn)行交易，從而轉(zhuǎn)移擔(dān)保方風(fēng)險，同時也降低了企業(yè)發(fā)行債券的難度和成本.但是基于分散風(fēng)險的原則，在錯位風(fēng)險的情況下，對信用衍生產(chǎn)品進(jìn)行風(fēng)險度量與控制時有一個問題令風(fēng)險規(guī)避方感興趣：一份風(fēng)險資產(chǎn)合約是否可由多名交易對手來承擔(dān)風(fēng)險？如果是，那么他們之間的違約正負(fù)相關(guān)性怎樣影響風(fēng)險？所以如何建立合理的數(shù)學(xué)模型來研究這樣的風(fēng)險就是本文的課題.

交易對手估值調(diào)整（counterparty valuation adjustment，CVA）被用來估算交易對手的信用風(fēng)險.換句話說，CVA就是考慮和不考慮交易對手違約風(fēng)險情況下對某合約估值的差額.Pykhtin等［1］和Alavian等［2］對交易對手信用風(fēng)險以及CVA作了概括和綜述.Brigo［3］在約化法的框架下考慮了交易對手信用風(fēng)險，并對違約強(qiáng)度和無風(fēng)險利率的相關(guān)性作了分析.他們還在文獻(xiàn)［4］中用約化法對考慮交易對手違約風(fēng)險的權(quán)益信用違約互換（contingent credit default swap，CCDS）進(jìn)行了研究，同樣也對違約強(qiáng)度和利率的相關(guān)性作了分析，其違約強(qiáng)度被擴(kuò)展到跳擴(kuò)散過程.Brigo等［5］將交易對手信用風(fēng)險的研究從單邊的擴(kuò)展到了雙邊.Li在文獻(xiàn)［6］考慮了帶交易對手信用風(fēng)險的CDS定價是將回收率假設(shè)為隨機(jī)過程.魏嵬和姜禮尚［7］利用單因子模型對標(biāo)準(zhǔn)的單名CDS產(chǎn)品的CVA作了計算和分析.

本文將在模型［7］基礎(chǔ)上考慮含多交易對手的單名CDS產(chǎn)品的CVA計算模型，通過分析考慮交易對手之間違約的相關(guān)性，分別用單因子CIR（Cox-Ingersoll-Ross）模型和單因子反CIR模型刻畫正負(fù)相關(guān)性，并在約化方法的框架下得到CVA的計算模型，并在這個基礎(chǔ)上作了一些數(shù)值結(jié)果的分析，同時將多交易對手的CDS與標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值進(jìn)行做比較分析，進(jìn)而得出一些有指導(dǎo)意義的結(jié)論.

1 建立模型

1.1 多交易對手單名CDS的現(xiàn)金流分析

現(xiàn)在考慮多交易對手的單名CDS合約的現(xiàn)金流，假設(shè)這張合約中有兩個交易對手B1，B2，一個參考公司C，對應(yīng)符號的上、下標(biāo)i（i＝1，2，3）做如下的假設(shè)：交易對手Bi→i（i＝1，2），參考公司C→i＝3.

在約化法框架下，違約可用強(qiáng)度模型來刻畫.假設(shè)τi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約時間，定義違約指示過程，其中Hi是這三個違約過程生成的信息流.即，其中以及σ－域流，對所有t∈R＋.ht包含了這份合約是否終止的所有信息.假設(shè)其中為市場上所有可知信息.假設(shè)τi是Gt-停時，即事件（τi≤t）（i＝1，2，3）屬 于σ－域 流Gt.所 以τi是 概 率 空 間 （Ω，Gt，｛Gt｝t≥0，P）上的隨機(jī)時間，其中P是風(fēng)險中性概率.

在標(biāo)準(zhǔn)CDS基礎(chǔ)上考慮多交易對手，其他條件不變.如保費(fèi)是定期支付，賠付在違約發(fā)生時，剩余保費(fèi)將在下個支付日支付.合約到期日為T，參考貸款面值為1.保費(fèi)支付日為t1＜t2＜…＜tM＝T，M為總期數(shù)，Δt為相鄰保費(fèi)支付日間隔，R1為參考公司的回收率.新的假定是：如果一個交易對手在參考公司違約之前違約，則該交易對手所擔(dān)保的比例馬上結(jié)算，而投資者與另一交易對手的合約繼續(xù).如果參考公司C在兩個交易對手之前發(fā)生違約，CDS賣方B1，B2按相應(yīng)比例a1，a2進(jìn)行賠付，分別為：ai（1－R1），（i＝1，2，a1＋a2＝1），則多交易對手的單名CDS合約的具體現(xiàn)金流如圖1所示.圖中，τ3為參考公司違約時刻，a1（1－R1）為交易對手B1的賠付，a2（1－R1）為交易對手B2的賠付.其中，R2為CDS賣方B1，B2發(fā)生違約時的回收率.

圖1 多交易對手信用違約互換現(xiàn)金流圖Fig.1 Cash flow of the multi-counterparties credit default swap products

1.2 含多交易對手單名CDS合約的CVA計算模型

假設(shè)r為無風(fēng)險利率，U為考慮了CCR的含多交易對手的單名CDS的價值，V為不考慮CCR的含多交易對手的單名CDS的價值，λi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約強(qiáng)度.如果CDS賣方Bi（i＝1，2）先于參考公司違約，買方的損失（或收益）為［8］ai（R2U＋－U－）.站在t時刻，不含CCR的多交易對手CDS合約的價值為：

其中：U＋＝max｛U，0｝，U－＝min｛U，0｝，r為無風(fēng)險利率.

那么多交易對手CDS合約的CVA在t時刻的估值為

1.3 單因子CIR模型

（1）多交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性為正相關(guān)情形

考慮利用單因子模型來建立參考公司違約與交易對手違約之間的相關(guān)性.在前言部分分析CDS的信用風(fēng)險中，已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了利率作為宏觀經(jīng)濟(jì)變量的重要性.利率不僅關(guān)系到整個國家的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，同樣對每個投資者也是十分重要的投資因素.所以利用rt表示公共因子即系統(tǒng)性風(fēng)險因子，而βit（i＝1，2，3）則表示第i公司違約的特有因子即非系統(tǒng)性風(fēng)險因子，得到下面的單因子模型：

式中，bi和ci都是非負(fù)常數(shù)，并且是相互獨(dú)立的隨機(jī)過程.

假設(shè)瞬時無風(fēng)險利率rt和βit（i＝1，2，3）都由CIR過程驅(qū)動，即

其中κi、θi和σi是正的常數(shù)，并且滿足Feller條件是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動（i＝0，1，2，3）.

（2）多交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)情形

現(xiàn)在考慮參考公司與交易對手之間的違約是負(fù)相關(guān)的，即宏觀利率因素對兩者的影響是反向的.為保證所有的（i＝1，2，3）均為正，假設(shè)［8］：

其中bi和ci均為非負(fù)常數(shù)，同樣假設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)過程.這樣之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)，而分別與之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的.

（3）一個交易對手與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)而另一個交易對手與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)情形

現(xiàn)在考慮參考公司與交易對手之間的違約有正相關(guān)的，也有負(fù)相關(guān)的情形，即宏觀利率因素對一個交易對手的影響為正，另一個為負(fù)，此時假定：

其中bi和ci均為非負(fù)常數(shù)，同樣假設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)過程.這樣之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)之間的違約相關(guān)性是負(fù)相關(guān)的.

模型（3）中第①式含有1／rt項，其為CIR過程的倒數(shù)，滿足反 CIR過程［9］（inverse CIR process，ICIR）.

2 模型求解

本文的模型求解分為線性的和非線性的，首先解決線性問題的解.

2.1 模型的線性問題求解

2.1.1 單因子CIR模型的情形

建立了單因子CIR模型后，便可以對CVA值式（1）進(jìn)行求解了.觀察式（1），求解關(guān)鍵在于求類似于的條件期望.將模型（2）代入這兩個期望表達(dá)式可化為求解 如 下 兩 個 基 本 類 型 的 期 望：和.對于形式（I）的期望，可以通過求解下面偏微分方程的 Cauchy問題其中k為常數(shù)：

偏微分方程（5）有仿射形結(jié)構(gòu)解［10］.即存在函數(shù)A（t，x）和B（t，x），使得

2.1.2 單因子反CIR模型的情形

仿照文獻(xiàn)［9］中的方法，最后可得方程（6）的解：

2.2 模型的非線性問題求解

將式（1）寫成如下形式：

其中，W1（t）和W2（t）可以寫成和H（f（r），t；u）的函數(shù)形式，而后一部分非線性條件期望利用Feynman-Kac公式后，得到非線性偏微分方程：

3 數(shù)值分析

利用第2.2節(jié)提出的迭代方法對含多交易對手的CDS合約的CVA值進(jìn)行計算，迭代的具體方法是：將有方程右端的非線性項用不考慮交易對手違約的模型解析解代替，將方程變成一個線性方程組，該問題有第2.2節(jié)中得到的封閉解，然后將此解析解再代入方程右端的非線性項.這樣反復(fù)，經(jīng)過一定的迭代步數(shù)，就能得到y(tǒng)i（t）近似解，進(jìn)而得到U（t）近似解.通過對結(jié)果的數(shù)值分析可得：① 驗證迭代的收斂性以及收斂速度；② 考察系統(tǒng)風(fēng)險因子對含多交易對手CDS合約的CVA的影響；③ 考察含多交易對手CDS合約的CVA與合約期限的關(guān)系；④分析含多交易對手的違約相關(guān)性對CVA值的影響，并與標(biāo)準(zhǔn)CVA進(jìn)行比較.

本文圖形中的基本對應(yīng)參數(shù)取定如下：

3.1 單因子CIR模型的情形

圖2和表1都顯示當(dāng)?shù)螖?shù)n≥5時，U（t）幾乎不發(fā)生變化，說明了迭代的收斂速度非?？?即利用本文的模型計算CDS的CVA值有較高的效率.

圖2 CDS價格關(guān)于約合期限T的關(guān)系Fig.2 The relationship between CDS price and T

圖3和圖4分別顯示了含多交易對手單名CDS合約的CVA值與公共因子rt，合約期限T的關(guān)系.含多交易對手CDS合約的CVA值與合約期限正相關(guān)，且在T相對較小時CVA增長較快.這點(diǎn)說明，當(dāng)合約期限較長時，交易對手違約的可能性增大，故

圖3 CDS價格關(guān)于利率r的關(guān)系Fig.3 The relationship between CDS price and interest rate r

圖4 CVA關(guān)于約合期限T的關(guān)系Fig.4 The relationship between CVA and T

CVA值相應(yīng)增大.含多交易對手CDS合約的CVA值與利率亦正相關(guān)，利率增大時，表明整個市場收緊，違約風(fēng)險加大，故CVA值也會增大；從圖中也可看出，在利率較小時，CVA變化較小，反之亦然.

圖5顯示含多交易對手CDS合約的CVA值與合約賣方中B1和B2之間相關(guān)性的關(guān)系，含多交易對手CDS合約的CVA值與交易對手之間的違約相關(guān)性為正相關(guān).即如果交易對手之間的相關(guān)性大，一旦其中一個交易對手違約則多交易對手都違約的風(fēng)險也大，故其CVA值也會大.

圖5 CVA關(guān)于交易對手違約正相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationship between CVA and correlation coefficient of counterparties

圖6顯示含多交易對手CDS合約的CVA值以及標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值與交易對手和參考公司之間的違約相關(guān)性之間的關(guān)系，它們都隨著交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而增大.這時交易對手和參考公司違約的可能性增大，故其CVA值也會增大，同時看到隨著交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大，含多交易對手CDS合約的CVA值比標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值要小.

表1 CVA迭代差值與迭代次數(shù)之間的關(guān)系Tab.1 The relationship between iteration difference of CVA and the number of iterations

3.2 單因子反CIR模型的情形

圖7顯示含多交易對手的CVA值與合約賣方中B1和B2之間違約相關(guān)性為負(fù)情形下的關(guān)系.它們違約負(fù)相關(guān)性越大，CVA值越小.這時當(dāng)一方交易對手違約的可能性增大時，另一方交易對手違約的可能性反而降低，故其CVA值減小.

圖6 CVA關(guān)于交易對手與參考實體違約的正相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.6 The relationship between CVA and the positive correlation coefficient of counterparty and the reference company

圖7 CVA關(guān)于交易對手之間違約負(fù)相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.7 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparties

圖8顯示含多交易對手單名CDS合約的CVA值以及標(biāo)準(zhǔn)CDS的CVA值與交易對手和參考公司之間的違約相關(guān)性之間的關(guān)系.

當(dāng)交易對手都與參考公司間的違約為負(fù)相關(guān)時，含多交易對手單名CDS合約的CVA值隨著交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小，由于參考公司違約的可能性增大，則交易對手的違約可能性降低，其CVA減小.

圖8 CVA關(guān)于交易對手與參考實體之間違約的負(fù)相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.8 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparty and the reference company

當(dāng)兩交易對手與參考公司間的違約相關(guān)性一正一負(fù)時，含多交易對手的CVA值隨著交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小.即參考公司違約可能性增大，交易對手違約可能性此長彼消，但總體降低，其CVA減小.

從圖中看出多交易對手的CDS與標(biāo)準(zhǔn)CDS的比較結(jié)果.在只要有交易對手間違約相關(guān)性一致時，標(biāo)準(zhǔn)CDS合約的CVA值比多交易對手CDS合約的CVA值要大，即此時多交易對手可以降低風(fēng)險；而交易對手與參考公司違約相關(guān)不一致時，多交易對手的CDS合約的CVA值可能更大.

4 結(jié)論

本文研究了含多交易對手違約的單名CDS的CVA值的測算.通過分析考慮交易對手與參考公司之間違約的相關(guān)性，分別得到了三種不同單因子模型下CVA的計算模型，分別為多交易對手都與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)的情形；一個交易對手與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)而另一個交易對手與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的情形；多交易對手都與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的情形.它們的計算最終都化為非線性偏微分方程的數(shù)值解來表達(dá).通過一個收斂速度較快的迭代算法，作了一些數(shù)值結(jié)果的分析，并且將結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)的單名的CDS的CVA值進(jìn)行做比較分析，得到以下結(jié)果：

（1）交易對手與參考公司間違約的相關(guān)性為正時，多交易對手信用違約互換（CDS）合約的交易對手估值調(diào)整（CVA）值和標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值都隨交易對手與參考公司間違約相關(guān)性的增大而增大，同時多交易對手的CVA值比標(biāo)準(zhǔn)的CVA值要小.即當(dāng)交易對手與參考公司間的違約都是正相關(guān)時，相關(guān)性將加大風(fēng)險，但多交易對手將降低風(fēng)險.

（2）交易對手與參考公司間違約的相關(guān)性都為負(fù)時，多交易對手CDS合約的CVA值和標(biāo)準(zhǔn)CDS的CVA值都隨著交易對手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小.即當(dāng)交易對手與參考公司之間違約負(fù)相關(guān)時，相關(guān)性將降低風(fēng)險.

（3）兩交易對手與參考公司間的違約相關(guān)性一正一負(fù)的CVA值比兩個都為負(fù)的CVA值要大；而標(biāo)準(zhǔn)的CVA值也比兩個都為負(fù)的CVA值要大.即當(dāng)交易對手與參考公司之間違約負(fù)相關(guān)時，另加負(fù)相關(guān)的交易對手將降低風(fēng)險，而另加正相關(guān)的交易對手將增大風(fēng)險.

致謝：感謝Anis Ben Brahim一起參與文章的討論，并對文章提出了建設(shè)性的意見.

［1］ Pykhtin M，Zhu S.A guide to modeling counterparty credit risk［J］.Global Association of Risk Professional，2009，37：16.

［2］ Alavian S，Ding J，Whitehead P，et al.Counterparty valuation adjustment（CVA）［J］.The Annals of Applied Probability，2008，18（6）：2495.

［3］ Brigo D，Pallavicini A.Counterparty risk pricing under correlation between default and interest rates［J］.Finance and Stochastic，2009（9）：29.

［4］ Brigo D，Pallavicini A.Counterparty risk and CCDSs under correlation［J］.Risk，2008，3（2）：84.

［5］ Brigo D，Capponi A.Bilateral counterparty risk valuation with stochastic dynamical models and application to Credit Default Swaps［J］.Risk，2012，7（2）：141.

［6］ Hui Li.Double impact on CVA for CDS：wrong-way risk with stochastic recovery［J］.Annals of Combinatorics，2011，1（3）：211.

［7］ Wei W，Jiang L S.One fact CVA model for CDS with counterparty credit risk within the reduced form framework［J］.International Journal of Financial Research，2012，2（2）：68.

［8］ LIANG Jin，WANG Tao.Valuation of loan-only credit default swap with negatively correlated default and prepayment intensities［J］.International Journal of Computer Mathematics，2011，26：35.

［9］ Ahn D H，Gao B.A parametric nonlinear model of term structure dynamics［J］.Review of financial Studies，1999，12（4）：721.

［10］ Duffie D，F(xiàn)ilipovic D，Schachermayer W.Affine processes and applications in finance［J］.The Annals of Applied Probability，2003，13（3）：127.