盧聰

【摘要】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中重要的思想方法，它是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的方法，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，它融合了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性，從而達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程的目的.本文通過(guò)一些典型問(wèn)題的研究，拋磚引玉，與讀者朋友共同探討與提高.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；模型

一、思想方法解讀與問(wèn)題引入

數(shù)形結(jié)合是通過(guò)“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法.它能使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中具有獨(dú)特的策略指導(dǎo)作用.數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的幾何特性和規(guī)律，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，使解決形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.

圖1思考已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1）.當(dāng)2

解析f（x）=logax+x-b的零點(diǎn)即為g（x）=logax與h（x）=x-b交點(diǎn)的

橫坐標(biāo).如圖1，觀察圖像得n=2.

∵f（1）=1-b<0，

f（2）=loga2+2-b<1+2-3=0，

f（3）=loga3+3-b>1+3-4=0，

由零點(diǎn)定理知x0在區(qū)間（2，3）內(nèi)，故n=2.

二、問(wèn)題研究

1.數(shù)形結(jié)合解決零點(diǎn)問(wèn)題

問(wèn)題一已知函數(shù)f（x）=-x2+2ex+t-1，g（x）=x+e2[]x，（x>0，其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若g（x）=m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）確定t的取值范圍，使得g（x）-f（x）有兩個(gè)相異實(shí)根.

解析（1）∵g（x）=x+e2[]x≥2e2=2e，（x=e時(shí)，等號(hào)成立），故g（x）值域?yàn)閇2e，+∞），因而只需m>2e，則g（x）=m有零點(diǎn).（2）g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根

函數(shù)g（x）與f（x）的圖像有兩個(gè)不同

的交點(diǎn).作出g（x）的圖像，配方：