莫定勇　劉小紅

【摘要】隨著課改的深入，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的落實(shí)，高三數(shù)學(xué)的授課方式有了較大的變化，筆者試驗(yàn)了“說題”教學(xué)方式.“說題”的主要內(nèi)容是：說知識(shí)、說思路、說步驟、說變式、說反思.其中說反思包含有反思解題的根據(jù)、關(guān)鍵、思路和思想方法.本文以一例說明“說題”教學(xué)方式，交流“說題”體會(huì).

【關(guān)鍵詞】例說；說題；說題的內(nèi)容

一、問題的提出

隨著新課改的不斷深入，高中數(shù)學(xué)的授課方式有了很大的改變.但是，在日常高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)的授受式仍占很大比重，多數(shù)課堂還是老師講，學(xué)生聽，老師講得多，學(xué)生自己鉆研得少.課上老師講的聽懂了，可一到自己做題時(shí)，尤其是略微有一點(diǎn)難度的題，就感覺束手無策了.這是為什么？

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡稱《課標(biāo)》）的基本理念要求：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”《課標(biāo)》目標(biāo)指出：“學(xué)生通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”，“提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力”，“提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成批判性的思維習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義”.從而“樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”.

怎樣改變高三“授受”式教學(xué)，實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》目標(biāo)，提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的課堂效率，需要改變我們的教學(xué)方式，筆者通過實(shí)驗(yàn)認(rèn)為，采用“說題”教學(xué)是一種很好的教學(xué)方式.

二、說題的內(nèi)容

說題，就是把讀題、分析、解答和反思的思維過程按一定程序說出來.也就是使學(xué)生從各個(gè)角度積極地思考，暴露學(xué)生的思維全過程，使學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.具體地說，說題應(yīng)包括如下內(nèi)容：

1.說題意.主要指題目的條件和結(jié)論，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，特別要注意挖掘隱含條件.

2.說知識(shí).即題目的條件和結(jié)論所涉及的知識(shí)點(diǎn)（包括定義、公式、法則、定理、方法和原理等）.

3.說思路.即說條件、結(jié)論間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，說自己的想法和猜測(cè)，說其他的解法和思路.

4.說步驟.即說每種思路解答的步驟、格式和表述.

5.說變式.說題目條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)變化之后，與原題目的區(qū)別和聯(lián)系.說檢查解題的思想，升華為觀念.

6.說反思.

（1）反思根據(jù).反思每種解法是如何想到的，這樣想的根據(jù)是什么.

（2）反思關(guān)鍵.反思每種解法的關(guān)鍵點(diǎn)和特別注意點(diǎn)，反思解法的“得意”之舉、“失敗”之因.

（3）反思思路.反思不同思路的區(qū)別、聯(lián)系和優(yōu)化.

（4）反思思想.反思不同解法所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

7.說總結(jié).說題目的來源、背景和前后知識(shí)的聯(lián)系、價(jià)值以及解法的一般化和推廣.

三、說題的實(shí)例

例設(shè)x，y∈R，則（x+y）2+（x-1y-1）2的最小值為（）.

A.14B.12C.22D.2-12

1.說題意

題目已知x，y∈R和式子（x+y）2+x-1y-12，求式子的最小值.式子隱含著條件平方和、二元二次式.

2.說知識(shí)

平方和可被看作兩點(diǎn)間距離的平方，平方和也可被看作平均數(shù)不等式的一部分；二元二次式可看作是把一個(gè)元視作已知數(shù)，另一個(gè)元視作變量的一元二次函數(shù).所以，涉及有兩點(diǎn)間的距離公式、平均數(shù)不等式、二次函數(shù)和用導(dǎo)數(shù)求最值的相關(guān)知識(shí).

3.說思路

思路一：把原式看作x的二次函數(shù)，由于其圖像開口向上，所以它的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最小值.思路二：把原式看作點(diǎn)Px，x與Q-y，1y+1的距離的平方，即求PQ2的最小值.思路二（變式）：取點(diǎn)Mx，x+1，點(diǎn)N-y，1y，即求MN2的最小值.思路三、利用平均數(shù)不等式求最值.

4.說步驟

思路一：原式=2x2+2y-2y-2x+y2+1y2+2y+1.

∵x∈R，∴原式≥1y2+1+2y-2y-2y-224x2=y2+1y2+2y+2y+32

=y+1y+122≥12.

思路二：把原式看作點(diǎn)Px，x與Q-y，1y+1的距離的平方，點(diǎn)P在直線y=x上，點(diǎn)Q在y=-1x+1上.欲求原式的最小值，即求PQ2的最小值.

如上圖：作y=x的平行線與y=-1x+1的右下支相切時(shí)，切點(diǎn)到y(tǒng)=x的距離即為PQ的最小值.

思路二（變式）：取點(diǎn)Mx，x+1，點(diǎn)N-y，1y，則原式為MN2，而點(diǎn)M在直線y=x+1上，點(diǎn)N在雙曲線y=1x上，由該直線和雙曲線都關(guān)于y=x對(duì)稱知：N1，-1到點(diǎn)M的距離最小.用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求y=-1x+1的切線斜率為1的切點(diǎn).如圖所示：由點(diǎn)到直線的距離公式或四邊形ANBO是邊長的1的正方形可知MNmin=22， ∴原式≥12.

思路三：原式≥（x+y）2+-（x-1y-1）2≥2·（x+y）+（-x+1y+1）22

=（y+1y+1）22≥12.

5.說變式

（2012全國理12）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=12ex 上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為（）.

A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2）

此題用數(shù)形結(jié)合的思想，利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)P或點(diǎn)Q到直線y=x的最小距離的2倍即可.升華觀念：遇有函數(shù)、幾何等相關(guān)的較難題目，首先用數(shù)形結(jié)合的思想.

6.說反思

（1）反思根據(jù).思路一用了二次函數(shù)、三數(shù)和的平方及函數(shù)y=ax+bx來求最值；對(duì)于多元函數(shù)，我們求最值的基本思路是減少變量，最好轉(zhuǎn)化成一元二次求最值，所以思路一的根據(jù)是二次函數(shù).

由于原式是平方和，由兩點(diǎn)間距離公式聯(lián)想到思路二；它的依據(jù)是平方和.

思路三使用了21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22和函數(shù)y=ax+bx求最值，由于原式是平方和，又是二元，由平方和想到不等式，由二元想到減少變量，由于消去y有困難，于是想到消去x，不等式中沒有兩數(shù)相減，所以變形為相減，由此想到該思路，它的依據(jù)是a+b2≤a2+b22.

（2）反思關(guān)鍵.思路一的關(guān)鍵（一）在于減少變量，化為二次函數(shù)；關(guān)鍵（二）在于配方，配成三數(shù)和的平方.思路二的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離的平方，注意點(diǎn)所在的曲線，另外點(diǎn)取得不恰當(dāng)，有可能不能正確求解，如取點(diǎn)S（x，-1y），T（y，x+1），則點(diǎn)S，T所在曲線就不能確定.思路三的關(guān)鍵在于把 b變?yōu)?b，從而消去x，易錯(cuò)點(diǎn)在于利用這一不等式取等號(hào)的條件和多個(gè)不等式取最值時(shí)的條件.

（3）反思思路.思路一比較容易想到，但計(jì)算量較大；思路二較好想，計(jì)算量不大，特別是變式解法利用圖形的對(duì)稱性就解決了，但細(xì)節(jié)較多，思維較靈活；思路三難以想到，計(jì)算量較小，對(duì)基本功要求高，需要構(gòu)造不等式的條件，思維層次較高.比較三種思路，把代數(shù)式子轉(zhuǎn)化出幾何意義是本題最“得意”之解.

（4）反思思想.思路一用的函數(shù)與方程的思想，配方法、數(shù)形結(jié)合法.思路二用的轉(zhuǎn)化與化歸的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.思路三用的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，配湊法.

7.說總結(jié)

題目在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的交匯處命題，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和準(zhǔn)確性.在高中把“代數(shù)式子轉(zhuǎn)化為其幾何意義”的有： ①把“商”化為“斜率”.②把“二元一次”化為“縱截距”.③把“二元一次的絕對(duì)值”化為點(diǎn)到直線的距離.④把“差的絕對(duì)值”化為“數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離”.

四、說題的體會(huì)

1.說題注意兩個(gè)矛盾：

（1） 課堂說題時(shí)間和教學(xué)容量的矛盾.“說題”會(huì)占用較多的課堂教學(xué)時(shí)間，出現(xiàn)說題與課堂教學(xué)容量之間的矛盾.所以教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)題目，嚴(yán)格控制題目的數(shù)量；點(diǎn)撥、歸納時(shí)，要把握實(shí)質(zhì)；總結(jié)要力求簡潔、有效，要深化思維、以點(diǎn)帶面、舉一反三.

（2）學(xué)生的有效參與和整體提高的矛盾.說題過程所達(dá)到的最佳效果，要視全體學(xué)生的積極參與，主動(dòng)思維的狀況.然而學(xué)生群體間有優(yōu)中差的差別，個(gè)體能力中又有強(qiáng)弱項(xiàng)之分，因而必須堅(jiān)持因材施教、因人施教的原則.充分調(diào)動(dòng)全體學(xué)生說題的主動(dòng)性、積極性和創(chuàng)造性，激發(fā)求知欲.

1.說題過程要循序漸進(jìn)，內(nèi)容選擇要有廣泛性.說題活動(dòng)大致要經(jīng)歷三個(gè)階段性的發(fā)展過程：即教師示范（學(xué)生感悟階段）→ 學(xué)生模仿（學(xué)生體驗(yàn)階段）→ 學(xué)生正式說題（學(xué)生掌握運(yùn)用階段）；應(yīng)堅(jiān)持的原則是：難度上—— 先易后難，程序上——先課本后課外，知識(shí)上——先點(diǎn)后面，數(shù)量上——先單一后成批，廣度上——先封閉后開放.

2.說題教學(xué)是高層次的課堂教學(xué)，其實(shí)質(zhì)是“說思維”，是充分體現(xiàn)學(xué)生主體性的一種舉措，通過說題可以培養(yǎng)學(xué)生具備較高的思維能力和良好的思維品質(zhì).筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，說題活動(dòng)還有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，有利于提高學(xué)生的聽、說、思、創(chuàng)等綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

＼[1＼]G.波利亞.怎樣解題 ＼[M＼].閻育蘇譯.北京.科學(xué)出版社，1982.

＼[2＼]李小樹.說題教學(xué)的嘗試 ＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)，1998（3）.