【摘要】找準(zhǔn)、找全特殊點(diǎn)，是快速、準(zhǔn)確地作出相貫線的關(guān)鍵。本文基于數(shù)學(xué)理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，針對圓柱貫穿圓錐正交相貫線上特殊點(diǎn)不能準(zhǔn)確畫出的問題，提出了一種準(zhǔn)確、簡便、可靠的幾何作法，為手工繪圖、計算機(jī)繪圖提供了理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 圓柱 圓錐 正交 相貫線

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0123-02

一、引言

制圖中求兩個回轉(zhuǎn)曲面的相貫線，通常是先確定特殊點(diǎn)，再根據(jù)需要找出一些中間點(diǎn)，然后用光滑曲線連接起來。本文基于數(shù)學(xué)理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，針對圓柱貫穿圓錐正交相貫線上最右（左）點(diǎn)不能準(zhǔn)確畫出的問題，提出了一種準(zhǔn)確、簡便、可靠的幾何作法，也為手工繪圖、計算機(jī)繪圖提供了理論依據(jù)。

二、建立圓柱貫穿圓錐正交相貫線上的數(shù)學(xué)模型

圓柱貫穿圓錐且軸線垂直正交，設(shè)圓柱的半徑為r，圓錐的半頂角為 ，圓柱與圓錐軸線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓錐頂點(diǎn)S到O點(diǎn)的距離為h，如圖1建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，于是有

圓柱面方程：y2+z2= r2 （1）

圓錐面方程：x2+y2=（z-h）2tan2 （2）

將上述兩方程聯(lián)立，消去y，得相貫線方程：x2+r2-z2=（z-h）2tan2 （3）

（一）解析法確定圓柱貫穿圓錐正交相貫線的形狀

將相貫線方程（3）化簡，整理得：

-（z-hsin2 ）2 =h2sin2 cos2 -r2cos2 （4）

由于是圓柱貫穿圓錐，所以r0，所以方程（4）表示的是左、右兩支雙曲線，在xoz平面上，z軸是虛軸，z=h sin2 是實軸，頂點(diǎn)在實軸上。

即當(dāng)圓柱貫穿圓錐正交時，二者相貫線在xoz平面上的投影為左右對稱的雙曲線。由（4）不難求得左支雙曲線的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（ ，0，hsin2 ）。

（二）導(dǎo)數(shù)法證明圓柱貫穿圓錐正交相貫線上最右點(diǎn)即為上述左支雙曲線的頂點(diǎn)

將相貫線方程（3）化簡，得x2=z2sec2 -2zh tan2 +h2tan2 -r2 （5）

對（5）式兩邊求關(guān)于z的導(dǎo)數(shù)，得2x =2z sec2 -2h tan2 令 =0，得駐點(diǎn)z = h sin2？夼.在只考慮左支雙曲線時，有x > 0。此時，當(dāng)z < h sin2 時， < 0；當(dāng)z > h sin2？夼 時， > 0。根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知關(guān)于z的函數(shù)x在z =h sin2 時取得極值，且極值點(diǎn)為（ ，0，hsin2 ），正是上述左支雙曲線的右頂點(diǎn)。

所以，當(dāng)圓柱貫穿圓錐正交時，上述左支雙曲線的右頂點(diǎn)就是二者相貫線在xoz平面上投影的最右點(diǎn)。

（三）基于數(shù)學(xué)模型的啟示

通過分析數(shù)學(xué)模型（3）可知，圓柱貫穿圓錐正交時，①相貫線的形狀為左右對稱的雙曲線；②相貫線上的最右（左）點(diǎn)在水平面z=h sin2 上；③可以作輔助平面z=h sin2 確定相貫線的最右（左）點(diǎn)。

三、圓柱貫穿圓錐相貫線的幾何畫法

（一）相貫線上的最高（低）、最前（后）點(diǎn)的幾何求法

如圖2所示，相貫線上的最高點(diǎn)是a'點(diǎn)，最低點(diǎn)是b'點(diǎn)（針對左側(cè)相貫而言，b'點(diǎn)又是最左點(diǎn)），它們分別是圓錐的最左素線與圓柱的最上、最下素線的交點(diǎn)；相貫線上的最前、最后點(diǎn)分別位于圓柱的最前、最后素線上，就是e、f兩點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)采取幾何法可以準(zhǔn)確求出。

（二）相貫線上前、后對稱的最右（左）點(diǎn)的幾何求法

為方便起見，這里只說明圓柱左側(cè)貫穿圓錐時，相貫線上最右點(diǎn)的幾何求法（右側(cè)貫穿最左點(diǎn)類似），見圖2，具體步驟如下。

（1）找出圓柱、圓錐兩軸線的交點(diǎn)O。

（2）求作輔助平面z=h sin2 ，由2.3知，相貫線上的最右（左）點(diǎn)在水平面 z=h sin2 上，又z=h sin2 =h sin ·sin ，從交點(diǎn)O向圓錐的最右素線SU引垂線，得垂足n'，則On'= h sin ；過n'作平行于圓錐底面的水平面交圓錐軸線于k'點(diǎn)，由平面幾何知識知道，Ok'=On'·sin =h sin ·sin =h sin2 ，所以過n'所作的平行于圓錐底面的水平面就是相貫線上的最右（左）點(diǎn)所在的平面z=h sin2 。

（3）找出相貫線上的最右點(diǎn)。根據(jù)空間平面的三視圖特征及其投影特性，過n'的輔助平面z=h sin2 的正面、側(cè)面投影都積聚成直線，與圓柱、圓錐表面的共有點(diǎn)是前、后對稱的兩點(diǎn)，它就是相貫線上的關(guān)鍵特殊點(diǎn)——最右兩點(diǎn)c、d點(diǎn)，其正面投影為c'（d'）。

（三）圓柱貫穿圓錐正交相貫線的幾何畫法

通過（一）和（二），求出了相貫線上的特殊點(diǎn)：最高、最低點(diǎn)；最前、最后點(diǎn)；最左、最右點(diǎn)，這就確定了相貫線的空間范圍；根據(jù)2.1和2.2知道，圓柱左側(cè)貫穿圓錐時，相貫線是左支雙曲線，雙曲線的頂點(diǎn)就是相貫線最右點(diǎn)，為了手工描點(diǎn)作圖的精確度更高，還可以找一些中間點(diǎn)，比如像圖2中p'（q'）這樣的中間點(diǎn)。

有了這些特殊點(diǎn)和中間點(diǎn)，依次用光滑的曲線連接起來，就能較準(zhǔn)確性的作出相貫線，如圖3所示。

四、圓柱正交圓錐相貫線形狀變化綜述

圓柱半徑為r，圓柱圓錐兩軸的交點(diǎn)到圓錐最左（右）素線的距離為h sin 。

（一）r

圓柱貫穿圓錐情況如圖4所示。根據(jù)相貫線的數(shù)學(xué)模型（4）可知，此時相貫線在V面上的投影取左、右兩支雙曲線上對稱的一段，如圖7中的ab段，頂點(diǎn)s（± 0，hsin2 ）為相貫線的最右（左）點(diǎn)，隨著圓柱半徑r的變化而在雙曲線的實軸z =h sin2 上移動。

（二）r=h sin ，圓柱圓錐公切于球

柱錐公切于球，球半徑R=r=hsin 。根據(jù)相貫線的數(shù)學(xué)模型（4）可知，相貫線方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 =0，此時情況如圖5所示，即相貫線為兩條相交直線z=±xcos +hsin2 上的一段，其交點(diǎn)即為（0，0，hsin2 ）點(diǎn)。所以當(dāng)圓柱圓錐公切于球時，相貫線在V面上的投影取圖7中兩條漸近線上對稱的一段。

（三）r>h sin ，圓錐貫穿圓柱

根據(jù)相貫線的數(shù)學(xué)模型（4）可知，此時相貫線方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 <0，此時情況如圖6所示，即方程（4）表示的是上、下兩支雙曲線。在xoz平面上，z =h sin2 是虛軸，z軸是實軸，頂點(diǎn)在z軸上。由方程（4）不難求得上、下兩支雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，hsin2 cos），頂點(diǎn)隨著圓柱半徑r的變化而在雙曲線的實軸即z 軸上移動。所以當(dāng)圓錐貫穿圓柱時，相貫線在V面上的投影取圖7中上、下對稱兩支雙曲線上的一段。

總之，在《機(jī)械制圖》的教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用其中，既能增強(qiáng)《機(jī)械制圖》教學(xué)的實效性，又能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的聯(lián)系，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣度，促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐應(yīng)用能力。

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作者簡介：

余敏（1965-），女，安徽省壽縣人，教授，工學(xué)學(xué)士，研究方向：士官教育工作和士官基礎(chǔ)課教學(xué)研究。