趙昱

摘 要：由于解決實際問題的需要，人們引進了微分學的概念，并對它進行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論。而微分學中的一個重要定理即微分中值定理是微分應用的理論基礎，是微分學的核心理論。微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。而且微分中值定理不是一下子全部被人類認知，它的完整出現經歷了一個過程，是眾多數學家共同研究的成果。

關鍵詞：微分；中值定理；研究探討

一、微分中值定理的歷史演變

微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。而且微分中值定理不是一下子全部被人類認知，它的完整出現經歷了一個過程，是眾多數學家共同研究的成果。從費馬定理到柯西中值定理，是一個逐步完善、不斷向前發(fā)展的過程，而且隨著相關數學理論知識的不斷完善，微分中值定理也隨之得以完整起來，證明方法也出現了多樣化。

微分中值定理，是微分學的核心定理，是研究函數的重要工具，是溝通函數與導數的橋梁，歷來受到人們的重視。微分中值定理有著明顯的幾何意義，以拉格朗日定理為例，它表明“一個可微函數的曲線段，必有一點的切線平行于曲線端點的弦?！睆倪@個意義上來說，人們對微分中值定理的認識可以上溯導公元前古希臘時代，古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。希臘著名數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物線弓形的面積。意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》中給出處理平面和立體圖形切線的引理，其中引理基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了，按歷史順序：1637年，著名法國數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，在教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。1691年，法國數學家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統(tǒng)研究是法國數學家柯西，他是數學分析嚴格化運動的推動者，他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》、《微分計算教程》，以嚴格化為其主要目標，對微積分理論進行了重構。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。在《無窮小計算教程概論》中，柯西首先嚴格的證明了拉格朗日定理，又在《微分計算教程》中將其推廣為廣義中值定理即柯西定理，從而發(fā)現了最后一個微分中值定理。

二、微分中值定理的內容

1、費馬定理

三、結語

微分中值定理都是一元微分學和平面領域上的微分定理，而在實際應用上，很多情況下都要突破這些局限，并不都是一元和平面領域的。為了充分利用微分中值定理這個重要工具，這就需要我們把它進行推廣，使之也能夠在n元微分學和n維空間下得以使用，把微分中值定理推廣到n元函數和n維歐氏空間，使微分中值定理能夠更廣泛的應用在更多的領域，發(fā)揮其更大的作用。

參考文獻：

[1]邢博特. 高等數學[M]. 北京： 經濟科學出版社， 2013.

[2]韓飛、張漢萍. 應用經濟數學[M]. 長沙： 湖南師范大學出版社， 2011.