押雪霞

一、問題提出

在高中數(shù)學教學中，分類討論的數(shù)學思想可以說無處不在，如：函數(shù)y = ax2 + 2x + 3的圖像一定是拋物線嗎？函數(shù)y=loga（2x-1）一定是增函數(shù)嗎？不等式a■ < a2x-3與不等式x2 < 2x - 3同解嗎？……比比皆是. 它們都需要對參數(shù)進行分類討論. 以誰為標準分類才能做到不重不漏是許多高中生的困惑. 有的學生到高三復習了遇見參數(shù)還是無所適從，不是盲目地按a > 0，a < 0，a = 0分類，就是機械地按a > 1，a < 1，a = 1分類. 本文擬從高一教學中探討如何逐步滲透分類討論的數(shù)學思想，以使學生在高中起始階段就能正確掌握分類討論的方法，從而在后續(xù)學習中能靈活應用，并游刃有余.

二、目標實施

1. 小處著眼，逐步遞進

高一學習第二章“基本初等函數(shù)”時，首先要復習初中已學過的二次函數(shù). 在此教師可有意識地設計：函數(shù)y = ax2 + 2x + 3的圖像是什么？學生很容易回答是拋物線. 教師可反問它的圖像一定是拋物線嗎？學生就會恍然大悟，應分a = 0，a ≠ 0兩種情況考慮：當a = 0時，它為一次函數(shù)，它的圖像是直線；當a ≠ 0時，它是二次函數(shù)，它的圖像才是拋物線. 在此為學生埋下了分類討論的數(shù)學思想的種子，使學生有了初步的感官認識. 緊接著教師給出例1：求函數(shù)y = x2 - 2ax + 3，當x∈[1，3]時的最小值. 學生易犯的錯誤是求出對稱軸x = a，它對應的函數(shù)值就為最小值. 教師可提示已知條件中所給的區(qū)間x∈[1，3]有什么作用，從而使學生意識到應按對稱軸x = a與區(qū)間的位置分a < 1，1 ≤ a ≤ 3，a > 3三種情況求解. 至此，學生對分類討論的數(shù)學思想有了更進一步的感性認識，教師應趁熱打鐵給出例2：求函數(shù)y = x2 - 2x + 3，當x∈[a，a + 1]時的最小值，“吃一塹，長一智”，學生自然就會按對稱軸x = 1與區(qū)間的位置分1 < a，a ≤ 1 ≤ a + 1，1 > a + 1三種情況求解. 教師的作用就是引導學生總結兩例題的區(qū)別和聯(lián)系：一個是軸動區(qū)間定，一個是軸定區(qū)間動. 它們都需要按對稱軸和區(qū)間的位置進行分類討論. 這類題的一般規(guī)律是將對稱軸放在區(qū)間的左面、區(qū)間的中間、區(qū)間的右面，分三種情況進行討論求解，從而使學生對分類討論的數(shù)學思想上升為理性認識.

2. 溫故知新，螺旋上升

在二次函數(shù)的復習中，學生對分類討論的數(shù)學思想有了初步的認識，在此基礎上，我趁勢給出了三個二次的關系，即一元二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的關系，并引導學生來探討含參數(shù)的一元二次不等式的方法.

例1：解一元二次不等式x2 - （a - 1）x - a > 0. 因為一元二次方程x2 - （a - 1）x - a = 0有兩個根x = a和x = -1，由一元二次函數(shù)的圖像知此一元二次不等式的解應在兩根之外. 但兩根的大小不能斷定，目的就是讓學生想到從兩根的大小分三種情況進行討論求解.

例2 ：解一元二次不等式x2 - ax + 1 > 0. 因為一元二次方程x2 - ax + 1 = 0的判別式為a2 - 4，其正負不能斷定，即此方程是否有根不知道，目的就是讓學生想到由判別式的大小分三種情況進行討論求解.

例3 ：解不等式ax2- （2a + 1）x + a + 1 > 0. 本題目的是讓學生想到由x2的系數(shù)a來分三種情況進行討論求解. 因為a = 0時，此不等式為一次不等式；當a > 0時，此一元二次不等式的解集為兩根之外；而當a < 0時，此一元二次不等式的解集變?yōu)閮筛g. 需要注意的是，由于是高一學生，分類討論的難度教師一定要把握好. 個人認為讓學生掌握一層分類即可，而那種先按是否有根分類討論，再按兩根大小分類討論的多層討論不必涉及.

3. 不斷強化，形成習慣

有了前面的學習，學生已經對分類討論的數(shù)學思想有了深刻的認識. 在指數(shù)函數(shù)的學習中教師應當乘勝追擊，以使學生能在不斷的強化過程中形成良好的習慣. 首先教師給出例1：解不等式a < a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1），有了前面的鋪墊，多數(shù)學生已經能從容地分a > 1，a < 1兩種情況求解. 緊接著教師給出例2：求函數(shù)y = a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1）的單調區(qū)間. “一回生兩回熟，三次見面就是老朋友.”在對數(shù)函數(shù)的學習中，教師不妨給出同樣的兩道例題，例1：解不等式loga（2x-1） < loga（x - 3） （a > 0 且a ≠ 1）與例2：求函數(shù)log a（2x-1）（a > 0 且a ≠ 1）的單調區(qū)間，目的就是使學生在不斷的強化中，自然而然地將分類討論的數(shù)學思想在腦海中根深蒂固. 實踐證明，高一有了學習必修1的良好開端，高一的必修2的教學就顯得格外輕松. 例如在必修2解析幾何的學習中，當教師讓求直線2x - ay + 3 = 0的斜率時，學生都會自覺地考慮a = 0時斜率不存在，a ≠ 0時斜率為時. 不僅如此，他們還能按a > 0，a < 0來進一步判斷斜率的正負以及傾斜角什么時候是銳角、什么時候是鈍角.

三、一點感想

優(yōu)秀是一種習慣. 從高一開始，學生從起初的遇見參數(shù)就犯錯誤到不斷吸取教訓，探索規(guī)律，直到后來遇見參數(shù)就分類討論，可以說已經成為他們自覺的習慣. 從一開始的不知道如何分類到后來分類標準的不重不漏，可以說他們對分類討論的方法已經掌握得爐火純青. 我相信這不僅為他們學好高中階段的數(shù)學樹立了信心，這種嚴謹?shù)囊唤z不茍的學風也一定會遷移到他們今后的學習和工作中，一定能使他們受益終生.