劉亞敏
【摘要】建構(gòu)最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn),看似無(wú)章可循,但仔細(xì)研究仍不失基本方法和一般規(guī)律,問(wèn)題是如何加以歸納總結(jié),本文根據(jù)高等數(shù)學(xué)各部分知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,以實(shí)例就建構(gòu)輔助函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行初步探究.
【關(guān)鍵詞】輔助函數(shù);建構(gòu)方法
建構(gòu)性解題思想及其方法是高等數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法,筆者通過(guò)對(duì)輔助函數(shù)的基本特點(diǎn)及建構(gòu)方法的闡述,想起到拋磚引玉之作用.
一、輔助函數(shù)的基本特點(diǎn)
1.輔助函數(shù)題設(shè)中沒(méi)有,結(jié)論中也不存在,僅是解題的一個(gè)中間過(guò)程,類似于平面幾何中的輔助線,起輔助解題的作用,如我們所熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明.
2.同一個(gè)命題可建構(gòu)多個(gè)輔助函數(shù)用于解題 .
3.表面上看建構(gòu)輔助函數(shù)的思路較寬廣,實(shí)質(zhì)上,不同的輔助函數(shù)直接關(guān)系到解題的難易,因此,建構(gòu)最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解題的關(guān)鍵.
二、建構(gòu)輔助函數(shù)的基本方法
1.聯(lián)想分析:要建構(gòu)一個(gè)與所證結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù),而后再運(yùn)用已知條件及有關(guān)概念,推理得出所要證明的結(jié)果,通常是先從一個(gè)愿望出發(fā),聯(lián)想起某種曾經(jīng)用過(guò)的方法和手段,而后借助于這些方法和手段去接近目標(biāo),或者再?gòu)倪@些方法和手段出發(fā),又去聯(lián)想別的通向目標(biāo)的方法和手段,這樣繼續(xù)下去,直至達(dá)到我們能力所及的起點(diǎn)或把問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)明顯成立的結(jié)論為止.因此,聯(lián)想是我們構(gòu)思輔助函數(shù)的階梯.
聯(lián)想方法多適用于不等式命題的證明和有關(guān)方程實(shí)數(shù)根的討論.
總之,輔助函數(shù)的建構(gòu)離不開分析、推理和聯(lián)想,解題者只有把知識(shí)學(xué)得系統(tǒng)、深入、融會(huì)貫通,才能取得事半功倍之效果.恰當(dāng)?shù)臉?gòu)思,巧妙的假設(shè),充分的推理論證是每個(gè)研習(xí)高等數(shù)學(xué)的人們所不可或缺的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì).