王選

【摘要】

數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)的自然科學(xué).本文從大學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)角度談?wù)摿藬?shù)學(xué)學(xué)習(xí).結(jié)合自身的學(xué)習(xí)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)實(shí)、復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等基礎(chǔ)課程為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)各個(gè)科目之間的聯(lián)系和本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法三個(gè)方面給出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意的一些方法和技巧并提出了幾點(diǎn)建議.

【關(guān)鍵詞】專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)方法

一、數(shù)學(xué)概念是基石

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么——對(duì)定義、定理、概念的理解.概念是數(shù)學(xué)的基石.究其原因是，數(shù)學(xué)是一門(mén)以公理化定義的學(xué)科.所以學(xué)習(xí)概念包括定理和性質(zhì)，不僅要知其然還要知其所以然，許多同學(xué)只注重記概念而忽視了對(duì)其背景的理解，這樣是學(xué)不好數(shù)學(xué)的.對(duì)于每一個(gè)定義、定理，我們必須在牢記其內(nèi)容的基礎(chǔ)上還應(yīng)該知道它是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的，更為重要的是運(yùn)用到何處的，有時(shí)有必要借助習(xí)題把一些抽象的概念具體化來(lái)幫助我們理解，只有這樣我們才能更好地運(yùn)用它來(lái)解決問(wèn)題.

二、掌握數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科和方法的本質(zhì)

在把握了各個(gè)學(xué)科的基本概念之后，還需要我們能從全局角度把握它們之間的主要內(nèi)容以及它們之間的聯(lián)系和本質(zhì)，進(jìn)而做到有的放矢.

對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，實(shí)變函數(shù)無(wú)疑是一門(mén)很重要的基礎(chǔ)學(xué)科.實(shí)變函數(shù)主要介紹一種新的積分理論——勒貝格積分，研究定義在可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)的積分性質(zhì).那么到底什么樣的集合是可測(cè)集呢？它的測(cè)度又是怎樣定義的呢？什么樣的函數(shù)是勒貝格可測(cè)函數(shù)呢？可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)又到底有哪些積分性質(zhì)？很顯然，一般的實(shí)變函數(shù)著作都是圍繞它們各自成章節(jié)展開(kāi)的.

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，復(fù)變函數(shù)主要研究解析函數(shù)的解析性質(zhì)，而近世代數(shù)則主要研究群、環(huán)、域的：①存在問(wèn)題；②數(shù)量問(wèn)題；③構(gòu)造問(wèn)題.這也是研究任何一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)所要解決的三個(gè)最基本最主要的問(wèn)題，而一般的描述代數(shù)系統(tǒng)的著作也主要圍繞這三個(gè)問(wèn)題來(lái)展開(kāi)論述的.

此外，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所運(yùn)用的方法的本質(zhì)大多是相同的.根據(jù)數(shù)學(xué)理論知識(shí)知道五次及五次以上多項(xiàng)式的根沒(méi)有顯式表達(dá)式求解，因此對(duì)于這些高次多項(xiàng)式或者復(fù)雜的一元方程我們必須借助計(jì)算機(jī)近似求解，常用算法有二分法、弦位法、牛頓法，而我們?cè)趦?yōu)化理論中，求解一元函數(shù)無(wú)約束極小化問(wèn)題使用的也是這三種方法，顯然它們的本質(zhì)都是求解方程的根，只是后者求的是導(dǎo)函數(shù)方程的根而已.在優(yōu)化方法中，求解多元函數(shù)的無(wú)約束極小化問(wèn)題方法有最速下降法、共軛梯度法等等，在數(shù)值代數(shù)中，我們可以通過(guò)變分原理將系數(shù)矩陣為正定的線性方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的無(wú)約束極小化問(wèn)題，然后采用最速下降法或共軛梯度迭代算法來(lái)求解，而目前采用最多的是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的預(yù)條件共軛梯度法.顯然這些理論方法的本質(zhì)是相同的.

三、掌握數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)各個(gè)科目之間是互相聯(lián)系、彼此滲透的. 數(shù)學(xué)，其中很大一部分理論都是在研究函數(shù)、映射.比如數(shù)學(xué)分析中主要研究函數(shù)極限、連續(xù)性、可微性、可積性，以及初等函數(shù)在其收斂域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式.還有高等代數(shù)里的線性變換，近世代數(shù)里的同態(tài)、同構(gòu)映射，復(fù)變函數(shù)論里討論的解析函數(shù)，實(shí)變函數(shù)論里討論的可測(cè)函數(shù)，泛函分析理論里所討論的泛函和算子等等，研究對(duì)象都是函數(shù)或映射.

再來(lái)看看函數(shù)的研究對(duì)象：集合.集合論也是數(shù)學(xué)理論中最基礎(chǔ)的部分，在一般的高等代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、概率論著作中都有有關(guān)集合論知識(shí)的獨(dú)立章節(jié)，無(wú)非就是談元素與集合之間屬于、不屬于關(guān)系，集合與集合之間的相等、包含、互斥的關(guān)系以及集合之間的并（可列并）、交（可列交）、差、余（補(bǔ)）四則運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律.另外有關(guān)點(diǎn)集的分類(lèi)，即有關(guān)聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集、導(dǎo)集、閉包的理論.在數(shù)學(xué)分析中，它們是二維平面上完備性理論的基礎(chǔ)；在拓?fù)鋵W(xué)中，可以用開(kāi)集、閉集、導(dǎo)集、閉包對(duì)函數(shù)連續(xù)性做等價(jià)刻畫(huà)；在實(shí)變函數(shù)中，集合可測(cè)性以及可測(cè)集的測(cè)度都是借助于包含它的開(kāi)集測(cè)度的下確界（外側(cè)度）與包含于它的閉集測(cè)度的上確界（內(nèi)測(cè)度）來(lái)刻畫(huà)的.因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程要把握各個(gè)學(xué)科之間的這些相同的最基本的概念理論.

除了這些基本概念相同之外，學(xué)科之間的理論體系也密切相關(guān).如數(shù)學(xué)分析主要研究實(shí)數(shù)域上初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，而復(fù)變函數(shù)則研究復(fù)數(shù)域上函數(shù)的這些基本性質(zhì).近世代數(shù)是高等代數(shù)的進(jìn)一步抽象，高等代數(shù)是近世代數(shù)的一個(gè)雛形.這樣我們就可以通過(guò)下面類(lèi)比的數(shù)學(xué)方法更輕松地掌握這些理論知識(shí).這些都說(shuō)明數(shù)學(xué)各科目之間是彼此相互聯(lián)系、互相滲透的，只有把握各科目之間的聯(lián)系，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué).

四、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

除了了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)各科目之間的性質(zhì)特點(diǎn)之外，要想學(xué)好數(shù)學(xué)還應(yīng)該掌握常用的數(shù)學(xué)方法：

1.類(lèi)比方法：在概率論中，概率有非負(fù)性、單調(diào)性、半可加性、完全可加性，而實(shí)變函數(shù)里可測(cè)集的測(cè)度的非負(fù)性、單調(diào)性、半可加性、完全可加性顯然可以等價(jià)類(lèi)比過(guò)來(lái).

在數(shù)學(xué)分析中，在給出了無(wú)窮大反常積分的斂散性的定義和積分收斂的判別方法后，無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題不也可以這樣類(lèi)比地學(xué)習(xí)嗎？實(shí)際上無(wú)窮大反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)問(wèn)題的不同表現(xiàn)形式，無(wú)窮大反常積分是連續(xù)的求和，而無(wú)窮級(jí)數(shù)則是離散的求和.

2.推廣方法：在高等代數(shù)里面通過(guò)線性空間的子空間來(lái)推測(cè)整個(gè)線性空間的性質(zhì)，在近似代數(shù)里面通過(guò)子群、子環(huán)來(lái)推測(cè)整個(gè)群、環(huán)的性質(zhì).這些通過(guò)部分來(lái)推測(cè)整個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，將整個(gè)系統(tǒng)不斷細(xì)化的方法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用.

4.等價(jià)、同構(gòu)的方法：利用等價(jià)關(guān)系可以根據(jù)一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)推測(cè)另一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)

的性質(zhì)，將這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)里的元素進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)所討論的兩個(gè)對(duì)象等價(jià)或同構(gòu)時(shí)，那么它們之間的元素并不只是單純地建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，更重要的是，它們之間具有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，唯一的區(qū)別只是各自在表現(xiàn)這些性質(zhì)時(shí)所用的載體不同.

5.數(shù)學(xué)還遵從從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一維到多維，從有界到無(wú)界，由淺入深，循序漸進(jìn)的思維模式.以勒貝格測(cè)度理論為例：先講一維空間開(kāi)集、閉集的構(gòu)造，通過(guò)開(kāi)集的構(gòu)造引進(jìn)開(kāi)集的測(cè)度，再借助開(kāi)集的測(cè)度來(lái)定義閉集的測(cè)度，然后利用開(kāi)集、閉集的測(cè)度去定義任何有界集的外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度，直到有界可測(cè)集的測(cè)度，最后將有界集的測(cè)度推廣到無(wú)界集的測(cè)度，將一維空間點(diǎn)集的測(cè)度推廣到多維空間點(diǎn)集的測(cè)度，它們的本質(zhì)是相同的，只是在細(xì)節(jié)上有所差異，無(wú)界集和多維情形顯得復(fù)雜而已.

五、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建議

1.作為一名學(xué)生，是永遠(yuǎn)離不開(kāi)課堂和課本的.新知識(shí)的接受、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，也主要在課堂上進(jìn)行，所以一定要注意在課堂上的學(xué)習(xí)效率.而教材和課本永遠(yuǎn)是最好的參考書(shū).對(duì)課堂上未完全消化的知識(shí)要及時(shí)復(fù)習(xí)，不留疑點(diǎn)，打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題以幫助我們開(kāi)闊思路，提高自己分析、解決問(wèn)題的能力，掌握一般解題規(guī)律和基本技能.

2.學(xué)會(huì)總結(jié)和積累，在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中都要進(jìn)行整理和歸納總結(jié).對(duì)于課本上的內(nèi)容體系，我們要把知識(shí)的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來(lái)，交織成網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系中.同時(shí)，還要積累一些做題和處理特殊問(wèn)題的方法.例如，對(duì)于數(shù)學(xué)物理方程中具有球?qū)ΨQ(chēng)的三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題可以通過(guò)變量變換的方法將其轉(zhuǎn)化為一維波動(dòng)問(wèn)題，而對(duì)于未知函數(shù)不是球?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)的一般情形，我們就不能轉(zhuǎn)化了，但是我們可以借助球?qū)ΨQ(chēng)的特例的啟示，將每一點(diǎn)看作以該點(diǎn)為球心，半徑無(wú)限小球的極限，通過(guò)這樣的球面平均值處理，我們也可以將這種一般情形三維波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題. 對(duì)于課本上的內(nèi)容，要做到隨用隨調(diào)，對(duì)于一些特殊的處理方法，要做到活學(xué)活用，以為前者是科研的基礎(chǔ)，后者是方法.

3.眾所周知，學(xué)計(jì)算機(jī)需要有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而現(xiàn)在作為數(shù)學(xué)系學(xué)生，更應(yīng)該懂得計(jì)算機(jī)，特別是一些常用的數(shù)學(xué)軟件.工欲善其事，必先利其器，這里強(qiáng)烈推薦四款數(shù)學(xué)軟件：Matlab、Maple、Mathematica，還有優(yōu)化軟件Lingo.其中Matlab以數(shù)值計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)，Mathematica，Maple以符號(hào)計(jì)算和公式推導(dǎo)為主，Lingo軟件可以解決大規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題.需要注意這些軟件是建立在扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的，只有當(dāng)我們把基礎(chǔ)打牢，才能夠更好地借助這些軟件工具幫助我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.