甘曉云

摘要：近幾年的中考數(shù)學(xué)所考查的內(nèi)容越來越注重基礎(chǔ)、立足教材，也越來越靈活。取之教材又高于教材，這就要求初中生在平時學(xué)習(xí)的過程中要學(xué)會拓展研究。本文以一道具體的課本問題為例對常見的正方形問題進行了拓展探究。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；正方形；拓展探究

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0117

縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，其特點是起點低，入手容易，注重基礎(chǔ)，知識覆蓋面廣，這說明中考強調(diào)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗考查，尤其是部分中考試題直接從課本中取材，或適當(dāng)對課本中的探究、例題、練習(xí)題等通過類比、加工，改造，加強條件或減弱條件，延伸或擴展，并不斷設(shè)置新的問題情境。下面，筆者以一道具體的課本習(xí)題為例來談一談教學(xué)資源的整合及對其教育價值的挖掘。

原題 本題源于人教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊P121 10

如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？

利用正方形的性質(zhì)證明一對全等的直角三角形。

一、探究例題，用變題開拓思維

教材提供的僅僅是一種方向，一條線索，教師在面對教材時，完全可以根據(jù)實際需要對其進行增清、刪減、調(diào)整、變換、延伸等“藝術(shù)”加工，賦予它新的生命，從而達到真正意義的利用教材。

探究1：ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，現(xiàn)從門E，F(xiàn)引路，

（1）如圖1，所引的兩條路兩條路AF，BE，要BE⊥AF，垂足為O，這兩條路等長嗎？理由是什么？

同樣利用正方形的性質(zhì)和垂直的條件證明一對全等的直角三角形。

（2）如圖2，現(xiàn)從E門引出的路為EH，此時F門所引的路FG⊥EH，垂足為O，請畫出FG，并猜想路EH與FG的長度關(guān)系，說出你的理由。

兩種輔助線，一是過E、F分別作垂線，其實可以看成把正方形的邊往內(nèi)部平移來構(gòu)造全等的直角三角形。二是過A、B分別作GF、EH的平行線，構(gòu)造出與圖1一致的圖形，在利用原來的證明方法證明。從中體現(xiàn)了化歸的思想方法。

小結(jié)：在正方形中，兩組對邊所截得的互相垂直的線段相等。

探究2：如圖3，在正方形ABCD中，點F在邊CD上，F(xiàn)O⊥HO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，請猜想OH和OF的關(guān)系。

同樣通過構(gòu)造了一對全等的直角三角形來解決問題。

二、拓展例題，融會貫通

拓展1

已知矩形ABCD，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AD，DC，AB，BC上，EH⊥GF，垂足為O，EH=4。

（1）如圖4，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GF的長。

（2）如圖5，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GF的長（用n的代數(shù)式表示）。

拓展2

已知點F在矩形ABCD的邊CD上，BO⊥FO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，AB=4。

（1）如圖5，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求■的值。

通過構(gòu)造一對相似三角形來解決問題，與前面的解題思路相似。

（2） 如圖6 ，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求■的值。

小結(jié)：通過對教材習(xí)題的多次拓展探究，從特殊到一般，從部分到整體，從中我們發(fā)現(xiàn)根本問題的解決來源于教材習(xí)題，所以在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)立足教材，重視教材中典型的例題和習(xí)題，加強變式練習(xí)，從而提高自身能力。

三、反思例題，用變題激發(fā)潛能

在整個拓展探究中，還有很多值得商榷的地方，比如在探究1中，若點繼續(xù)在邊上移動著，能否移到邊所在的直線外呢？當(dāng)這些點分別在它們所在的直線上運動，保持GF與EH垂直，GF與EH相等嗎？（如圖）這里是通過適當(dāng)刪減條件，可把題目從特殊（上接第117頁）轉(zhuǎn)化為一般。

垂足落在正方形的邊上，又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG。這時，EG=CF嗎？

又如垂足在對角線上移動時，若垂足O剛好是正方形的中心，又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

這里通過探究增加條件的變題，獲取更多有用的結(jié)論。

最后，如果探究變換圖形的變題如圖，若將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”， “AF⊥BE”改為“∠COF=60°”，其他條件不變，則原題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出下面證明：如果不成立，請給出反例。

進一步如果將題中的條件“正三角形”改為“正五邊形”，在AB上取一點G，連結(jié)EG，過點A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此時EG與AF相等嗎？是否還有其他的延伸呢？

圖形雖然在變，但萬變不離其宗，解題的方法沒變，正方形是特殊的正多邊形，從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進行相似探索、思考、研究相應(yīng)的結(jié)論。

新課標(biāo)強調(diào)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、探究，在思考的過程中感受和體驗數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)問題的探究往往是無窮盡的。通過變題，既能使學(xué)生高瞻遠曙，又能有效地學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效率。若教師在課前充分挖掘教材資源，在課堂中利用變題引導(dǎo)學(xué)生探索，則能激發(fā)他們的興趣，甚至讓學(xué)生學(xué)會變題。這樣，不僅能鞏固知識，挖掘不同知識點間的聯(lián)系，而且能開拓學(xué)生的思維和視野，有事半功倍之效。

總之，在例習(xí)題教學(xué)中，教學(xué)資源無處不在、無時不在、取之不盡、用之不竭。教師要不斷地探索、實踐、反思，探究教學(xué)資源，妙用課堂資源。要貫徹新課程的教學(xué)理念，發(fā)揮例習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價值，實施例習(xí)題教學(xué)的有效性，深入探究例習(xí)題蘊涵的寶藏，彰顯數(shù)學(xué)獨特的魅力。

（作者單位：廣西南寧市新民中學(xué) 530000）