■楊 平 羅曉航

同課異構(gòu)，各顯風(fēng)采
——2013全國中學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂交流展示活動聽課隨筆

■楊 平 羅曉航

編者按：2013年12月21日，全國中學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂交流展示活動暨首屆中學(xué)數(shù)學(xué)教師高效課堂主題說課大賽在北京召開。此次大賽為全國中學(xué)數(shù)學(xué)教師搭建了一個相互交流和展示的平臺，參賽者的教學(xué)實踐及在研究領(lǐng)域中所取得的寶貴經(jīng)驗和豐碩成果得以推廣。本刊特開辟“中數(shù)專題”欄目，以展示本次會議中與會教師的部分教學(xué)科研成果，為廣大教師提供再學(xué)習(xí)、再分享的橋梁。

同課異構(gòu)，形式不新，但每次聽課都是耳目一新，眼前一亮。在全國中學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂交流展示活動暨首屆中學(xué)數(shù)學(xué)教師高效課堂主題說課大賽中，參加同課異構(gòu)展示的3名教師分別是來自北京市大興三中的師春紅老師、山東諸城的徐首軍老師和山東聊城的洪蘭雨老師。他們這次講的題目是九年級《切線的判定》，內(nèi)容不難，但這3位老師著實下了一番功夫，無論是挖掘教材，還是教學(xué)環(huán)節(jié)的掌控，還有調(diào)動學(xué)生的參與，都讓聽課者收獲頗多。

師春紅：一題多變，多題歸一

在定理應(yīng)用環(huán)節(jié)，為加深學(xué)生對定理的理解，老師給出了例1。

求證：直線AB是⊙0的切線。

學(xué)生面對此題很從容，一名學(xué)生在回答時甚至說出了“從結(jié)論入手，即若證直線AB是⊙O的切線，根據(jù)定理，只需證明OA⊥AB即可”的精彩想法。題目不難，學(xué)生體會了定理的初步應(yīng)用，同時，對演繹推理又有了進一步的理解。老師又和學(xué)生一道總結(jié)出“已知半徑，證出垂直，可得切線”的策略。好一個“已知半徑”，那“不知半徑”又該怎么辦？這時老師又給出例2。

例2.已知：如圖，AB是⊙0的直徑，C是AB延長線上一點，D是⊙0上一點，若∠A=20°，∠C=50°，求證：直線CD是⊙0的切線。

“不知半徑”，怎么辦呢？聰明的學(xué)生又說出令人振奮的想法：“證明切線，還是要從定理入手，那就必須知道半徑且證明此半徑與直線CD垂直?！倍嗝春玫南敕?，是劃歸思想的具體體現(xiàn)，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把無半徑轉(zhuǎn)化為有半徑，精彩！連接OD后，學(xué)生很快利用圓的性質(zhì)和角的條件，得到了∠ODC=90°.這時一名女生提出了自己的想法。

生：過點B做BF∥0D，交直線CD于點F，只需證明BF⊥CD就可以了。

師：怎么證明？

生：連接BD，……∠0DB=70°……

（經(jīng)過充分討論）

師：想法不錯，但有些麻煩。

很遺憾，這名同學(xué)的想法被否掉了。其實，這是個很好的閃光點，是一種問題轉(zhuǎn)化的意識。如證明切線，我們把它轉(zhuǎn)化為證明垂直問題，或是求角問題，該同學(xué)把證明OD⊥CD的問題轉(zhuǎn)化為BF⊥CD的問題，這種意識很重要。如證明哥德巴赫猜想時，數(shù)學(xué)家們在證明“1+1”問題達不到的情況下，就是轉(zhuǎn)化為證明“1+2”問題的。因此，這名同學(xué)的思維過程應(yīng)該給予肯定，事實上，該同學(xué)只是走一點彎路而已，不連接BD，而是證明∠DOC=∠FBC=40°，又因為∠C=50°，可得∠BFC=90°，進而，又因為BF∥OD，所以∠ODC=90°。

盡管如此，一題多解，也讓學(xué)生們思維達到碰撞。原以為此題結(jié)束了，但老師又拋出一問：“若∠A=25°，∠C為多少度時，可得直線CD是⊙O的切線？”接著又問：“當∠A、∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，直線CD是⊙O的切線？”這一問引起學(xué)生熱議、爭論，最后一致得出2∠A+∠C=90°。這個問題很有水平，引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般，而幾何中，除了研究常規(guī)的大小和位置關(guān)系之外，就是要研究運動中的不變量，而此題中當點C在過點D的切線上運動時，都會有不變量2∠A+∠C=90°，但同時我們也發(fā)現(xiàn)，這個問題中還有一個不變元素，即“AB是⊙O的直徑”。

又出現(xiàn)了新狀況。一學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)∠BAD=∠BDC。（恰好是弦切角定理）”老師：“我們用幾何畫板演示一下，看看能發(fā)現(xiàn)什么?！睂W(xué)生又看到在CD為切線的前提下，隨點C運動時，這兩個角依然相等。這時，老師又拋出一個新的問題。

例3.已知：如圖，AB是⊙0的直徑，C是AB延長線上一點，D是⊙0上一點，當∠BAD=∠BDC時，直線CD是⊙0的切線嗎？

問題很快解決了，但這時老師又提出新的問題：“上述問題都涉及到‘AB是⊙O的直徑’，那么，如果AB不是⊙O的直徑，又會怎樣呢？”條件一點一點減弱。

例4.已知：如圖，A、B、D是⊙0上的點，C是AB延長線上一點，當∠BAD=∠BDC時，直線CD是⊙0的切線嗎？

由直徑到非直徑，由特殊到一般，相當精彩，但一名女生的解答更精彩。她說：“連接BO交圓于點L，連接DL，DB再連接OD，則出現(xiàn)與上一題一樣的圖形，即直徑的模型，而同弧BD所對的圓周角∠BAD=∠L=∠BDC，因此，仿照前面的證法，可以證明直線CD是⊙O的切線?！被卮鸬锰柿?，把非直徑的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的直徑問題，是化歸思想的體現(xiàn)。等大家安靜下來后，這時老師又有新問題了：“這么多圖形，有沒有相同之處呢？”問得很好。是的，題做了很多，該提煉總結(jié)了，這個環(huán)節(jié)也培養(yǎng)了學(xué)生的歸納、抽象、概括能力。最后，大家一起把視線定在一個圖形上，不難發(fā)現(xiàn)是圓的切線判定定理的圖形。

從定理出發(fā)，一題多解，一題多變，而又眾圖歸一，由簡單到復(fù)雜，又由復(fù)雜回歸簡單，這節(jié)課很精彩。

變式教學(xué)以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，精心設(shè)計問題，引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)，展現(xiàn)形成過程，以注意知識建構(gòu)、摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、提高應(yīng)變能力、優(yōu)化思想品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，遵循目標導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過程、主體參與、探索創(chuàng)新等教學(xué)原則深入挖掘教材中蘊涵的變式創(chuàng)新因素，努力培養(yǎng)學(xué)生的求異思維、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。一般來說，學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的大小和他的發(fā)散思維能力成正比。因此，加強發(fā)散思維能力的訓(xùn)練，對培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有深刻的意義。

徐首軍：學(xué)案導(dǎo)學(xué)，順其自然

徐老師的課采用的是以導(dǎo)學(xué)案為載體的教學(xué)模式，相對于師春紅老師的課來講，顯得輕松一些，沒有了思維上的大起大落。學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)應(yīng)該是主動思維和積極探究的過程，那么，就必須把知識問題化、能力過程化、情感態(tài)度潛移化，而導(dǎo)學(xué)案恰恰能構(gòu)建教師和學(xué)生間的平臺，以學(xué)案為載體，創(chuàng)建積極的、有序的、和諧的課堂教學(xué)環(huán)境。尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)，更能體現(xiàn)學(xué)案導(dǎo)學(xué)模式的優(yōu)越性，發(fā)揮最大的積極作用。

定理引出情景 按照導(dǎo)學(xué)案的要求，學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識和已知條件畫出圓的切線。此問題設(shè)計的很好，本節(jié)內(nèi)容都是研究圓的切線，那么，切線到底怎么畫？把學(xué)生的關(guān)注點吸引到過半徑的外端點畫半徑的垂線，為后續(xù)的判定公理的出場做好鋪墊。

定理證明與理解 切線的判定定理給出以后，導(dǎo)學(xué)案安排了一組概念辨析題，如過半徑的外端的直線是圓的切線；過直徑一端且垂直與這條直徑的直線是圓的切線；⊙O的半徑為2，直線過圓上一點P，且OP=2，則此直線是圓的切線等。這些問題都是全稱命題，學(xué)生在爭論中，或利用判定定理證明其正確性，或找到反例說明其錯誤，這些辨析問題可以讓學(xué)生了解若說明全稱命題假，只要說明特稱命題真即可，也就是舉反例。

定理應(yīng)用 這個環(huán)節(jié)基本是學(xué)生完成，教師引導(dǎo)大家向講題者提問，如“為什么要連接OC，你是怎么想到的”等。這個環(huán)節(jié)老師給的時間很充分，讓學(xué)生充分發(fā)言。相對于解決問題而言，提出問題更難也更有價值，問題提的恰到好處，則能使學(xué)生關(guān)注知識的本質(zhì)，對知識的本質(zhì)理解了，也就能對知識運用自如了。因此，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、提問、說出自己的困惑、說出自己的想法（哪怕是幼稚的想法），然后大家解釋、爭論，最終掌握知識。學(xué)會提問、敢于質(zhì)疑，是提高學(xué)習(xí)能力的重要環(huán)節(jié)。

本節(jié)課，教師對于學(xué)生的表現(xiàn)絲毫不吝惜贊美之詞，學(xué)生的自信心和積極性也得到了充分的鼓勵和釋放。

洪蘭雨：循環(huán)課堂，學(xué)生為師

目前的課堂教學(xué)模式形式較多，山東省一直以來都在嘗試新的教學(xué)模式，如“循環(huán)大課堂模式”“自學(xué)·釋疑·達標模式”“271模式”等，其本質(zhì)都是以學(xué)生為主體，突出學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，正所謂“兵教兵、兵強兵、兵練兵”，在研討、爭論中，碰撞思維火花，實現(xiàn)共贏。洪老師這節(jié)課為“循環(huán)大課堂模式”，是典型的先學(xué)后教。

第一環(huán)節(jié)，小組合作完成7個前置作業(yè)：①過⊙O上一點，如何畫出⊙O的切線？②為什么經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線？判定定理的題設(shè)和結(jié)論是什么？利用其證明切線，需要什么條件寫出其符號語言。③總結(jié)判斷切線三種方法。④判定方法2和判定定理分別在什么情況下使用？（題例）⑤切線的性質(zhì)定理題設(shè)和結(jié)論分別是什么？寫出符號語言。⑥你會證明切線的性質(zhì)定理？⑦已知直線與圓相切，常作什么輔助線？（題例）在這一環(huán)節(jié)，老師在幾個組之間，不時地參與討論，但聽到更多的是學(xué)生的爭論之聲。

第二環(huán)節(jié)是小組展示環(huán)節(jié)，每個小組的組長到前面講解本小組的討論結(jié)果，老師等待其他同學(xué)的質(zhì)疑，并不失時機地挑起大家的爭論。小組展示很精彩，但更多的是展示結(jié)果，若能先展示本組的研究過程、研究挫折和如何調(diào)整研究方向改變研究方法等，再把正確的結(jié)果呈現(xiàn)出來會更好，因為其他同學(xué)也會有挫折，但缺乏的就是如何突破困境的方法，這樣做還是那樣做，一聽就能明白，但真正的價值是你怎么想到的呢？本節(jié)課容量很大，兵教兵，老師可以說是“惜字如金”，把更多的話語權(quán)交給學(xué)生，關(guān)鍵的幾句話、幾個問題，一針見血，直接把學(xué)生的關(guān)注點引到知識的本質(zhì)上。這樣的課堂，更需要老師站在更高的角度、系統(tǒng)的高度來面對知識，點評時更關(guān)注學(xué)生的糾結(jié)點。

這樣的課堂對老師要求更高，更需要老師深挖教材，關(guān)注學(xué)情。

課后筆記

以上3位老師的課十分精彩，但也存在不足，如對切線的本質(zhì)挖掘不到位。中學(xué)的課本給出了切線的3種判斷方法，當直線與圓有唯一公共點時，直線是圓的切線；當圓心到直線的距離等于半徑時，直線是圓的切線；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。第一種方法是利用直線與圓的公共點的個數(shù)來定義的，但這種定義給學(xué)生造成一個誤區(qū)：當研究拋物線的切線時，學(xué)生會認為直線與拋物線有一個公共點是就是切線。這顯然不對，因為直線與其對稱軸平行時，也只有一個公共點，但不是切線。第二種方法是圓的切線所獨有的性質(zhì)，別的曲線沒有此性質(zhì)。第三種方法，即判定定理，其實就是從切線的幾何意義來定義的。如圖，當點P有P1位置無限逼近點A時，割線（弦）AP就變成了圓的切線，此時，此極限位置的直線恰好過半徑OA的外端且與半徑垂直。教師可以把切線的定義從這個角度給學(xué)生分析、幾何畫板展示，在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)生對切線的理解就會很自然。

綜上所述，筆者認為，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的觀念，理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，以不變的知識，應(yīng)百變的試題。跳出題海，從理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)入手。

（作者單位：北京市日壇中學(xué)）