趙　琳黃　瑾

（華東師范大學(xué)學(xué)前教育與特殊教育學(xué)院，上海　200062）

一、問題提出

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)語言（the language of mathematics，mathematical language）是由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)圖形和經(jīng)過改進(jìn)的自然語言組成的科學(xué)化專業(yè)語言，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)交流的工具，[1]具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、很強(qiáng)的專業(yè)性，這里我們暫且將其稱為數(shù)學(xué)專業(yè)語言。在學(xué)前數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，由于學(xué)前兒童的思維特點(diǎn)主要是以形象思維為主，因此數(shù)學(xué)語言并非以上所指的數(shù)學(xué)專業(yè)語言，而應(yīng)是具體形象化、低形式化、低準(zhǔn)確性、低邏輯結(jié)構(gòu)，更接近于自然語言的語言形式，包含更多的自然語言，數(shù)學(xué)專業(yè)語言只能是零星地點(diǎn)綴其中。正因如此，在研究學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)時需要對數(shù)學(xué)語言再定義。所謂數(shù)學(xué)語言，就是和數(shù)學(xué)概念有關(guān)，并能促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的語言。[2]在國外兒童認(rèn)知發(fā)展研究及學(xué)前兒童數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，一般使用math talk、[3]number talk、[4]mathematical communication、[5]mathematical discourse（NCTM）、[6]math conversation[7]等詞，以突出數(shù)學(xué)語言在學(xué)前期的特殊性。本研究中的數(shù)學(xué)語言是指內(nèi)容或目的指向數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思維的言語行為，由自然語言和數(shù)學(xué)專業(yè)語言組成。“幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中的教師數(shù)學(xué)語言”是指教師在幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動這一特定教學(xué)情景中所使用的由自然語言和數(shù)學(xué)專業(yè)語言相結(jié)合的數(shù)學(xué)教學(xué)用語。

現(xiàn)代兒童數(shù)學(xué)教育正越來越多地強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)交流”的重要性。全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(NCTM)于2002年發(fā)布的學(xué)前階段數(shù)學(xué)內(nèi)容和過程標(biāo)準(zhǔn)，明確地將兒童早期數(shù)學(xué)教育追求的過程性能力概括為問題解決、推理與證明、數(shù)學(xué)交流、聯(lián)系與表征五個方面。[8]數(shù)學(xué)交流作為標(biāo)準(zhǔn)之一，強(qiáng)調(diào)兒童將自己的數(shù)學(xué)思考與同伴或教師進(jìn)行交流的重要性，同時也明確指出了兒童應(yīng)該學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)數(shù)學(xué)概念，[9][10]教師必須將數(shù)學(xué)與語言聯(lián)系起來。[11]另一方面，“數(shù)學(xué)語言”本身也是幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。我國教育部2012年發(fā)布的《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》中關(guān)于兒童“數(shù)學(xué)認(rèn)知”的目標(biāo)與教育建議，也對幼兒理解與運(yùn)用數(shù)詞、方位詞、性質(zhì)詞等“數(shù)學(xué)語言”提出了具體要求，如“會用數(shù)詞描述事物的排列順序和位置”“嘗試用表示形狀的詞來描述事物”等?？梢哉f，“數(shù)學(xué)語言”是關(guān)乎教師數(shù)學(xué)教學(xué)和幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要議題。[12]國外一些相關(guān)研究進(jìn)一步表明，教師的“數(shù)學(xué)語言”是影響教師教學(xué)引導(dǎo)質(zhì)量和兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的重要因素，[13]而幼兒數(shù)學(xué)語言的習(xí)得與其數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展密切相關(guān)。在我國，相關(guān)方面的研究尚屬空白，雖然在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域已有關(guān)于教師數(shù)學(xué)課堂語言與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效及數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量的相關(guān)研究，但在我國學(xué)前數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，關(guān)于數(shù)學(xué)語言與兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及教學(xué)方面的研究目前尚未發(fā)現(xiàn)。因此，對幼兒園教師數(shù)學(xué)語言的外部特征與內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上探討幼兒園教師如何在數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中運(yùn)用“數(shù)學(xué)語言”來幫助幼兒建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、激發(fā)幼兒數(shù)學(xué)思維和培養(yǎng)幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有重要意義。

二、研究方法

（一）研究思路

本研究運(yùn)用案例研究法，分為兩個階段進(jìn)行：第一階段主要對15個優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動案例進(jìn)行量化統(tǒng)計和質(zhì)性分析。案例（見表1）來自上海市的4所數(shù)學(xué)特色幼兒園，分別由7位教師執(zhí)教（均為幼兒園骨干教師）、教學(xué)對象為跨3個年齡段的幼兒（3—4歲，4—5歲，5—6歲）、活動目標(biāo)涉及四大幼兒數(shù)學(xué)核心概念（集合與模式、數(shù)概念與運(yùn)算、圖形與空間、比較與測量）；[14]活動類型包括操作、游戲、繪本。第一階段研究主要探究幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的外部特征和內(nèi)部結(jié)構(gòu)問題。

表1　案例編碼定義

在此基礎(chǔ)上，第二個階段著重通過對其中兩位專家型教師T1、T3在3個活動案例中運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的策略進(jìn)行量化統(tǒng)計和質(zhì)性分析，以期深入探究優(yōu)秀教師在幫助幼兒建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、激發(fā)幼兒數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣等方面各自采用的具體策略。

（二）資料收集與分析

國際上有兩個著名的大型數(shù)學(xué)課堂錄像研究，分別是TIMSS(Third International Mathematics and Science Study)和LPS(Learner’s Perspective Study)。這兩項研究的主要研究方法都是對大量真實數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行錄像，將視頻制成課堂實錄。所得的相關(guān)數(shù)據(jù)中很大一部分是語料數(shù)據(jù)，通過對師生課堂語料數(shù)據(jù)的編碼分析，進(jìn)行多角度的量化或質(zhì)性研究。[15]本研究一定程度上借鑒了上述方法，先對15個活動錄像所得的視頻語音進(jìn)行文本轉(zhuǎn)化，再根據(jù)不同研究目的對視頻語音文本實錄進(jìn)行相應(yīng)的量化統(tǒng)計和質(zhì)性分析，以期對優(yōu)質(zhì)幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的使用情況作初步的描述統(tǒng)計，同時通過歸納演繹、抽象概括、文本詮釋等方式更深入、全面地挖掘教學(xué)現(xiàn)場和文本中蘊(yùn)藏的信息，以深入探索所要研究的問題。

此外，在教學(xué)現(xiàn)場的隨筆記錄和會議筆記，對本論文的成文過程也起了重要作用，可以說形成了前后兩個時間點(diǎn)的“我”的視域融合，以及“我”和“他人”的相關(guān)視域融合。

三、研究結(jié)果與分析

（一）幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的外部特征

1．教師數(shù)學(xué)語言的使用量情況。

鑒于本研究案例選擇的優(yōu)質(zhì)性原則，所得出的數(shù)據(jù)除了能夠顯示優(yōu)質(zhì)幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的使用量情況外，也可作為一般的常態(tài)幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言在使用量上的示范標(biāo)值（見表2）。

表2　15個案例中教師數(shù)學(xué)語言的整體描述統(tǒng)計

2.教師數(shù)學(xué)語言的認(rèn)識維度與類型。

數(shù)學(xué)概念的生成是從事物的表象到本質(zhì)的認(rèn)識深化過程，抽象化思維過程是數(shù)學(xué)概念生成的不可或缺的思維活動。[16]在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程中，即在數(shù)學(xué)思維中，對同一數(shù)學(xué)概念會有不同抽象水平的認(rèn)識與表征形式，同時也需要通過不同抽象水平的表征形式來支持?jǐn)?shù)學(xué)概念的建構(gòu)，因此不難理解數(shù)學(xué)語言作為數(shù)學(xué)概念外化的語言形式，必然具有不同的抽象化水平。抽象性的另一端是具體性，學(xué)前兒童數(shù)學(xué)教育中通常通過情境化來實現(xiàn)具體性，如圖1所示，如果畫一條表示抽象水平的連續(xù)數(shù)軸，將情景性和抽象性分別置于數(shù)軸兩端，可以看到不同抽象水平的數(shù)學(xué)語言將散布在這一連續(xù)數(shù)軸的不同位置上，即數(shù)軸上的不同點(diǎn)代表不同抽象水平的數(shù)學(xué)語言，從左向右是越來越抽象化，從右向左是越來越具體化。通過使用不同抽象水平的數(shù)學(xué)語言，教師對某一數(shù)學(xué)概念進(jìn)行情境化或具體化時，幼兒數(shù)學(xué)思維會被有效激活，幼兒頭腦中也相應(yīng)進(jìn)行著具體到抽象、抽象到具體的思維活動。一般來說，隨著幼兒年齡的增長，其抽象思維會不斷發(fā)展，[17]因此不同年齡班的教師數(shù)學(xué)語言的“情景性—抽象性”往往會形成鮮明對比。本研究選取了同一數(shù)學(xué)核心概念的不同年齡段的兩組案例，進(jìn)一步從“情景性—抽象性”這一維度來認(rèn)識幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用情況(見表 3)。

圖1　教師數(shù)學(xué)語言的“情境性—抽象性”維度分析

此外，按照句式不同，可將教師數(shù)學(xué)語言分為提問式數(shù)學(xué)語言與陳述式數(shù)學(xué)語言?；诮處熖釂柺綌?shù)學(xué)語言的“開放性—封閉性”維度（按開放程度不同），可將提問式數(shù)學(xué)語言分為全開放的提問式數(shù)學(xué)語言、半開放的提問式數(shù)學(xué)語言、全封閉的提問式數(shù)學(xué)語言；基于教師陳述式數(shù)學(xué)語言的“描述性—概括性”維度（按歸納程度不同），可將陳述式數(shù)學(xué)語言分為描述性數(shù)學(xué)語言和概括性數(shù)學(xué)語言。

（二）幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中教師數(shù)學(xué)語言的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

教師數(shù)學(xué)語言的核心是數(shù)學(xué)語言特征詞（見圖2）。數(shù)學(xué)語言特征詞是數(shù)學(xué)語言所傳遞的數(shù)學(xué)概念的高抽象化表征形式，即數(shù)學(xué)術(shù)語。本研究對15個幼兒園數(shù)學(xué)集體活動中教師語料進(jìn)行了分析整理，根據(jù)詞義所指的數(shù)學(xué)核心概念，將數(shù)學(xué)語言特征詞分為數(shù)量詞、性質(zhì)詞、關(guān)系詞、數(shù)學(xué)技能詞?！皵?shù)學(xué)語言特征詞”的提出，是從數(shù)學(xué)概念的角度界定了數(shù)學(xué)語言的外延。它是區(qū)別教師數(shù)學(xué)語言與一般教學(xué)用語的主要依據(jù)。從教育實踐層面看，教師對數(shù)學(xué)語言特征詞的理解與準(zhǔn)確使用有助于提升其語言素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)能力，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)知識的掌握。

表3　不同年齡段教師數(shù)學(xué)語言的“情境性—抽象性”對比分析（以圖形與空間為例）

圖2　 教師數(shù)學(xué)語言的基本結(jié)構(gòu)

教師數(shù)學(xué)語言的其他成分，可以稱之為附加詞。附加詞是一種自然語言，包括情境化詞、情感化詞和言語心態(tài)詞，教師可依據(jù)具體言語目的增減變換附加詞。具體來說，情境化詞（或情境化后的數(shù)學(xué)語言特征詞）的作用是賦予抽象的數(shù)學(xué)概念以一定的情境，從而使其具體形象化，符合幼兒的認(rèn)知思維水平和興趣。情感化詞的作用是滿足幼兒的情感需求，從而進(jìn)一步激發(fā)幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與動機(jī)（見表4）。言語心態(tài)詞是教師言語心態(tài)對教師數(shù)學(xué)語言實際形態(tài)產(chǎn)生的影響表現(xiàn)，所謂言語心態(tài)是指說話者對說話對象的整體態(tài)度，是說話者內(nèi)心深處各種觀念的反映，如“你們愿意嗎?”擁有適宜言語心態(tài)的教師輸出的數(shù)學(xué)語言往往是低控的，會更有意識地組織幼兒進(jìn)行討論，留給幼兒更多空間思考與表達(dá)。

（三）優(yōu)秀教師在幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的主要策略

教師怎樣說才能讓孩子明白？即教師如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言幫助幼兒建構(gòu)數(shù)學(xué)概念？為此，教師應(yīng)運(yùn)用不同抽象水平、不同歸納程度的數(shù)學(xué)語言幫助幼兒建構(gòu)同一數(shù)學(xué)概念，具體來說包括以下策略：準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言特征詞，運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言對幼兒進(jìn)行言語示范；運(yùn)用全封閉的提問式數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)幼兒輸出有條理的數(shù)學(xué)語言；向幼兒追問數(shù)學(xué)語言的含義，鼓勵幼兒對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行組織、梳理或復(fù)述等。

教師怎樣說才能讓孩子思考？即教師如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言激發(fā)幼兒的數(shù)學(xué)思維？具體來說，包括以下策略：1.巧用提問式數(shù)學(xué)語言拋問，啟動和推動幼兒疑問—猜測—證明的思維過程，如鼓勵幼兒“猜一猜”，引導(dǎo)幼兒學(xué)會猜測；向幼兒呈現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知沖突，激發(fā)幼兒主動解決問題；用具有邏輯順序的一系列提問式數(shù)學(xué)語言提升幼兒的數(shù)學(xué)思維等。2.通過數(shù)學(xué)語言的交流來暴露思維過程，引導(dǎo)幼兒進(jìn)行經(jīng)驗與策略的分享，如運(yùn)用開放的提問式教師數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)幼兒運(yùn)用數(shù)學(xué)語言暴露思維過程；明確要求幼兒運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行經(jīng)驗與策略的分享等。

教師怎樣說才能讓孩子感興趣？即教師如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言培養(yǎng)幼兒的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣？為此，教師應(yīng)跳出教師角色，以一個情境人物或幼兒的口吻來提高教師數(shù)學(xué)語言的情境性，以此了解幼兒想要什么、喜歡什么、是什么樣的，同時教師要善于使用能夠喚起情感的教師數(shù)學(xué)語言，以調(diào)動幼兒的積極性。教師應(yīng)持有適宜的言語心態(tài)，表達(dá)相互尊重、平等開放、支持鼓勵，如采用建議的口吻組織集體討論、引導(dǎo)共同評價等。

表4　滿足不同幼兒情感需求的教師數(shù)學(xué)語言示例

四、促進(jìn)教師數(shù)學(xué)語言發(fā)展的建議

幼兒園教師的數(shù)學(xué)語言不是自然形成的，需要經(jīng)過幼兒園教師的努力學(xué)習(xí)與實踐才有可能具備。結(jié)合對案例教師的訪談，從幼兒園教師數(shù)學(xué)語言的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與外部特征出發(fā)，研究者提出以下發(fā)展建議：

（一）教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)與幼兒相適應(yīng)、與數(shù)學(xué)本身相適應(yīng)、與教學(xué)活動相適應(yīng)，為幼兒提供適當(dāng)、規(guī)范、多元的數(shù)學(xué)語言

第一，教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)與幼兒相適應(yīng)，說對幼兒有意義的數(shù)學(xué)語言。教師的數(shù)學(xué)語言特征詞應(yīng)能準(zhǔn)確、規(guī)范地對應(yīng)不同年齡階段的數(shù)學(xué)核心概念；教師應(yīng)根據(jù)不同幼兒的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，把握好提問式數(shù)學(xué)語言的“開放性—封閉性”、陳述式數(shù)學(xué)語言的“描述性—概括性”及所有數(shù)學(xué)語言的“情境性—抽象性”特征，并樹立適宜的教師言語心態(tài)。

第二，教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)與數(shù)學(xué)本身相適應(yīng)，錘煉教師數(shù)學(xué)語言的科學(xué)性。所謂科學(xué)性，是指教師數(shù)學(xué)語言所表達(dá)的數(shù)學(xué)概念是正確的，重點(diǎn)應(yīng)把握數(shù)學(xué)語言特征詞的科學(xué)性，能夠反映數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性和簡潔性。

第三，教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)與教學(xué)活動相適應(yīng)，提高教師數(shù)學(xué)語言的教育性。所謂教育性，一是有目的，即教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)與數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動目標(biāo)基本一致，或指向特定的數(shù)學(xué)教育目的；二是有啟發(fā)，即教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)能有效地促進(jìn)幼兒自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念和進(jìn)行數(shù)學(xué)思維；三是有示范作用，即教師數(shù)學(xué)語言應(yīng)是文法規(guī)范的、概念準(zhǔn)確的、邏輯正確的，對幼兒輸出數(shù)學(xué)語言產(chǎn)生示范作用。

（二）教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)語言的數(shù)學(xué)交流功能，在向幼兒輸入數(shù)學(xué)語言的同時，有效地促進(jìn)幼兒數(shù)學(xué)語言的輸出

幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動中數(shù)學(xué)交流應(yīng)是雙向的，它可以是教師與全體幼兒之間的交流，也可以是教師與部分或一名幼兒之間的交流，還可以是幼兒之間的交流，即包括師幼互動和幼幼互動。無論發(fā)生在何種主體之間，數(shù)學(xué)交流都應(yīng)是雙向的。對于幼兒來說，在接受數(shù)學(xué)語言輸入的同時，也應(yīng)被鼓勵進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的輸出。教師可以通過不同類型的數(shù)學(xué)語言來引導(dǎo)幼兒“說一說”自己的辦法、觀點(diǎn)和經(jīng)驗等。同時，教師對幼兒的回答應(yīng)能作出適當(dāng)?shù)幕貞?yīng)，從而在活動中形成良好的數(shù)學(xué)交流氛圍。幼兒借助輸出數(shù)學(xué)語言，可以深化其對數(shù)學(xué)概念的理解，可以幫助幼兒理清思路，以及在同伴之間分享彼此的經(jīng)驗。

（三）教師應(yīng)在活動前備注數(shù)學(xué)語言、在活動后反思數(shù)學(xué)語言，在實踐中積極建構(gòu)和提升自己對數(shù)學(xué)語言的認(rèn)識與把握

建議教師在備課時，備注本次活動的關(guān)鍵數(shù)學(xué)語言。所謂關(guān)鍵數(shù)學(xué)語言就是直接指向活動目標(biāo)的數(shù)學(xué)語言，以及每個活動環(huán)節(jié)導(dǎo)入與總結(jié)時的數(shù)學(xué)語言。本研究中發(fā)現(xiàn)作為案例的這15個優(yōu)質(zhì)幼兒園數(shù)學(xué)集體教學(xué)活動的設(shè)計文稿中，教師均對關(guān)鍵數(shù)學(xué)語言進(jìn)行了預(yù)設(shè)，有些還直接寫出了數(shù)學(xué)語言，有些雖未明確注明數(shù)學(xué)語言，但在關(guān)鍵提問與小結(jié)中實際備注了活動中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)語言。這種預(yù)設(shè)方式讓教師有更多時間去打磨、錘煉自己的數(shù)學(xué)語言，能夠有效提高教師數(shù)學(xué)語言的科學(xué)性與教育性。在活動結(jié)束后，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)語言加入活動反思內(nèi)容中去，對自身的數(shù)學(xué)語言作出切實反思，日積月累有利于提高自身數(shù)學(xué)語言的質(zhì)量和對數(shù)學(xué)語言的理解與把握。

參考文獻(xiàn)：

[1]李雅云等.小學(xué)生數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的調(diào)查研究[J].教學(xué)與管理,2011,(10).

[2][14]陳杰琦,黃瑾.思考數(shù)學(xué)核心經(jīng)驗(教師用書)[M].南京:南京師范大學(xué)出版社,2012:10-11,14-18.

[3]Klibanoff,R.S.et al.Preschool Children’s Mathematical Knowledge:The Effect of Teacher“Math Talk”[J].Developmental Psychology,2006,(1).

[4][13]Susan C.Levine et al.What Counts in the Development of Young Children’s Number Knowledge?[J]Developmental Psychology,2010,(5).

[5][7]Cooke,B.D.and Buchholz,D.Mathematical Communication in the Classroom:a teacher makes a difference[J].Early Childhood Education Journal,2005,(6).

[6]National Council of Teachers of Mathematics.Principles and Standards for School Mathematics[R].Reston,VA:Author,2000.

[8]黃瑾.論學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的多元表征[J].全球教育展望,2011,(1).

[9]Baroody,A.J.Does Mathematics Instruction for Three-to five-year-olds Really Make Sense?[J].Young Children,2000,(4).

[10]Ginsburg,H.P.et al.Young children doing mathematics:Observations of everyday activities[J].Mathematics in the early years,1999,(1):88-99.

[11]Rubenstein,R.N.&Thompson,D.R.Understanding and Supporting Children’s Mathematical Vocabulary Development[J].Teaching Children Mathematics,2002,(2).

[12]黃瑾,劉社娟.中美幼兒園教師數(shù)學(xué)領(lǐng)域教學(xué)知識的比較[J].學(xué)前教育研究,2013,(1).

[15]廖爽,曹一鳴.數(shù)學(xué)課堂中師生對話研究——基于LPS項目課堂錄像資料[A].全國高等師范院校數(shù)學(xué)教育研究會2008年學(xué)術(shù)年會論文集,2008.

[16]喻平.論數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)傳播,2002,26(2).

[17]周欣.兒童數(shù)概念的早期發(fā)展[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2004:28.