靳穎

原蘇教版教材中對最小公倍數(shù)的認識是通過分別找出兩個數(shù)的倍數(shù)，比較兩個數(shù)中共同的倍數(shù)生成公倍數(shù)概念。新的蘇教版教材安排了用小長方形去鋪大正方形的活動，在探索如何正好鋪滿大正方形、其中有何規(guī)律的過程中揭示公倍數(shù)的意義。教材前后變化的意圖是什么？我們在教學中應如何充分體現(xiàn)編者的這種意圖？帶著這樣的問題，筆者進行了公倍數(shù)教學的思考與嘗試。

情境 為輔助學生理解概念而生

教材例1安排了用小長方形紙片去鋪大正方形的活動，這種安排顯然是為了讓學生通過鋪紙片活動來建立小長方形的長、寬與大正方形邊長之間的倍數(shù)關(guān)系，從而為探究出兩個數(shù)的公倍數(shù)創(chuàng)造條件。對于學生而言，為什么鋪紙片，鋪紙片要達到什么目的，均不得而知，處理不好，就會出現(xiàn)動手操作與數(shù)學思維的脫節(jié)。

本節(jié)課的開始部分，教材為學生提供了兩幅生活中常見的情境：一是小長方形瓷磚所鋪成的較大的長方形墻磚；二是相同的小郵票所連成的一版較大的長方形。目的是喚醒學生的生活經(jīng)驗，既讓學生感受到數(shù)學與生活的聯(lián)系，能用已有的因數(shù)與倍數(shù)知識解釋生活現(xiàn)象，更是為公倍數(shù)的建立找到堅實的表象基礎(chǔ)，使新知識的學習在原有的知識結(jié)構(gòu)中找到生長點，以利于把公倍數(shù)知識有效地納入原有的知識結(jié)構(gòu)中。在感知生活中圖形拼擺的基礎(chǔ)上，教材出示由長4厘米、寬3厘米的小長方形郵票鋪成了邊長是12厘米的正方形，但不能鋪成邊長是16厘米的正方形；通過“你知道為什么嗎？”把生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，使學生的動手操作有了思考的方向性，便于發(fā)揮學生的主觀能動性。

活動 為學生有效學習概念而設

數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西，而這些抽象了的東西來源于現(xiàn)實世界，是被人抽象出來的，真正的知識是來源于感性經(jīng)驗的，是通過直觀和抽象而得到的[1]。所以，在教學公倍數(shù)這個概念的抽象過程中，通過以下四個豐富而有序的數(shù)學活動，引導學生在歸納、概括的基礎(chǔ)上建立起公倍數(shù)的概念模型。

首先，喚醒生活經(jīng)驗。通過瓷磚與郵票兩例生活中常見的現(xiàn)象，使學生初步感知大小圖形的有序排列及可能蘊含的規(guī)律。

其次，是解釋生活現(xiàn)象。首先是安排具體的操作活動，讓學生在實踐中直觀地感受鋪滿和鋪不滿現(xiàn)象，形成初步的感知，引發(fā)數(shù)學思考，并在操作的基礎(chǔ)上形成初步的表象，實現(xiàn)由動作思維向表象思維的最初轉(zhuǎn)化。其次是引導學生用已有數(shù)學知識解釋這種現(xiàn)象，通過算式與圖形的結(jié)合，從數(shù)學的角度解釋了鋪滿、鋪不滿的原因，并能借助倍數(shù)與因數(shù)的知識進行歸納與說明，有效地培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維意識與能力，實現(xiàn)了生活問題的數(shù)學化。

再次，小長方形鋪大正方形一般規(guī)律的探索。在 “你還能鋪成邊長是多少厘米的正方形”的問題的引導下，學生利用剛才的實踐經(jīng)驗，借助已經(jīng)形成的表象感性地一一找出大正方形的邊長，并在師生的交流中感悟其中的規(guī)律，初步奠定了公倍數(shù)的概念模型。

最后，任意小長方形鋪成大正方形的規(guī)律探索。追問：任意大小的長方形都能鋪成較大的正方形嗎？學生既可以利用已有的表象經(jīng)驗在頭腦中實際“鋪”一次來說明，又可以利用已經(jīng)形成的共同倍數(shù)的知識直接解釋。這一問題旨在引導學生的思維由具體化向一般化轉(zhuǎn)變，把一個具體單一的長4厘米、寬3厘米的小長方形轉(zhuǎn)向了具有普遍意義的一般長方形，實現(xiàn)了由具體向一般的轉(zhuǎn)化，同時也是由具體的長方形鋪正方形向形式化的公倍數(shù)概念理解的轉(zhuǎn)變，是公倍數(shù)概念抽象的重要一步。

思想 為學生長效發(fā)展而為

重視數(shù)學思想的積淀與形成，是現(xiàn)代數(shù)學教學的重要目標之一。本節(jié)課教學重在引導學生經(jīng)歷“數(shù)學化思想”的形成過程。數(shù)學化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學教學的基本原則之一，其含義是數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程，“籠統(tǒng)地說，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運用數(shù)學方法研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織”[2]。

在例1教學公倍數(shù)形成過程中，突出體現(xiàn)了引導學生“用數(shù)學”的意識。首先是讓學生主動用因數(shù)與倍數(shù)知識解釋生活中的現(xiàn)象，通過激活學生生活經(jīng)驗、動手鋪小長方形及對鋪滿與鋪不滿兩種現(xiàn)象的探究，使學生理解了生活與數(shù)學的關(guān)系。其次是用剛剛形成的認識——大正方形的邊長同時是小長方形長和寬的倍數(shù)才能正好鋪滿，來繼續(xù)探索“這樣的長方形紙片還能鋪滿邊長是多少厘米的正方形？”又一次在“用數(shù)學”中建構(gòu)了公倍數(shù)的模型，進而形成公倍數(shù)概念。

例2是找6和9公倍數(shù)的教學，是公倍數(shù)概念的運用，不能錯誤地認為這是相互獨立的兩個部分。即運用例1公倍數(shù)概念的意義來指導找出兩個數(shù)公倍數(shù)的方法，所以例2的教學應當給學生創(chuàng)設探索的空間，在學生獨立完成之后再讓他們說說自己的想法，再次體現(xiàn)出“用數(shù)學”的思想。其思路大致是：分別寫出6和9的倍數(shù)，再比較兩者的相同之處找出公倍數(shù)，這其實就是概念意義的直接運用。也有學生想到從9的倍數(shù)中找出6的倍數(shù)，就是它們的公倍數(shù)，這種比較簡捷的找法是公倍數(shù)概念的間接運用。

為了提高學生應用數(shù)學解決問題的意識和能力，形成數(shù)學化的思想，例2教學中沒有直接出示例題，而是變成了美術(shù)老師畫宣傳畫的實際問題的應用，讓學生在理解題意尋求解決問題辦法的過程中領(lǐng)悟到其實質(zhì)是求6和9兩個數(shù)的公倍數(shù)，并把美術(shù)老師遇到的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。這種處理不僅使學生經(jīng)歷了數(shù)學化的過程，還可以為抽象的公倍數(shù)求法提供直觀的表象解釋。

原蘇教版教材的設計，直接由抽象的倍數(shù)概念過渡到抽象的公倍數(shù)概念，學生缺少對概念形成過程的探索活動及表象的支撐，只是知道了抽象的公倍數(shù)概念，很難靈活有效地解決生活中的實際問題，只注重“知識與技能”單一教學目標的達成，不利于學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，進而形成數(shù)學化思想。新教材的編排，充分體現(xiàn)了數(shù)學課程標準的新理念：“強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力，情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！盵3]而數(shù)學課程標準的修訂稿又提出了“四基”的目標，更加突出了“數(shù)學活動經(jīng)驗”與“數(shù)學思想”的重要價值。本節(jié)課的教學實踐也證明了數(shù)學活動對于學生數(shù)學學習的重要性，既是落實“雙基”的有效依托，又是形成數(shù)學思想的可靠保證。

當我們再次回頭審視蘇教版新教材編寫意圖時，是否認識到了編者為學生長遠發(fā)展所作得努力？“長遠是就目標而言。無論一個人長大以后在不在數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)學習或工作，通過數(shù)學學習習得的解決問題策略、思維方式、思想方法及運用工具的能力都將發(fā)揮重要作用。”[4]如何實現(xiàn)學生的長遠發(fā)展，是我們一線教師需要長期實踐和思考的問題。

參考文獻

[1] 唐彩斌.用歷史的眼光看數(shù)學教育的發(fā)展——訪東北師范大學孔凡哲教授.小學數(shù)學教師，2009（12）.

[2] 鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程.上海：上海教育出版社，2009.

[3] 中華人民共和國教育部.數(shù)學課程標準（實驗稿）.北京：北京師范大學出版社，2001.

[4] 孫曉天.小學數(shù)學要注重長遠與長效.人民教育，2009（23）.

【責任編輯：陳國慶】