周　明

(亳州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，安徽 亳州 236800)

圓柱、圓錐、旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)雙曲線、旋轉(zhuǎn)拋物面都是特殊旋轉(zhuǎn)二次曲面。旋轉(zhuǎn)二次曲面是空間一條曲線(繞著定直線L旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面。[1](P152)通過對(duì)特殊旋轉(zhuǎn)二次曲面性質(zhì)的研究，可以更好建立空間曲面與平面曲線之間的關(guān)系。

1　圓柱面

命題1到定直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓柱面。

證明以定直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，定長(zhǎng)為r，動(dòng)點(diǎn)為p(X,Y,Z),

所以有

即x2+y2=r2。

所以，點(diǎn)的軌跡是圓柱面。

依題意

2　圓錐面

命題2與定直線相交，且成定角的射線所構(gòu)成的曲面是圓錐面。

證明設(shè)以定直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，定角為α，定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0),動(dòng)點(diǎn)為P(x,y,z),

所以

依題義可知

即z2=(x2+y2)cot2α。

所以，射線所構(gòu)成的曲面是圓錐面。

證明設(shè)M(x,y,z)是圓錐面上任一點(diǎn)，

所以

所以

(X2+Y2+Z)[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]cos2α

3　旋轉(zhuǎn)橢球面

命題3到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)橢球面。[4]

依題意

(1)

兩邊同乘

化簡(jiǎn)得

(2)

(1)+(2)得

整理可得

(3)

令

所以，點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)橢球面。

證明設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,y,z),

依題意可知

化簡(jiǎn)得

(a2-c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2-c2),

令

所以，點(diǎn)軌跡是旋轉(zhuǎn)橢球面。

由此可得，到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一定平面的距離的比是常數(shù)e(e<1)的點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)橢球面。

4　旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面

命題5到兩定點(diǎn)距離之差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。[4]

證明以兩定點(diǎn)F1,F2,所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。

依題意

整理可得

令

所以，點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。

證明與命題4相同。

5　旋轉(zhuǎn)拋物面

命題7到定點(diǎn)與到不過此點(diǎn)的定平面的距離相等的點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)拋物面。[5](P127)

證明取經(jīng)過定點(diǎn)F且垂直于定平面π的直線為x軸，x軸與π相交于點(diǎn)k,以線段KF的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。

再設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),

依題意

整理可得

y2+z2=2px。

所以，點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)拋物面。

由旋轉(zhuǎn)拋物面方程，當(dāng)轉(zhuǎn)化為平面上時(shí)，令z=0，則可直接得拋物線方程y2=2px(p>0)。由此可見，旋轉(zhuǎn)拋物面方程是由拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面。

命題8到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一定平面的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，

當(dāng)0

當(dāng)e>1時(shí)是旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面；

當(dāng)e=1時(shí)是旋轉(zhuǎn)拋物面。

此命題與平面曲面橢圓，雙曲線，拋物線的性質(zhì)具有一致性，通過對(duì)特殊旋轉(zhuǎn)二次曲面性質(zhì)的研究，有助于理解二次曲面與二次曲線的關(guān)系，更好地理解二次曲面的形成過程。

參考文獻(xiàn)：

[1] 呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 尤承業(yè).解析幾何[M].北京：北京大學(xué)出版社,2004.

[3] 紀(jì)永強(qiáng).解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4] 尚云.旋轉(zhuǎn)二次曲面與平面二次曲線的統(tǒng)一[J].濟(jì)寧師專學(xué)報(bào)，1998，19(6)：8-9.

[5] 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.幾何[M].北京：人民教育出版社，1997.