(吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 四平 136000)

文獻(xiàn)[1]中給出了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域內(nèi)不可約的一種判別方法—Eisenstein判別法，此判別法僅是判別整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分條件，而非必要條件。借鑒Eisenstein判別法的研究，給出了一種新的判別方法。

1 預(yù)備知識(shí)

定理1[1](Eisenstein判別法)設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。如果有一個(gè)素?cái)?shù)p，使得

1)p?an； 2)p|an-1,an-2,…,a0； 3)p2?a0

那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。如果有一個(gè)素?cái)?shù)p，使得

1)p?a0； 2)p|a1,…,an-1,an； 3)p2?an

那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。

證 假設(shè)f(x)在有理數(shù)域上是可約的，則有f(x)可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。令

f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b1x+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c1x+c0)，

其中l(wèi),m

一方面p|an，則有p|blcm，又因?yàn)閜2?an，從而p只能整除bl，cm中的一個(gè)。不妨設(shè)p|bl，但p?cm.

另一方面p?a0，則p?b0假設(shè)bl,bl-1,…,b1,b0中第一個(gè)不被p整除的為bk，即p|bl，p|bl-1,…,p|bk+1,但p?bk.考察xk+m的系數(shù)

若k+m>l，則ak+m=bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+blck+m-l；

若k+m≤l，則ak+m=bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+bk+mc0

因?yàn)閜|ak+m，且

p|bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+blck+m-1，

p|bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+bk+mc0，

從而p|bkcm，這與p?bk，p?cm矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。

3 舉例

例1 判別整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理系數(shù)域內(nèi)是否可約，其中，

f(x)=13x5+26x4+39x3+52x2-13x+1

解 此整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)顯然不滿足(Eisenstein判別法)，但卻滿足定理2。我們?nèi)∷財(cái)?shù)p=13，可得，但p|13,26,39,52,-13，且p2? 13，由定理2可知整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理系數(shù)域內(nèi)不可約。

判別整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域內(nèi)是否可約的問題，并沒有一種通用的方法適合任意情況，目前的一些文獻(xiàn)也僅給出了一些特殊類整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域內(nèi)是否可約的判別。但隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是抽象代數(shù)學(xué)的完善，相信會(huì)探索出更多新的判別方法。

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：33-34.