王凌波，蔣培文，康馨，馬印平，周勇軍

(1. 長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安，710064；2. 陜西省交通廳 基本建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督站，陜西 西安，710075；3. 密蘇里科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，美國 密蘇里，65401)

移動(dòng)車輛通過橋梁時(shí)會(huì)與橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生耦合振動(dòng)，該問題的研究起源于19 世紀(jì)中后期。Dahlberg等[1-2]對(duì)客運(yùn)專線和高速鐵路橋梁車橋相互作用的理論及其應(yīng)用進(jìn)行了研究，先后建立了各具特色的車橋振動(dòng)分析模型，使車橋耦合振動(dòng)的研究取得了很大進(jìn)展。國內(nèi)對(duì)車橋耦合振動(dòng)的研究同樣起始于鐵路橋梁，李國豪[3]以列車荷載通過懸索橋?yàn)楣こ瘫尘?，進(jìn)行了橋梁的強(qiáng)迫振動(dòng)等方面的研究。夏禾[4]較全面地研究了車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的分析理論、分析方法及其工程應(yīng)用。而對(duì)于公路橋梁，早期學(xué)者往往由于公路交通荷載較小而忽略車橋振動(dòng)問題。隨著我國公路交通建設(shè)的飛速發(fā)展，車輛載重及行駛速度均顯著提高，公路橋梁的車橋耦合振動(dòng)問題已逐漸受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。謝旭等[5]以大跨斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，應(yīng)用考慮拉索側(cè)向振動(dòng)影響的車橋耦合振動(dòng)分析方法研究了鋼索和CFRP 索斜拉橋的交通振動(dòng)響應(yīng)。肖永剛等[6]采用移動(dòng)振動(dòng)模型，考慮橋梁的幾何非線性影響因素，建立了車橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程并分析了非線性因素對(duì)橋梁跨中最大位移的影響。葉茂等[7]將橋梁簡化為兩端簡支的歐拉-伯努梁模型，以橋面不平度功率譜密度函數(shù)作為輸入?yún)?shù)，建立了多個(gè)移動(dòng)車輛系統(tǒng)與橋梁間的耦合力學(xué)分析模型，并研究了多種工況作用下橋梁跨中位移均方根的變化規(guī)律。陳榕峰等[8-9]采用多次迭代的方法對(duì)車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解，效果良好。郭文華等[10-11]對(duì)斜拉橋、連續(xù)橋梁在不同影響因素下的車橋耦合響應(yīng)進(jìn)行了研究。連續(xù)剛構(gòu)體系橋梁跨越能力較大，施工周期較短，設(shè)計(jì)施工技術(shù)較成熟，目前已在我國公路交通建設(shè)中廣泛使用。車橋耦合共振作為車橋耦合振動(dòng)時(shí)一種特殊的小概率現(xiàn)象，人們對(duì)復(fù)雜多變的公路交通荷載是否存在與橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振的可能性以及共振判定方法的研究很少。由于共振效應(yīng)會(huì)使荷載效應(yīng)在一定時(shí)間內(nèi)成倍增長，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)造成損傷甚至破壞，故即使現(xiàn)行規(guī)范中連續(xù)剛構(gòu)橋梁車輛靜力荷載較小、大跨結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)較低，對(duì)其進(jìn)行車橋耦合共振效應(yīng)研究也具有十分重要的意義。為此，本文作者首先提出車橋耦合振動(dòng)的通用建模分析方法，進(jìn)而應(yīng)用該方法對(duì)公路連續(xù)剛構(gòu)橋梁進(jìn)行車橋耦合共振效應(yīng)的研究。

1 車橋耦合振動(dòng)建模分析方法

1.1 基于ANSYS 的分析方法

1.1.1 ANSYS 車橋模型的建立

本文方法將車輛模型與橋梁模型建立于同一個(gè)ANSYS 工作環(huán)境下，但兩者之間無任何直接聯(lián)系，各自獨(dú)立，兩者間耦合作用關(guān)系通過APDL 編程語言實(shí)時(shí)計(jì)算。在此以五自由度三軸車輛為例進(jìn)行研究，模型及車輛參數(shù)如圖1 所示。圖1 中：mc為車體質(zhì)量；Ic為車體質(zhì)心繞z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣矩；mi，kui，kdi及cui，cdi(i=1,2,3)分別為各車輪處的質(zhì)量、剛度及阻尼參數(shù)；b1和b2分別為車體質(zhì)心距后軸、前軸的距離；b3和b4分別為中軸距后軸、前軸的距離；c1為駕駛員位置處距前軸的距離。

圖1 五自由度三軸車輛模型Fig.1 Model for 3 axes 5 degrees freedom vehicle

當(dāng)多輛車以不同行駛參數(shù)作用于橋梁時(shí)，可在ANSYS 環(huán)境下建立多個(gè)相互獨(dú)立的車輛模型，以進(jìn)行多車輛過橋時(shí)的耦合振動(dòng)分析。也可將各種不同工況對(duì)應(yīng)的橋梁及車輛在同一ANSYS 環(huán)境下建模，并結(jié)合APDL 語言通過1 次計(jì)算得到所有計(jì)算結(jié)果。

1.1.2 確定車輛各輪在任意時(shí)刻的坐標(biāo)

采用車輛行駛時(shí)前輪的起始點(diǎn)M與結(jié)束點(diǎn)N來定義車輛的行駛方向(M 點(diǎn)的空間坐標(biāo)為(Mx，My，Mz)，N 點(diǎn)的空間坐標(biāo)為(Nx，Ny，Nz))，結(jié)合車輛的初始速度v0、車輛的加速度a、車輛的行駛時(shí)間t，可確定勻速或勻變速行駛時(shí)的車輛模型各輪坐標(biāo)。以圖1 所示的三軸車為例，各輪位置坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果為

1.1.3 車輪位置與橋梁相關(guān)節(jié)點(diǎn)的豎向荷載與撓度轉(zhuǎn)換

1) 車輪位置最近節(jié)點(diǎn)的等效荷載。梁單元的等效荷載轉(zhuǎn)換示意圖如圖2 所示，梁單元等效荷載可根據(jù)參考文獻(xiàn)[12]進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果為

2) 車輪位置處的豎向位移。梁單元位移轉(zhuǎn)化示意圖如圖3 所示，純彎梁單元的位移場(豎向撓度)推導(dǎo)結(jié)果為[12]

此外，扭矩的荷載及位移轉(zhuǎn)換可根據(jù)線性插值進(jìn)行計(jì)算[12]。

1.1.4 車橋耦合相互作用的數(shù)值計(jì)算方法

以圖1 所示的三軸車輛模型為例，該模型的車輛位移列陣Zv包含的5 個(gè)獨(dú)立自由度分別為車體的豎向位移zc與轉(zhuǎn)角rc以及車輪處的豎向位移z1，z2和z3。車輛模型的振動(dòng)方程為

圖2 梁單元的等效荷載轉(zhuǎn)換示意圖Fig.2 Diagram of equivalent load transformation

圖3 梁單元位移轉(zhuǎn)化示意圖Fig.3 Diagram of displacement transformation

其中：Mv為車輛質(zhì)量矩陣；Kv為車輛剛度矩陣；Cv為車輛阻尼矩陣；Gv為重力荷載向量；Fbv為耦合荷載向量。

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可知，Mv(Cv，Kv)的第i 行第j 列元素的物理意義為：由第j 自由度處的單位加速度(速度、位移)引起的第i 自由度處的力。故當(dāng)車輛行駛于橋面時(shí)，車輛模型底部支撐即車橋接觸點(diǎn)產(chǎn)生豎向位移，但該位移變化與Mv，Kv，Cv和Gv并無關(guān)聯(lián)，由此可見車輛振動(dòng)方程中僅有Fbv隨時(shí)間及車輛位置變化。以圖1 所示的三軸車輛模型為例，易得Fbv為

根據(jù)以上算法，結(jié)合有限元建模理論[13-16]編寫《公路橋梁車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算系統(tǒng)》。該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)的主要功能如圖4 所示，系統(tǒng)主要界面如圖5 所示。

圖4 系統(tǒng)功能示意圖Fig.4 Software function

圖5 系統(tǒng)界面示意圖Fig.5 Software interface

1.2 車輛勻速通過簡支梁時(shí)的車橋耦合振動(dòng)分析

車輛與簡支梁的參數(shù)按照參考文獻(xiàn)[3]取值，依據(jù)本文方法進(jìn)行建模計(jì)算，將結(jié)果進(jìn)行整理并與文獻(xiàn)[3]中半解析法得到的結(jié)果插圖進(jìn)行對(duì)比，如圖6 所示。

1.3 車橋耦合振動(dòng)實(shí)橋測試

以陜西某座實(shí)橋?yàn)楣こ瘫尘斑M(jìn)行車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)測試，該橋上部結(jié)構(gòu)為(75+140+75)m 預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)，最大墩高49.0 m，下部結(jié)構(gòu)為空心墩及樁基礎(chǔ)。以3 輛三軸重車依次以30 km/h 行駛過橋工況為例，得到實(shí)測中跨跨中豎向位移時(shí)程曲線與本文方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖7 所示。

經(jīng)對(duì)比表明，本文基于ANSYS 平臺(tái)的分析結(jié)果與參考文獻(xiàn)及實(shí)測結(jié)果吻合良好，通過自開發(fā)軟件，只需對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模結(jié)合輸入的計(jì)算參數(shù)即可對(duì)多種工況的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解，并具有較高的精度及良好的適用性。

2 連續(xù)剛構(gòu)車橋耦合共振判定方法

共振是指結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)的頻率與結(jié)構(gòu)的某階固有頻率相接近時(shí)，結(jié)構(gòu)振幅顯著增大的現(xiàn)象。共振通常會(huì)引起結(jié)構(gòu)很大的變形和動(dòng)應(yīng)力，甚至造成破壞性事故，工程史上不乏實(shí)例。公路連續(xù)剛構(gòu)橋梁的設(shè)計(jì)及施工技術(shù)已日趨成熟，其最大跨徑超過300 m，最大墩高超過150 m，對(duì)于此類低基頻高墩大跨橋梁結(jié)構(gòu)，現(xiàn)行規(guī)范對(duì)應(yīng)的沖擊系數(shù)極低，而對(duì)于低基頻結(jié)構(gòu)車橋耦合共振的可能性及判定方法研究很少。這里以1座高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋梁為背景，研究公路連續(xù)剛構(gòu)橋梁的車橋耦合共振效應(yīng)及判定條件。

2.1 橋梁與車輛模型

以1 座大跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋梁為研究對(duì)象?？鐝浇M合為(100+160+160+100)m，主梁采用單箱單室截面，跨中處梁高為3.0 m，支點(diǎn)處梁高為9.0 m，橋面寬度為13 m，按雙車道加緊急停車帶設(shè)計(jì)。橋墩采用6.5 m(寬)×6.0 m(高)空心薄壁墩，墩高為100 m，該橋梁有限元模型如圖8 所示。行駛車輛采用三軸車輛模型，車輛參數(shù)見表1。

圖6 位移分析結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中結(jié)果對(duì)比Fig.6 Displacement of comparison between calculated results and results in Ref.[3].

圖7 跨中位移時(shí)程曲線Fig.7 Displacement of displacement time curves at mid-span

圖8 橋梁有限元模型Fig.8 Finite element model of bridge

車軸 構(gòu)量架輪m/對(duì)kg質(zhì)車體旋轉(zhuǎn)剛度Ic/(kg·m2)前軸8001.6221.96×1052.7399.80×1041.6×1043.822×105中軸1 6003.2443.92×1055.4781.96×1051.6×1043.822×105后軸1 6003.2443.92×1055.4781.96×1051.6×1043.822×105一系垂向剛度ku/(MN·m-1)一系垂向阻尼cu/(kg·s-1)二系垂向剛度kd/(MN·m-1)二系垂向阻尼cd/(kg.s-1)車體質(zhì)量mc/kg

2.2 單車輛車橋耦合共振判定方法

對(duì)連續(xù)剛構(gòu)橋梁各截面的影響線進(jìn)行計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，主梁截面的影響線無明顯的周期性，且沿橋面方向衰減較快，見圖9。而橋墩截面的影響線則具有比較明顯的周期性，且沿橋面方向幾乎無衰減，見圖10。

對(duì)于單車輛勻速行駛過橋工況，其對(duì)于某截面的荷載效應(yīng)時(shí)程曲線形狀與相應(yīng)的影響線形狀類似。故對(duì)于主梁截面，車輛勻速過橋并不產(chǎn)生周期性荷載效應(yīng)；而對(duì)于主墩截面，車輛勻速過橋則會(huì)產(chǎn)生周期性荷載效應(yīng)，當(dāng)此周期性荷載效應(yīng)的頻率接近橋墩振動(dòng)基頻時(shí)，即可能發(fā)生共振。

圖9 主梁中跨4 分點(diǎn)彎矩影響線Fig.9 Moment influence line at quarter point of mid-span

圖10 中墩墩底彎矩影響線Fig.10 Moment influence line at bottom section of central pier

在此以該連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)槔瑢⑦叾张c中墩分別沿豎向長度4 等分，等分處截面自墩頂至墩底分別編號(hào)1～5(位移效應(yīng)由于墩底位移恒為0，故無5 號(hào)點(diǎn))。分別將以上各截面位置的位移、彎矩影響線轉(zhuǎn)換為車輛以單位速度過橋時(shí)的荷載效應(yīng)時(shí)程曲線并對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換求得基頻，將結(jié)果進(jìn)行整理后如圖11 所示。

由圖11 可以看出：中墩各位置荷載效應(yīng)基頻分布較整齊，邊墩各位置荷載效應(yīng)基頻分布較零散，但兩者均處于圖示范圍內(nèi)。不難得出，當(dāng)橋梁中跨跨徑為L，車輛行駛速度為v 時(shí)，其對(duì)于主墩各截面的荷載激擾基頻范圍fv為

當(dāng)荷載激擾基頻fv與橋墩基頻fb接近時(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較明顯的共振效應(yīng)。當(dāng)fb已知時(shí)，結(jié)合式(9)，即可得偏保守的單車輛車橋耦合共振判定公式：

其中：fb為橋墩基頻；k 為安全系數(shù)。當(dāng)單車輛行駛速度滿足式(10)所示范圍時(shí)，結(jié)構(gòu)存在車橋耦合共振的可能性；反之，則認(rèn)為無法產(chǎn)生車橋耦合共振效應(yīng)。為便于廣大工程師使用，可將k 近似取為1.3，得到行駛車速的“不安全”范圍為

圖11 橋墩各位置荷載效應(yīng)基頻分布Fig.11 Distribution of basic frequency at each section of piers

根據(jù)式(11)可判定單車輛勻速行駛時(shí)發(fā)生車橋耦合共振的可能性。當(dāng)車橋發(fā)生共振時(shí)，荷載效應(yīng)隨時(shí)間迅速增大。由于單車輛自身荷載效應(yīng)較小，且受橋梁全長與行車速度的限制，共振時(shí)間(即行駛車輛位于橋面的時(shí)間)較短，故單車輛共振效應(yīng)較弱，對(duì)結(jié)構(gòu)安全性影響較小，但結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)與靜態(tài)響應(yīng)有明顯的差異，動(dòng)力放大系數(shù)顯著增大。

2.3 多車輛車橋耦合共振判定方法

對(duì)于多車輛組成的車流荷載，不同車輛與不同車間距組成的“雜亂車流”產(chǎn)生車橋耦合共振概率極小，為此，這里著重討論對(duì)于車橋耦合共振效應(yīng)較不利的相同車型等間距過橋工況。由于車輛為等間距布置，當(dāng)車流布滿于全橋時(shí)，t0時(shí)刻橋面的車輛位置與t0+t時(shí)刻的車輛位置完全一致，如圖12 所示(其中，t 為車輛行駛1 個(gè)車間距所需時(shí)間)。從圖12 可見：等間距車流對(duì)橋梁的荷載效應(yīng)以車輛間隔時(shí)間t 為周期。車流荷載對(duì)橋梁的激擾頻率fv可按下式計(jì)算：

圖12 不同時(shí)刻車輛位置對(duì)比Fig.12 Comparison of vehicle position at different moments

其中：v 為車輛行駛速度；sv為相鄰車輛縱向間隔距離。對(duì)于通常的高墩大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋梁，基頻往往較低，當(dāng)車流荷載激擾頻率fv與橋墩基頻fb接近時(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較明顯的共振效應(yīng)；反之，則不會(huì)產(chǎn)生明顯共振。

2.4 車橋耦合共振判定算例分析

以2.1 節(jié)中的橋梁與車輛模型為例，應(yīng)用本文方法對(duì)不同工況下的車橋耦合振動(dòng)進(jìn)行分析。各工況計(jì)算參數(shù)見表2，橋梁基頻及對(duì)應(yīng)振型見圖13，時(shí)程響應(yīng)分析結(jié)果見圖14～17。

工況編號(hào)本文方法判定結(jié)果1單車輛60—0.040～0.1350.189無共振2單車輛120—0.080～0.2700.189共振310 輛車等間距602.50.4000.189無共振410 輛車等間距1202.50.4000.189無共振510 輛車等間距605.00.2000.189共振610 輛車等間距1205.00.2000.189共振車輛布置形式行車速度/(km·h-1)車輛間隔時(shí)間/s荷載激擾頻率fv/Hz橋梁基頻fb/Hz

圖13 結(jié)構(gòu)一階振型(基頻fb=0.189)Fig.13 First mode shape of structure(basic frequency fb=0.189)

圖14 工況1 和2 時(shí)墩頂順橋向位移對(duì)比Fig.14 Comparison for longitudinal displacement of pier between Conditions 1 and 2

圖15 工況3 和4 時(shí)墩頂順橋向位移對(duì)比Fig.15 Comparison for longitudinal displacement of pier between Conditions 3 and 4

分析結(jié)果表明：

圖16 工況5 和6 時(shí)墩頂順橋向位移對(duì)比Fig.16 Comparison for longitudinal displacement of pier between Conditions 5 and 6

圖17 120 km/h 時(shí)各工況跨中位移對(duì)比Fig.17 Comparison for displacement at mid-span in all conditions at 120 km/h

1) 連續(xù)剛構(gòu)橋梁由于基頻較小，可能與單車輛或等間距車流產(chǎn)生共振現(xiàn)象。采用本文提出的共振效應(yīng)判定方法與算例結(jié)果較吻合。由于連續(xù)剛構(gòu)橋基頻對(duì)應(yīng)振型主要體現(xiàn)在橋墩位移，主梁位移很小，故橋墩響應(yīng)的共振現(xiàn)象十分明顯，而主梁共振現(xiàn)象不明顯。

2) 現(xiàn)行規(guī)范中結(jié)構(gòu)的沖擊系數(shù)隨結(jié)構(gòu)基頻降低而減小，但考慮共振效應(yīng)后的連續(xù)剛構(gòu)橋梁(由其是橋墩動(dòng)態(tài)響應(yīng))并不滿足此規(guī)律。

3) 在單車輛作用下，荷載對(duì)橋梁的激擾頻率主要由行駛速度與橋梁中跨跨徑確定；在等間距車流作用下，激擾頻率則主要由行駛車輛縱向間隔時(shí)間確定。車輛分析模型及橋面平整度對(duì)沖擊系數(shù)有影響但不改變共振狀態(tài)，移動(dòng)車輛的自身振動(dòng)頻率對(duì)共振狀態(tài)影響極小。

3 結(jié)論

1) 提出一種基于ANSYS 單一環(huán)境下的車橋耦合振動(dòng)數(shù)值求解方法。該方法將橋梁與車輛模型獨(dú)立建立在ANSYS 環(huán)境下，并將兩者間耦合作用關(guān)系通過APDL 編程語言計(jì)算并將其在任意時(shí)刻施加于車輛及橋梁結(jié)構(gòu)中，最終得到振動(dòng)響應(yīng)曲線。該方法易于操作，結(jié)果精度較高。通過與既有文獻(xiàn)及實(shí)橋測試的結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，為公路復(fù)雜橋型的車橋耦合振動(dòng)研究提供了一種可行的數(shù)值方法。

2) 分別提出單車輛及多車輛與連續(xù)剛構(gòu)橋梁發(fā)生共振響應(yīng)的判定方法，證明了連續(xù)剛構(gòu)橋梁發(fā)生車橋耦合共振的可能性，并給出了具體的判定公式。對(duì)不同工況下的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)及共振狀態(tài)進(jìn)行了算例分析，與車橋耦合共振響應(yīng)判定結(jié)果較吻合。

3) 應(yīng)重視車橋耦合共振等小概率高危害事件的預(yù)防工作，建議連續(xù)剛構(gòu)橋運(yùn)營時(shí)在橋面各車道縱向不同位置分別設(shè)置減速標(biāo)志，將車流“打亂”，減小共振概率。對(duì)于特殊狀況下的車隊(duì)，過橋時(shí)，盡量分散行駛于各車道，避免單車道等間距行駛從而與橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振。

[1] Dahlberg T. Vehicle-bridge interaction[J]. Vehicle System Dynamics,1984,13(1):187-206.

[2] Diana G, Gheli F. Dynamic interaction of railway systems with large bridges[J]. Vehicle System Dynamics, 1989, 18(1):71-106.

[3] 李國豪. 橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)(修訂版)[M]. 北京: 中國鐵道出版社,2003:51-62.LI Guohao. Stability and vibration of bridge structures[M].Beijing:Railway Publishing House of China,2003:51-62.

[4] 夏禾. 車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2002:39-48.XIA He. Dynamic interaction of vehicles and structures[M].Beijing:Science Press,2002:39-48.

[5] 謝旭, 朱越峰, 申永剛. 大跨度鋼索和CFRP 索斜拉橋車橋耦合振動(dòng)研究[J]. 工程力學(xué),2007,24(增刊I):53-61 XIE Xu, ZHU Yuefeng, SHEN Yonggang. Study on vibration of long-span cable-stayed bridge with steel and CFRP cables due to moving vehicles[J].Engineering Mechanics,2007,24(I):53-61

[6] 肖勇剛, 朱素紅. 車橋耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力分析[J]. 振動(dòng)與沖擊,2007,26(8):104-108.XIAO Yonggang, ZHU Suhong. Dynamic analysis of vehicle-bridge coupled interaction system[J]. Journal of Vibration and Shock,2007,26(8):104-108.

[7] 葉茂, 譚平, 任珉, 等. 多個(gè)車輛荷載作用下橋梁演變隨機(jī)振動(dòng)分析[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2010,23(3):269-274.YE Mao, TAN Ping, REN Min, et al. Evolutionary random vibration analysis of a bridge subjected to moving vehicles[J].Journal of Vibration Engineering,2010,23(3):269-274.

[8] 陳榕峰. 公路橋梁車橋耦合主要影響因素仿真分析方法研究[D]. 西安: 長安大學(xué)公路學(xué)院,2007:28-46.CHEN Rongfeng. Simulation approach to the main factors of vehicle-bridge coupled vibration[D]. Xian: Chang’an University.Highway School,2007:28-46.

[9] 宋一凡. 公路橋梁動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 人民交通出版社,2000:113-132.SONG Yifan. Highway bridge dynamics[M]. Beijing: China Communications Press,2000:113-132.

[10] 郭文華, 陳代海, 李整. 二期恒載對(duì)大跨度斜拉橋車橋耦合振動(dòng)的影響[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 37(8):2423-2429.GUO Wenhua, CHEN Daihai, LI Zheng. Influence of secondary dead load on vehicle-bridge coupling vibration of long-span cable-stayed bridges[J]. Journal of Central South University(Science and Technology),2011,37(8):2423-2429.

[11] 王凌波, 馬印平, 蔣培文, 等. 連續(xù)剛構(gòu)體系車橋耦合振動(dòng)敏感性參數(shù)研究[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,37(8):901-906.WANG Lingbo, MA Yinping, JIANG Peiwen, et al. Sensitive parameter analysis of vehicle-bridge coupled vibration based on continuous rigid system[J]. Journal of Hefei University of Technology,2014,37(8):901-906.

[12] 曾攀. 有限元分析及應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社,2006:221-222.ZENG Pan.Finite element analysis and applications[M]. Beijing:Tsinghua University Press,2006:221-222.

[13] 張雄, 王天舒. 計(jì)算動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社,2007:259-276.ZHANG Xiong, WANG Tianshu. Computational dynamics[M].Beijing:Tsinghua University Press,2007:259-276.

[14] 王新敏.ANSYS 工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[M]. 北京: 人民交通出版社,2007:108-112.WANG Xinmin. ANSYS numerical analysis of engineering structures[M]. Beijing: China Communications Press, 2007:108-112.

[15] 鄧凡平.ANSYS10.0 有限元分析自學(xué)手冊[M]. 北京: 人民郵電出版社,2007:66-75.DENG Fanping. ANSYS10.0 finite element analysis self-study manual[M].Beijing:Post&Telecom Press,2007:66-75.

[16] 曹雪琴. 橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析[M]. 北京: 中國鐵道出版社,1987:139-145.CAO Xueqin. Dynamic analysis of bridge structure[M]. Beijing:Railway Publishing House of China,1987:139-145.