鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院 傅 鈺

一、期權(quán)簡介

期權(quán)作為一種金融工具是在遠期業(yè)務基礎上產(chǎn)生的。它可以被看作是一種附加了特殊條件的遠期業(yè)務。在這種有價的標準化金融合約中規(guī)定了合約的買方有權(quán)力（并非義務）在未來一個確定的時間點按照事先約定的價格（即Basisprice）買入（看漲期權(quán)）或賣出（看跌期權(quán)）一種有價證券或是一種物品（即合約的標的物）。

期權(quán)按照一般的劃分方法有兩種不同的類型：歐式期權(quán)和美式期權(quán)。在歐式期權(quán)中，合約的買方只能在合約規(guī)定的時間點行使其權(quán)利。而在美式期權(quán)中買方可以在約定的時間段內(nèi)的任何時刻行使這種權(quán)利。這兩種不同的類型是期權(quán)的基本形式，人們標之為

標準期權(quán)。隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，從標準期權(quán)中衍生出無數(shù)的其他類型的期權(quán)，比如：柵欄期權(quán)（Barrier-Optionen），百慕達期權(quán)（Bermuda Optionen），亞洲期權(quán)（Asiatische Optionen），回看期權(quán)（Lookback Optionen），選擇期權(quán)（Chooser Optionen）等。這些非標準的期權(quán)被人們統(tǒng)稱為外來期權(quán)（或奇異期權(quán)）。這些期權(quán)實際上是包含了標準期權(quán)的特點，同時附加了特別客戶的特定要求的特殊的金融合約。

選擇期權(quán)（Choose Option）是外來期權(quán)的一種。大約在1990年7月出現(xiàn)在倫敦，它是一種特殊的場外交易品種。選擇期權(quán)也被稱為“pay-now-choose-later-Option”。它是由一個歐式看漲期權(quán)和一個歐式看跌期權(quán)共同組成的（即所謂的“券中券”）。在這種期權(quán)中，合約的買方在簽訂合約后，同時擁有歐式買入和賣出兩種期權(quán)。然后，在合約規(guī)定的時間點，他有權(quán)根據(jù)標的物價格的近期波動做出決定，選擇一種期權(quán)類型（看漲期權(quán)或是看跌期權(quán)）以備日后執(zhí)行。在合約最后的執(zhí)行日期，買方有權(quán)決定他之前選擇的期權(quán)最終要不要行權(quán)。通過購買這種合同，投資者等于對劇烈的價格波動做了兩個方向的保險，比單純購買一份看漲或看跌期權(quán)更靈活，更安全，并且又比“l(fā)ong Straddle”（即同時購買看漲看碟兩份期權(quán)，也即多頭跨式期權(quán)）降低了成本。選擇期權(quán)有兩種類型：“簡單型”和“復雜型”。在“簡單型”選擇期權(quán)包含的的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的標的物的執(zhí)行價格（即Basisprice）、執(zhí)行日期是相同的。在“復雜型”中包含的兩個期權(quán)（看漲期權(quán)和看跌期權(quán)）有著不同的執(zhí)行價格或執(zhí)行時間，或這兩者都不相同。

為了使分析更容易理解，本文首先推演常見的“簡單型”選擇期權(quán)（其標的物為有價證券，比如一支股票）。然后，用同樣的方法，進一步研究“復雜型”的選擇期權(quán)。本文中提到的選擇期權(quán)合約中的時點反映在下面的時間軸上（見圖1）：

圖1

在這個時間軸上，t0是期權(quán)合約簽訂的時點。在時點t1，期權(quán)合約的買方根據(jù)標的物的價格走勢對選擇哪種期權(quán)做出決定。在T時點期權(quán)合約到期，買方?jīng)Q定最終要不要執(zhí)行手中持有的期權(quán)合約。

二、“簡單型”選擇期權(quán)的定價

提到期權(quán)的定價，一定會涉及到Black-Scholes模型。這是一個被廣泛接受和認可的典型的期權(quán)定價模型。它是由費雪布萊克（Fisher Black）和米榮綬勒斯（Myron Scholes）在1973年共同發(fā)表的。這個模型給出的定價理論無論是對金融市場或是金融市場的參與者都產(chǎn)生了很大的影響。該模型建立在一些限定的假設上，比如假設作為期權(quán)合約標的物的價格是呈對數(shù)正態(tài)分布的，金融市場中的利率是非隨機變化的。同時模型中不考慮稅收、交易和其他的費用。模型假設市場在任何時點都是開放的，任何時候任何金額和單位的交易都可以執(zhí)行，并且對當時的交易價格不產(chǎn)生影響。

在建立一個金融市場模型之前，首先需要定義一些概念和符號Sandmann.（2001）：

（Ω，F(xiàn)，P*）是本文研究的樣本空間，其中Ω表示所有隨機事件的集合。{Ft}t∈[t0，T]是由 n維布朗運動（Brownian Motion）產(chǎn)生的Filtration，F(xiàn)t包含了截止到t時點的所有關于價格波動過程的信息。P*表示等價于原始客觀概率Martingal單位的同價衍生的Martingal單位，在概率P*下的所有價格波動過程中都不能進行無風險的套利活動。

{W*（t）}t∈[t0，T]表示了在同價衍生 Martingal單位下的 n維布朗運動的路徑。W*（t）的每一時段的增量 W*（t1）-W*（t0），W*（t2）-W*（t1），…，W*（tn）-W*（tn-1）之間呈隨機不相關的分布。并且對于任意一個時間段 u-t＞0來說，W*（t）的增量 W*（u）-W*（t）呈正態(tài)分布。

即：W*（u）-W*（t）～N（0，（u-t））

{S（t）}t∈[t0，T]是作為標的物的有價證券（股票）的隨機價格波動過程。它與同時點的Filtration{Ft}t∈[t0，T]相對映，并且是下面隨機微分方程的解：

dS（t）=μ·S（t）·dt+σS·S（t）dW*（t）

其中，μ表示價格隨機變化的趨勢（即價格的期望值）；σS表示這個有價證券價格的不穩(wěn)定程度（即價格的波動率）。

在同價衍生Martingal單位P*下，這支股票的瞬時價格為：

其中，μ=r；r是以對數(shù)形式表示的無風險利率（conform interest），即是無風險的年利率。

在Black-Scholes模型中，看漲和看跌期權(quán)的無套利價格（Arbitrageprice）分別是：

Call[S（t），K，t，T]=S（t）·e-di(T-t)·N（d1）-K·e-r(T-t)·N（d2）

Put[S（t），K，t，T]=K·e-r(T-t)·N（-d2）-S（t）·e-di(T-t)·N（-d1）

在利率非隨機變化的假設下，一個標的物為一支股票S（t），到期日為T，執(zhí)行價格（即Basisprice）為K的簡單型選擇期權(quán)在t1時的無套利價格（即Arbitrageprice）為：

其中：Call[S（t1），K，t1，T]是 t1點時看漲期權(quán)的無套利價格；Put[S（t1），K，t1，T]是 t1點時看跌期權(quán)的無套利價格

為了在T時點得到較大的預期收益，期權(quán)合約的購買者會在t1點比較看漲和看跌期權(quán)在這一時點對T點的預期收益，即他們會比較t1點時看漲和看跌期權(quán)的無套利價格，然后選擇那個有較大值的期權(quán)繼續(xù)持有。因此可以對上述簡單型選擇期在t1時的無套利價格進行改寫：

在“簡單型”選擇期權(quán)合約中，看漲和看跌期權(quán)有同樣的標的物，同樣的執(zhí)行價格，同樣的執(zhí)行日期。所以可以用HansR.Stoll的“Put-Call Parity”（即看漲看跌期權(quán)等價關系）來表示它們之間的這種關系。1969年，Hans R.Stoll定義了看漲和看跌期權(quán)無套利價格之間的等價關系：

Put[S（t1），K，t1，T]=Call[S（t），K，t，T]-S（t）·e-di(T-t)+K·e-r(T-t)

現(xiàn)在，這中等價關系是在時點t1，因此有：

Put[S（t1），K，t1，T]=Call[S（t1），K，t1，T]-S（t1）·e-di(T-t1)+K·e-r(T-t1)

所以上述選擇期權(quán)在t1時的無套利價格就可以改寫成：

A（t1）=Call[S（t1），K，t1，T]+max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}

其中：max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}可以看作是一個標的物為 S（t1）·e-di(T-t1)，執(zhí)行價格為 K·e-r(T-t1)，執(zhí)行日期為 t1的新的看跌期權(quán)在 t1時點的無套利價格，即 max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}=Putneu[S（t1）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t1，t1]

則上述選擇期權(quán)在t1時的無套利價格可以進一步寫成：

A（t1）=Cal[S（t1），K，t1，T]+Putneu[S（t1）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t1，t1]

那么在t0時這個簡單選擇期權(quán)的無套利價格為：

A（t0）=Cal[S（t0），K，t0，T]+Putneu[S（t0）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t0，t1]

所以一個簡單型的選擇期權(quán)在t0時的無套利價格（Arbitrageprice）可以看作其包含的看漲期權(quán)和一個新的看跌期權(quán)的無套利價格和。這個新的看跌期權(quán)具有一個和原來看跌期權(quán)不同的股票（在t0時股票價格為S（t0）·e-di(T-t1)），不同的執(zhí)行價格（在t0時執(zhí)行價格為K·e-r(T-t1)）和不同的執(zhí)行期間（t0點簽訂合約，t1點執(zhí)行）。

在Black-Scholes模型中，t0時這個簡單選擇期權(quán)的無套利價格為：

三、“復雜型”選擇期權(quán)的定價

在“復雜型”選擇期權(quán)中，看漲和看跌期權(quán)有著不同的執(zhí)行價格（即Basisprice）或者不同的執(zhí)行時間，或者兩者都不一致。本文研究兩者都不一致的情況。

利率非隨機變化的條件下，一個復雜型選擇期權(quán)的在t0時的無套利價格為：

ACOM（t0）=max{Call[S（t0），KC，t0，TC]，Put[S（t0），KP，t0，TP]；t1}

這里KC和KP分別表示看漲期權(quán)（C）和看跌期權(quán)（P）的執(zhí)行價格，TC和TP分別表示它們的執(zhí)行時間。

Rubinstein在他的題為“Option for the Undecided”（1991）的論文中曾經(jīng)證明，利率非隨機變化的條件下復雜型選擇期權(quán)的無套利價格可以通過二元正態(tài)分布計算出來：

m1/2中的參數(shù)“I”是下面方程的解：

N（a，b，ρ）表示一個二元正態(tài)分布的概率，它表示兩個隨機變量共同的分布情況。其中每一個隨機變量自身都是呈正態(tài)分布的。

對于包含兩個隨機變量X和Y的二元正態(tài)分布（X，Y）～N（μ，∑）：

它們共同的密度函數(shù)為：

本文只研究標準二元正態(tài)分布的情況，即兩個隨機函數(shù)的期待值和方差分別為：E[zX]=0，Var[zX]=1，E[zY]=0，Var[zY]=1。

四、結(jié)論

重要參數(shù)“I”的值可以通過“Newton-Raphson”的方法計算出來。利用Mathematica5.0軟件這個值可以很容易算出。并且對于任

本文研究了期權(quán)場外交易的重要品種——選擇期權(quán)的定價問題，分別就“簡單型”和“復雜型”選擇期權(quán)的定價展開討論。文章推演了“簡單型”選擇期權(quán)的定價，即通過Black-Scholes模型和Hans R.Stoll的“Put-Call Parity”來解決。針對“復雜型”選擇期權(quán)的定價，本文選擇了Rubinstein和“Newton-Raphson”的方法來計算。該模型對于我國銀行和投資者個人都具有一定的適用價值。

［1］ Black,F.und Scholes,M.(1973):The Pricing of Options and Corporate Liabilities,Journal of Political Economy 81,S.637-654.