邵軍虎, 李靜, 趙奇, 柯熙政

(西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048)

自由空間光通信(FSO)近年來已成為空間衛(wèi)星通信、軍用安全通信、高速寬帶無線接入、FSO/RF(Radio Frequency，射頻)混合通信網(wǎng)絡等領域的一項熱門研究技術(shù)[1-2]。由于激光信號在大氣傳播中受到大氣粒子、大氣湍流等因素的影響，引起信號光的吸收和散射效應，極大降低了FSO通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸可靠性[3-4]。

LDPC碼作為當前一類可逼近信道容量限的好碼[5-6]，得到了廣泛的關(guān)注和研究。其中結(jié)構(gòu)化LDPC碼具有循環(huán)(Cyclic)或準循環(huán)(Quasi-Cyclic, QC)的校驗矩陣形式，因此更利于降低編譯碼器的硬件實現(xiàn)復雜度。歐氏幾何LDPC碼作為一類重要的結(jié)構(gòu)化LDPC碼，通常具有較大的行列重量，較快的譯碼收斂速度以及較低的錯誤平層特性[7-8]。

將LDPC碼應用于FSO通信系統(tǒng)，針對大氣湍流信道的特點設計可逼近該類信道容量的LDPC碼方案，仍是當前無線光通信領域的一個熱點研究問題[9]。針對目前FSO系統(tǒng)中普遍采用的隨機構(gòu)造和π-旋轉(zhuǎn)構(gòu)造LDPC碼方案，已有對數(shù)正態(tài)分布弱湍流以及gamma-gamma分布中強湍流時的性能仿真結(jié)果[10-12]。相比于隨機構(gòu)造和π-旋轉(zhuǎn)構(gòu)造LDPC碼，歐氏幾何LDPC碼較大的行列重量使其具有更低的錯誤平層和更快的譯碼收斂速度，從而降低其硬件實現(xiàn)復雜度[13]。

本文針對服從對數(shù)正態(tài)分布的大氣弱湍流信道模型，采用歐氏幾何LDPC碼和PPM調(diào)制方案，給出其在大氣激光通信鏈路下的軟解調(diào)迭代譯碼算法流程，并對不同碼長和碼率的EG-LDPC碼分別采用2PPM，4PPM，16PPM調(diào)制時的軟解調(diào)迭代譯碼性能進行了Monte Carlo仿真。不同湍流強度下的仿真結(jié)果表明，采用2PPM調(diào)制的低碼率歐氏幾何LDPC碼方案，在較低迭代次數(shù)的條件下可有效提高FSO通信鏈路的譯碼糾錯性能。

1 歐氏幾何LDPC碼的校驗矩陣構(gòu)造

歐氏幾何LDPC碼是基于歐氏幾何(Euclidean Geometry，EG)空間中點線面的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，構(gòu)造出的一類具有準循環(huán)結(jié)構(gòu)的LDPC碼，簡稱EG-LDPC碼[14]。將歐氏幾何空間EG(m,2s)中的原點和所有經(jīng)過原點的線移除之后，便得到其子幾何EG*(m,2s)，基于EG*(m,2s)空間的點和線組合得到一個HEG,c校驗矩陣，這里c表示矩陣具有循環(huán)結(jié)構(gòu)。對于基于有限域GF(q)(這里q=2s)的m維歐氏幾何空間EG*(m,q)而言，其共有n0=qm-1個點以及J0=(qm-1-1)(qm-1)/(q-1)條不經(jīng)過原點的線，分別對應HEG,c矩陣中的列和行。

本文選擇基于m=2的二維歐氏幾何空間來構(gòu)造EG-LDPC碼的校驗矩陣HEG,c，首先確定矩陣的第一行，對于EG*(2,q)中任意一條不經(jīng)過原點的線L，定義其入射向量vL=(v0,…,vi,…,vq2-2)為GF(2)上的(q2-1)重向量，其中(q2-1)個分量分別對應EG*(2,q)中除原點外的其余(q2-1)個點，當點αi在線L上時vi=1，否則vi=0。有上述第一行向量，對于所有0≤t<22s-1，線αi+1L的入射向量vαi+1L可由線αiL的入射向量vαiL循環(huán)右移一位得到。將上述基于有限域GF(2s)上歐氏幾何空間線的入射向量及其循環(huán)移位向量依次作為矩陣的行，則可得到一個(22s-1)×(22s-1)的EG-LDPC碼校驗矩陣HEG,c。

由于矩陣HEG,c一般為非行滿秩矩陣，其列數(shù)(22s-1)等于所構(gòu)造EG-LDPC碼的碼長n；矩陣的秩rank(HEG,c)等于所構(gòu)造EG-LDPC碼的校驗位數(shù)目(n-k)，故碼率R=k/n=1-rank(HEG,c)/n。更多關(guān)于歐氏幾何空間相關(guān)概念以及EG-LDPC碼的具體構(gòu)造方法，可參見文獻[7-8,13] 。

2 大氣湍流PPM信道下歐氏幾何LDPC碼的軟迭代譯碼算法

2.1 大氣湍流PPM調(diào)制信道的輸出軟信息計算

大氣激光通信系統(tǒng)中的大氣湍流信道是一類具有時變強度增益和加性高斯白噪聲的離散無記憶信道[15]。假定信道平穩(wěn)遍歷，則其信道模型可描述為:

yk=Ikxk+nkIk>0

(1)

式中，xk為發(fā)端發(fā)送的已調(diào)數(shù)字信號，yk為接收端的接收信號，Ik是接收器接收到的光強，nk是均值近似為0、方差為N0/2的加性高斯白噪聲，且假定nk與Ik相互統(tǒng)計獨立。通常在弱湍流的情況下，接收端的光強Ik服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為[16]:

(2)

式中，σ2為湍流強度的對數(shù)方差，它取決于大氣傳輸時的信道狀態(tài)。

對于采用脈沖位置(PPM)調(diào)制的強度直接檢測(IM/DD)大氣激光通信系統(tǒng)，M-PPM調(diào)制是將K位二進制比特X=(x0,x1,…,xK)∈{0,1}K調(diào)制到一個具有M=2K個時隙的PPM 脈沖上。假設在PPM幀的每個時隙間隔內(nèi)信道狀態(tài)信息為固定值，則在該時隙內(nèi)大氣弱湍流傳輸信道等效為一個輸出光強服從對數(shù)正態(tài)衰落且受到加性高斯白噪聲影響的離散無記憶信道模型。

假設每個時隙中的信息比特取值為0和1的先驗概率相等，第j個PPM幀相應的脈沖位置是d，則可得第j個PPM幀中的第i個時隙(時隙寬度為T)所對應信息比特xl=c的后驗概率p(xl=c;T)[10]：

(3)

對上述公式兩邊同取對數(shù)，可得其對數(shù)似然比表達式為：

(4)

為了研究PPM調(diào)制的時隙數(shù)對EG-LDPC碼軟迭代譯碼性能的影響，下面基于公式(3)，給出M-PPM調(diào)制在M=2、4、16時信道輸出的軟信息計算過程。

1)當M=2時，第j個PPM幀對應的二進制比特序列中只有一個信息比特，即為比特0或者1。比特0經(jīng)過2PPM調(diào)制后的映射序列為(1,0)，其相應的脈沖位置是1。比特1經(jīng)過2PPM調(diào)制后的映射序列(0,1)，其相應的脈沖位置是2，所以公式(3)的形式可寫為:

(5)

2)當M=4時，第j個PPM幀對應的二進制比特序列表示中有兩個信息比特，將該序列記為X=(x1,x2)。如果x1=0，那么有可能的比特序列為X1=(0,0)，X2=(0,1)，如果x1=1，那么有可能的比特序列為X3=(1,0)，X4=(1,1)。所以當x1=0時，第j個PPM幀的后驗概率為：

(6)

當x2=0時，第j個PPM幀的后驗概率為：

(7)

3)當M=16時，第j個PPM幀對應的二進制比特序列表示中有四個信息序列，記為X=(x1,x2,x3,x4)。如果x1=0，那么有可能的比特序列為:X1=(0,0,0,0)，X2=(0,1,0,0)，X3=(0,0,1,0)，X4=(0,0,0,1)，X5=(0,1,1,0)，X6=(0,1,0,1)，X7=(0,0,1,1)，X8=(0,1,1,1)。所以x1=0時，第j個PPM幀的后驗概率為：

(8)

同理，可得出x2,x3,x4分別為0時，第j個PPM幀的后驗概率表達式,且xl取值為1的后驗概率為:

p(xl=1;T)=1-p(xl=0;T)l=1,2,3,4

(9)

將上述公式(5)到公式(9)中關(guān)于M-PPM調(diào)制在時隙數(shù)M分別為2、4、16時對應比特取值為0和1的概率，代入公式(4)可得到信道輸出的軟解調(diào)對數(shù)似然比信息，該信息作為初始信息送給EG-LDPC碼的譯碼器進行后續(xù)迭代譯碼操作。

2.2 歐氏幾何LDPC碼的迭代譯碼算法

對于二進制的EG-LDPC碼來說，傳遞消息的度量采用對數(shù)似然比的形式，使得校驗節(jié)點信息更新中的乘法運算變成加法運算，從而降低譯碼復雜度。這類算法稱為對數(shù)域置信傳播(BP)譯碼算法，其譯碼步驟簡述如下。

1)初始化

計算信道傳遞給變量節(jié)點的初始概率似然比消息L(pi)，i=1,2,…,n，并設定譯碼算法的最大迭代次數(shù)Imax。對每一個變量節(jié)點i，由上節(jié)中關(guān)于公式(4)的計算過程，可得到變量節(jié)點傳向校驗節(jié)點的信道初始消息為:

(10)

2)迭代過程

校驗節(jié)點消息處理：

對所有校驗節(jié)點j和與其相鄰的變量節(jié)點i∈R(j)，第l次迭代時，計算第j個校驗節(jié)點向第i個變量節(jié)點傳遞的消息。

(11)

變量節(jié)點消息處理：

對所有變量節(jié)點i和與其相鄰的校驗節(jié)點j∈M(i)，第l次迭代時，計算第i個變量節(jié)點向第j個校驗節(jié)點傳遞的消息。

(12)

3)譯碼判決

對所有變量節(jié)點計算硬判決消息。

(13)

3 性能仿真與分析

根據(jù)第二節(jié)中關(guān)于EG-LDPC碼的校驗矩陣構(gòu)造過程，分別選擇基于有限域GF(q)在q=24、25、26時m=2的二維歐氏幾何空間，構(gòu)造出碼長分別為255、1 023、4 095，行列重分別為16、32、64的三組EG-LDPC碼，詳細參數(shù)見表1中所示。

對于碼長為255，碼率為0.686，行列重均為16的EG-LDPC碼，采用第三節(jié)中的軟迭代譯碼算法，設置最大迭代次數(shù)Imax為20次時，在AWGN信道以及湍流強度σ2分別取0.01、0.04、0.09、0.16的大氣弱湍流2PPM調(diào)制信道下的誤碼率性能仿真結(jié)果，見圖1中所示。

表1 三組不同碼長碼率的EG-LDPC碼

圖1 不同湍流強度下EG-LDPC[255,175]碼的誤碼率性能

由圖1中的性能曲線可以看出，相比于EG-LDPC[255,175]碼在AWGN信道下的譯碼性能，在大氣湍流信道下隨著湍流強度σ2的增加其譯碼性能逐漸變差。該結(jié)果與實際物理含義相一致，因為湍流噪聲的引入勢必會惡化譯碼器的糾錯性能，且湍流噪聲的強度越大出錯的可能性也越大，從而誤碼率也更高。對比圖1中σ2=0.04的弱湍流信道下未加編碼(uncoded)時的性能曲線可以看出，采用[255,175]的EG-LDPC碼在BER為10-4時，可獲得大約14 dB的編碼增益。

為了驗證不同參數(shù)的EG-LDPC碼在大氣湍流信道下的軟迭代譯碼性能，選擇對表1中碼長為1 023、4 095的兩組EG-LDPC碼，在湍流強度分別為0.04、0.09、0.16的大氣弱湍流2PPM調(diào)制信道下的誤碼率性能進行了仿真，結(jié)果見圖2中所示。這里采用的譯碼算法為第三節(jié)中的軟迭代算法，設置最大迭代次數(shù)Imax為20次。

由圖2中關(guān)于碼率為0.763行列重均為32的[1023,781] EG-LDPC碼，以及碼率為0.822行列重均為64的[4095,3367] EG-LDPC碼，在不同湍流強度下的BER性能曲線可以看出，兩者的BER性能均隨著σ2的增大而逐漸降低。由于前者的碼率為0.763比后者0.822的碼率低，因此同等參數(shù)下具有更好的性能，但信息傳輸效率較低。同時對比兩者在高信噪比下的瀑布區(qū)性能，可以看出后者的錯誤平層更低，這是由于后者具有更高的行列重量使得其碼最小距離也會更大。

圖2 不同參數(shù)EG-LDPC碼在不同大氣湍流強度下的誤碼率性能

由于EG-LDPC碼普遍具有較高的行列重量，使得該類碼在實際應用中僅需較少的迭代次數(shù)達到較好的譯碼性能，從而降低譯碼器的運算處理時延。為了驗證大氣湍流信道下的EG-LDPC碼在不同迭代次數(shù)時譯碼性能，這里選擇對表1中[4 095,3 367] EG-LDPC碼在設置不同最大迭代次數(shù)時的譯碼性能進行Monte Carlo仿真，其結(jié)果見圖3中所示，這里信道的湍流強度σ2=0.04。

由圖3中最大迭代次數(shù)Imax分別為1, 5, 20, 100次時的BER性能曲線可以看出，隨著迭代次數(shù)的降低其譯碼性能逐漸變差；最大迭代次數(shù)為5次時相比最大迭代次數(shù)100次時在BER為10-5時僅損失大約0.8 dB的性能增益，卻能夠帶來更低的譯碼復雜度和譯碼處理時延。

為了比較EG-LDPC碼在不同時隙M-PPM調(diào)制時的性能，對表1中[255,175]EG-LDPC碼在M分別為2、4、16時的軟迭代譯碼性能進行仿真，其結(jié)果見圖4中所示，這里信道的湍流強度σ2取值分別為0.01和0.04。由圖4中的性能曲線可以看出，隨著PPM調(diào)制時隙數(shù)M的增加，其軟解調(diào)迭代譯碼性能有所降低，在BER為10-5時，4PPM相比2PPM大約有1.6 dB的增益損失，16PPM相比4PPM大約有1.7 dB的增益損失。因此，在大氣弱湍流信道下采用2PPM調(diào)制的EG-LDPC編碼調(diào)制方案可以獲得更好的軟迭代譯碼糾錯性能。

圖3 大氣湍流信道下[4095, 3367]EG-LDPC碼在不同最大迭代次數(shù)時的性能

圖4 [255,175]EG-LDPC碼在不同M-PPM調(diào)制下的性能

4 結(jié) 論

本文針對FSO通信鏈路中大氣湍流噪聲對數(shù)據(jù)傳輸可靠性的影響，提出在對數(shù)正態(tài)分布的大氣弱湍流信道下采用高行列重量的EG-LDPC碼和PPM調(diào)制方案，給出了該類方案適用的軟信息計算方法及迭代譯碼算法流程，并對其在不同的湍流強度下的譯碼糾錯性能進行了仿真分析。結(jié)果表明，不同碼長和碼率的EG-LDPC碼在采用文中給出的軟迭代譯碼算法時均可獲得很好的譯碼糾錯性能。另外，對于采用2PPM，4PPM，16PPM調(diào)制的EG-LDPC編碼調(diào)制方案性能的仿真結(jié)果表明，采用低碼率的EG-LDPC碼和2PPM調(diào)制方案，在不同強度的大氣湍流信道下可獲得大約1.6dB的編碼增益提升，且算法僅需很少的最大迭代次數(shù)，從而可有效降低譯碼器的運算復雜度和處理時延。

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