徐斌

【摘 要】《信號(hào)與系統(tǒng)》中的系統(tǒng)時(shí)域分析時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻具有不連續(xù)性的特點(diǎn)。沖激函數(shù)匹配法是0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的有效方法之一。針對(duì)目前教材和教學(xué)參考書中關(guān)于沖激函數(shù)匹配法的介紹不系統(tǒng)，學(xué)生對(duì)該法的學(xué)習(xí)感到困難的問題。本文對(duì)沖激函數(shù)匹配法在求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)研究。

【關(guān)鍵詞】沖擊函數(shù)；教學(xué)；信號(hào)與系統(tǒng)

1.引言

《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中，時(shí)域經(jīng)典方法求解線性時(shí)不變系統(tǒng)響應(yīng)比較繁瑣，很多教材淡化了該部分內(nèi)容。如果不將時(shí)域求解系統(tǒng)響應(yīng)上升到物理層面，對(duì)后面三大變換的學(xué)習(xí)和理解有困難。系統(tǒng)響應(yīng)求解離不開系統(tǒng)初始狀態(tài)（0-狀態(tài)）到初始條件（0+狀態(tài)）的跳變這一問題，而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數(shù)匹配法。該方法是一種數(shù)學(xué)的通用解法，具有廣泛應(yīng)用價(jià)值。但筆者在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，關(guān)于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣，邏輯分析不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致教師對(duì)該法的教和學(xué)生的學(xué)均感到困難。一些教材為了繞過這一教學(xué)障礙，淡化甚至回避這一內(nèi)容，因此如何讓沖激函數(shù)匹配法的教學(xué)淺顯易懂在《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)中具有重要意義。

2.系統(tǒng)響應(yīng)的劃分和初始條件的跳變情況

2.1零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零，起始狀態(tài)單獨(dú)作用時(shí)引起的響應(yīng)分量。既然輸入為零，那么，系統(tǒng)就沒有沖激或者階躍信號(hào)作用。因此，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)rzi（t）及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻都不會(huì)跳變，rzi（0+）=rzi（0-）。

2.2零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零，單獨(dú)由激勵(lì)源作用時(shí)引起的。既然起始狀態(tài)為零，那么rzs（0-）=rzs′（0-）=…=rzs（n）（0-）=0。此時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在零時(shí)刻可能會(huì)發(fā)生跳變。

2.3全響應(yīng)

求全響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零，激勵(lì)源也不為零，因此系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻可能有跳變，但該跳變與求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的跳變不一樣，是在初始狀態(tài)（不為零）的基礎(chǔ)上跳變。

3.沖擊函數(shù)配備法的數(shù)學(xué)描述

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型抽象為

r′（t）+2r（t）=δ（t） （1）

由方程可知，右端δ（t）不是屬于r′（t）就是屬于2r（t）。由于討論的是系統(tǒng)響應(yīng)從0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的跳變，因此將討論區(qū)間定義在鄰域[0-，0+]上。不妨假設(shè)右端δ（t）屬于2r（t）。既然r（t）含有δ（t），那么r′（t）就含有δ′（t）；但是方程右端又沒有δ′（t），為了平衡r′（t）中的δ′（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ′（t），這樣r′（t）中就必須含有δ″（t）。同樣的道理，方程右端又沒有δ″（t），為了平衡r′（t）中的δ″（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ″（t），這樣r′（t）中就必須含有δ？蓯（t）。這樣循環(huán)下去，就成了一個(gè)死循環(huán)。

顯然上述假設(shè)是不成立的，即右端自由項(xiàng)δ（t）應(yīng)該屬于r′（t）。定義函數(shù)△u（t）為函數(shù)u（t）上截取區(qū)間[0-，0+]這一部分。既然r′（t）中含有δ（t），那么r（t）就應(yīng)該含有△u（t），方程右端又沒有△u（t），所以r′（t）中必有與之相消的負(fù)△u（t）；這樣的話，r（t）中應(yīng)該還有△u（t）的積分項(xiàng)△tu（t）；二方程右端又沒有△tu（t），所以也應(yīng)該r′（t）中必定有與之相消的負(fù)△tu（t）；按這樣分析下去的話，好像也陷入了死循環(huán)。但是我們是在區(qū)間[0-，0+]上討論系統(tǒng)響應(yīng)r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況，而函數(shù)t及其各次冪函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，且恒等于零。因此△tu（t）及其后面的各項(xiàng)不會(huì)影響r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況。因此，只需要討論到△u（t）這一項(xiàng)即可，函數(shù)在零時(shí)刻有沒有跳變?nèi)Q于其表達(dá)式是否存在△u（t），跳變的大小等于△u（t）的系數(shù)。

針對(duì)上述方程，不妨設(shè)

r′（t）=aδ（t）+b△u（t） （2）

對(duì)上式積分得

r′（t）=a△u（t） （3）

由于跳變量取決于△u（t）的系數(shù)，因此系統(tǒng)響應(yīng)r（t）就有a個(gè)單位的跳變，r′（t）有b個(gè)單位的跳變。將（2）和（3）式代入（1）式比較系數(shù)得a=1，b=-2，那么r（0+）=r（0-）+1；r′（0+）=r′（0-）-1。

4.實(shí)例分析

假設(shè)某一系統(tǒng)初始狀態(tài)r（0-）=1；r′（0-）=0其微分方程表示如下：

r″（t）+3r（t）+2r（t）=e（t）+2e′（t） （4）

求激勵(lì)e（t）=u（t），時(shí)系統(tǒng)全響應(yīng)及零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量。

先求零輸入響應(yīng)。激勵(lì)e（t）=0，則：

rzi″（t）+3rzi（t）+2rzi（t）=0 （5）

其解為rzi（t）=[Ae-t+Be-2t]u（t），因?yàn)闆]有激勵(lì)作用，其響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻不會(huì)跳變。則有rzi（0+）=rzi（0-）=1；rzi′（0+）=rzi′（0-）=0。將該初始條件代入（5）式可求得

rzi（t）=[2e-t-e-2t]u（t） （6）

再求零狀態(tài)響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)r（0-）=r′（0-）=0將激勵(lì)e（t）=u（t）代入（4）式得

rzs″（t）+3rzs（t）+2rzs（t）=u（t）+2δ（t） （7）

t>0時(shí)，上述方程的通解為：

rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u（t） （8）

設(shè)

rzs″（t）=aδ（t）+b△u（t） rzs′（t）=a△u（t） rzs（t）在零時(shí)刻連續(xù) （9）

將（9）式代入（7）式比較系數(shù)得a=1，因此r′zs（0+）=rzs′（0-）+a=1。rzs（0+）=rzs（0-）+0=0將此條件代入（8）式得，其零狀態(tài)響應(yīng)：

rzs（t）=0.5e-2tu（t） （10）

求全響應(yīng)時(shí)。微分方程的形式（8）式完全相同，因此其通解的形式如（8）式相同，全響應(yīng)初始條件是在r（0-）=1；r′（0-）=0的基礎(chǔ)上跳變，因此，r（0+）=r（0-）+0=1；r′（0+）=r′（0-）+a=1將該條件代入（8）式得

r（t）=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut（t） （11）

5.總結(jié)

經(jīng)典法是分析系統(tǒng)響應(yīng)的基本方法，也是學(xué)習(xí)其他方法的基礎(chǔ)。本文運(yùn)用沖擊函數(shù)匹配法的原理介紹和數(shù)學(xué)分析，解釋了系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻發(fā)生跳變的本質(zhì)和跳變的基礎(chǔ)，解決了求不同響應(yīng)所代初始條件不同的問題。該研究對(duì)于深入認(rèn)識(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的起因及其分類具有重要的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng).北京：高等教育出版社，第2版

（作者單位：湖北工業(yè)大學(xué)）

【摘 要】《信號(hào)與系統(tǒng)》中的系統(tǒng)時(shí)域分析時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻具有不連續(xù)性的特點(diǎn)。沖激函數(shù)匹配法是0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的有效方法之一。針對(duì)目前教材和教學(xué)參考書中關(guān)于沖激函數(shù)匹配法的介紹不系統(tǒng)，學(xué)生對(duì)該法的學(xué)習(xí)感到困難的問題。本文對(duì)沖激函數(shù)匹配法在求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)研究。

【關(guān)鍵詞】沖擊函數(shù)；教學(xué)；信號(hào)與系統(tǒng)

1.引言

《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中，時(shí)域經(jīng)典方法求解線性時(shí)不變系統(tǒng)響應(yīng)比較繁瑣，很多教材淡化了該部分內(nèi)容。如果不將時(shí)域求解系統(tǒng)響應(yīng)上升到物理層面，對(duì)后面三大變換的學(xué)習(xí)和理解有困難。系統(tǒng)響應(yīng)求解離不開系統(tǒng)初始狀態(tài)（0-狀態(tài)）到初始條件（0+狀態(tài)）的跳變這一問題，而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數(shù)匹配法。該方法是一種數(shù)學(xué)的通用解法，具有廣泛應(yīng)用價(jià)值。但筆者在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，關(guān)于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣，邏輯分析不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致教師對(duì)該法的教和學(xué)生的學(xué)均感到困難。一些教材為了繞過這一教學(xué)障礙，淡化甚至回避這一內(nèi)容，因此如何讓沖激函數(shù)匹配法的教學(xué)淺顯易懂在《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)中具有重要意義。

2.系統(tǒng)響應(yīng)的劃分和初始條件的跳變情況

2.1零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零，起始狀態(tài)單獨(dú)作用時(shí)引起的響應(yīng)分量。既然輸入為零，那么，系統(tǒng)就沒有沖激或者階躍信號(hào)作用。因此，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)rzi（t）及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻都不會(huì)跳變，rzi（0+）=rzi（0-）。

2.2零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零，單獨(dú)由激勵(lì)源作用時(shí)引起的。既然起始狀態(tài)為零，那么rzs（0-）=rzs′（0-）=…=rzs（n）（0-）=0。此時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在零時(shí)刻可能會(huì)發(fā)生跳變。

2.3全響應(yīng)

求全響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零，激勵(lì)源也不為零，因此系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻可能有跳變，但該跳變與求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的跳變不一樣，是在初始狀態(tài)（不為零）的基礎(chǔ)上跳變。

3.沖擊函數(shù)配備法的數(shù)學(xué)描述

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型抽象為

r′（t）+2r（t）=δ（t） （1）

由方程可知，右端δ（t）不是屬于r′（t）就是屬于2r（t）。由于討論的是系統(tǒng)響應(yīng)從0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的跳變，因此將討論區(qū)間定義在鄰域[0-，0+]上。不妨假設(shè)右端δ（t）屬于2r（t）。既然r（t）含有δ（t），那么r′（t）就含有δ′（t）；但是方程右端又沒有δ′（t），為了平衡r′（t）中的δ′（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ′（t），這樣r′（t）中就必須含有δ″（t）。同樣的道理，方程右端又沒有δ″（t），為了平衡r′（t）中的δ″（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ″（t），這樣r′（t）中就必須含有δ？蓯（t）。這樣循環(huán)下去，就成了一個(gè)死循環(huán)。

顯然上述假設(shè)是不成立的，即右端自由項(xiàng)δ（t）應(yīng)該屬于r′（t）。定義函數(shù)△u（t）為函數(shù)u（t）上截取區(qū)間[0-，0+]這一部分。既然r′（t）中含有δ（t），那么r（t）就應(yīng)該含有△u（t），方程右端又沒有△u（t），所以r′（t）中必有與之相消的負(fù)△u（t）；這樣的話，r（t）中應(yīng)該還有△u（t）的積分項(xiàng)△tu（t）；二方程右端又沒有△tu（t），所以也應(yīng)該r′（t）中必定有與之相消的負(fù)△tu（t）；按這樣分析下去的話，好像也陷入了死循環(huán)。但是我們是在區(qū)間[0-，0+]上討論系統(tǒng)響應(yīng)r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況，而函數(shù)t及其各次冪函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，且恒等于零。因此△tu（t）及其后面的各項(xiàng)不會(huì)影響r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況。因此，只需要討論到△u（t）這一項(xiàng)即可，函數(shù)在零時(shí)刻有沒有跳變?nèi)Q于其表達(dá)式是否存在△u（t），跳變的大小等于△u（t）的系數(shù)。

針對(duì)上述方程，不妨設(shè)

r′（t）=aδ（t）+b△u（t） （2）

對(duì)上式積分得

r′（t）=a△u（t） （3）

由于跳變量取決于△u（t）的系數(shù)，因此系統(tǒng)響應(yīng)r（t）就有a個(gè)單位的跳變，r′（t）有b個(gè)單位的跳變。將（2）和（3）式代入（1）式比較系數(shù)得a=1，b=-2，那么r（0+）=r（0-）+1；r′（0+）=r′（0-）-1。

4.實(shí)例分析

假設(shè)某一系統(tǒng)初始狀態(tài)r（0-）=1；r′（0-）=0其微分方程表示如下：

r″（t）+3r（t）+2r（t）=e（t）+2e′（t） （4）

求激勵(lì)e（t）=u（t），時(shí)系統(tǒng)全響應(yīng)及零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量。

先求零輸入響應(yīng)。激勵(lì)e（t）=0，則：

rzi″（t）+3rzi（t）+2rzi（t）=0 （5）

其解為rzi（t）=[Ae-t+Be-2t]u（t），因?yàn)闆]有激勵(lì)作用，其響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻不會(huì)跳變。則有rzi（0+）=rzi（0-）=1；rzi′（0+）=rzi′（0-）=0。將該初始條件代入（5）式可求得

rzi（t）=[2e-t-e-2t]u（t） （6）

再求零狀態(tài)響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)r（0-）=r′（0-）=0將激勵(lì)e（t）=u（t）代入（4）式得

rzs″（t）+3rzs（t）+2rzs（t）=u（t）+2δ（t） （7）

t>0時(shí)，上述方程的通解為：

rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u（t） （8）

設(shè)

rzs″（t）=aδ（t）+b△u（t） rzs′（t）=a△u（t） rzs（t）在零時(shí)刻連續(xù) （9）

將（9）式代入（7）式比較系數(shù)得a=1，因此r′zs（0+）=rzs′（0-）+a=1。rzs（0+）=rzs（0-）+0=0將此條件代入（8）式得，其零狀態(tài)響應(yīng)：

rzs（t）=0.5e-2tu（t） （10）

求全響應(yīng)時(shí)。微分方程的形式（8）式完全相同，因此其通解的形式如（8）式相同，全響應(yīng)初始條件是在r（0-）=1；r′（0-）=0的基礎(chǔ)上跳變，因此，r（0+）=r（0-）+0=1；r′（0+）=r′（0-）+a=1將該條件代入（8）式得

r（t）=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut（t） （11）

5.總結(jié)

經(jīng)典法是分析系統(tǒng)響應(yīng)的基本方法，也是學(xué)習(xí)其他方法的基礎(chǔ)。本文運(yùn)用沖擊函數(shù)匹配法的原理介紹和數(shù)學(xué)分析，解釋了系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻發(fā)生跳變的本質(zhì)和跳變的基礎(chǔ)，解決了求不同響應(yīng)所代初始條件不同的問題。該研究對(duì)于深入認(rèn)識(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的起因及其分類具有重要的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng).北京：高等教育出版社，第2版

（作者單位：湖北工業(yè)大學(xué)）

【摘 要】《信號(hào)與系統(tǒng)》中的系統(tǒng)時(shí)域分析時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻具有不連續(xù)性的特點(diǎn)。沖激函數(shù)匹配法是0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的有效方法之一。針對(duì)目前教材和教學(xué)參考書中關(guān)于沖激函數(shù)匹配法的介紹不系統(tǒng)，學(xué)生對(duì)該法的學(xué)習(xí)感到困難的問題。本文對(duì)沖激函數(shù)匹配法在求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)研究。

【關(guān)鍵詞】沖擊函數(shù)；教學(xué)；信號(hào)與系統(tǒng)

1.引言

《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中，時(shí)域經(jīng)典方法求解線性時(shí)不變系統(tǒng)響應(yīng)比較繁瑣，很多教材淡化了該部分內(nèi)容。如果不將時(shí)域求解系統(tǒng)響應(yīng)上升到物理層面，對(duì)后面三大變換的學(xué)習(xí)和理解有困難。系統(tǒng)響應(yīng)求解離不開系統(tǒng)初始狀態(tài)（0-狀態(tài)）到初始條件（0+狀態(tài)）的跳變這一問題，而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數(shù)匹配法。該方法是一種數(shù)學(xué)的通用解法，具有廣泛應(yīng)用價(jià)值。但筆者在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，關(guān)于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣，邏輯分析不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致教師對(duì)該法的教和學(xué)生的學(xué)均感到困難。一些教材為了繞過這一教學(xué)障礙，淡化甚至回避這一內(nèi)容，因此如何讓沖激函數(shù)匹配法的教學(xué)淺顯易懂在《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)中具有重要意義。

2.系統(tǒng)響應(yīng)的劃分和初始條件的跳變情況

2.1零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零，起始狀態(tài)單獨(dú)作用時(shí)引起的響應(yīng)分量。既然輸入為零，那么，系統(tǒng)就沒有沖激或者階躍信號(hào)作用。因此，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)rzi（t）及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻都不會(huì)跳變，rzi（0+）=rzi（0-）。

2.2零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零，單獨(dú)由激勵(lì)源作用時(shí)引起的。既然起始狀態(tài)為零，那么rzs（0-）=rzs′（0-）=…=rzs（n）（0-）=0。此時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在零時(shí)刻可能會(huì)發(fā)生跳變。

2.3全響應(yīng)

求全響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零，激勵(lì)源也不為零，因此系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻可能有跳變，但該跳變與求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的跳變不一樣，是在初始狀態(tài)（不為零）的基礎(chǔ)上跳變。

3.沖擊函數(shù)配備法的數(shù)學(xué)描述

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型抽象為

r′（t）+2r（t）=δ（t） （1）

由方程可知，右端δ（t）不是屬于r′（t）就是屬于2r（t）。由于討論的是系統(tǒng)響應(yīng)從0-狀態(tài)（起始狀態(tài)）求0+狀態(tài)（初始條件）的跳變，因此將討論區(qū)間定義在鄰域[0-，0+]上。不妨假設(shè)右端δ（t）屬于2r（t）。既然r（t）含有δ（t），那么r′（t）就含有δ′（t）；但是方程右端又沒有δ′（t），為了平衡r′（t）中的δ′（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ′（t），這樣r′（t）中就必須含有δ″（t）。同樣的道理，方程右端又沒有δ″（t），為了平衡r′（t）中的δ″（t），r（t）中應(yīng)該含有負(fù)的δ″（t），這樣r′（t）中就必須含有δ？蓯（t）。這樣循環(huán)下去，就成了一個(gè)死循環(huán)。

顯然上述假設(shè)是不成立的，即右端自由項(xiàng)δ（t）應(yīng)該屬于r′（t）。定義函數(shù)△u（t）為函數(shù)u（t）上截取區(qū)間[0-，0+]這一部分。既然r′（t）中含有δ（t），那么r（t）就應(yīng)該含有△u（t），方程右端又沒有△u（t），所以r′（t）中必有與之相消的負(fù)△u（t）；這樣的話，r（t）中應(yīng)該還有△u（t）的積分項(xiàng)△tu（t）；二方程右端又沒有△tu（t），所以也應(yīng)該r′（t）中必定有與之相消的負(fù)△tu（t）；按這樣分析下去的話，好像也陷入了死循環(huán)。但是我們是在區(qū)間[0-，0+]上討論系統(tǒng)響應(yīng)r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況，而函數(shù)t及其各次冪函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，且恒等于零。因此△tu（t）及其后面的各項(xiàng)不會(huì)影響r（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻的跳變情況。因此，只需要討論到△u（t）這一項(xiàng)即可，函數(shù)在零時(shí)刻有沒有跳變?nèi)Q于其表達(dá)式是否存在△u（t），跳變的大小等于△u（t）的系數(shù)。

針對(duì)上述方程，不妨設(shè)

r′（t）=aδ（t）+b△u（t） （2）

對(duì)上式積分得

r′（t）=a△u（t） （3）

由于跳變量取決于△u（t）的系數(shù)，因此系統(tǒng)響應(yīng)r（t）就有a個(gè)單位的跳變，r′（t）有b個(gè)單位的跳變。將（2）和（3）式代入（1）式比較系數(shù)得a=1，b=-2，那么r（0+）=r（0-）+1；r′（0+）=r′（0-）-1。

4.實(shí)例分析

假設(shè)某一系統(tǒng)初始狀態(tài)r（0-）=1；r′（0-）=0其微分方程表示如下：

r″（t）+3r（t）+2r（t）=e（t）+2e′（t） （4）

求激勵(lì)e（t）=u（t），時(shí)系統(tǒng)全響應(yīng)及零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量。

先求零輸入響應(yīng)。激勵(lì)e（t）=0，則：

rzi″（t）+3rzi（t）+2rzi（t）=0 （5）

其解為rzi（t）=[Ae-t+Be-2t]u（t），因?yàn)闆]有激勵(lì)作用，其響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在零時(shí)刻不會(huì)跳變。則有rzi（0+）=rzi（0-）=1；rzi′（0+）=rzi′（0-）=0。將該初始條件代入（5）式可求得

rzi（t）=[2e-t-e-2t]u（t） （6）

再求零狀態(tài)響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)r（0-）=r′（0-）=0將激勵(lì)e（t）=u（t）代入（4）式得

rzs″（t）+3rzs（t）+2rzs（t）=u（t）+2δ（t） （7）

t>0時(shí)，上述方程的通解為：

rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u（t） （8）

設(shè)

rzs″（t）=aδ（t）+b△u（t） rzs′（t）=a△u（t） rzs（t）在零時(shí)刻連續(xù) （9）

將（9）式代入（7）式比較系數(shù)得a=1，因此r′zs（0+）=rzs′（0-）+a=1。rzs（0+）=rzs（0-）+0=0將此條件代入（8）式得，其零狀態(tài)響應(yīng)：

rzs（t）=0.5e-2tu（t） （10）

求全響應(yīng)時(shí)。微分方程的形式（8）式完全相同，因此其通解的形式如（8）式相同，全響應(yīng)初始條件是在r（0-）=1；r′（0-）=0的基礎(chǔ)上跳變，因此，r（0+）=r（0-）+0=1；r′（0+）=r′（0-）+a=1將該條件代入（8）式得

r（t）=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut（t） （11）

5.總結(jié)

經(jīng)典法是分析系統(tǒng)響應(yīng)的基本方法，也是學(xué)習(xí)其他方法的基礎(chǔ)。本文運(yùn)用沖擊函數(shù)匹配法的原理介紹和數(shù)學(xué)分析，解釋了系統(tǒng)響應(yīng)在0時(shí)刻發(fā)生跳變的本質(zhì)和跳變的基礎(chǔ)，解決了求不同響應(yīng)所代初始條件不同的問題。該研究對(duì)于深入認(rèn)識(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的起因及其分類具有重要的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng).北京：高等教育出版社，第2版

（作者單位：湖北工業(yè)大學(xué)）