李生仁 白瓊燕 楊軍 李春望

摘 要 本文通過波動方程和對弦上某一微小段的運動理論分析，推導(dǎo)出弦振動形成駐波時波長、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關(guān)系。同時借助XZDY-B型均勻弦振動儀，獲得大量的實驗數(shù)據(jù)，并在Origin環(huán)境下對數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的擬合處理，做出了數(shù)據(jù)間的關(guān)系圖，使實驗數(shù)據(jù)可視化和信息化，使弦振動形成駐波的規(guī)律更為直觀，更容易理解。

關(guān)鍵詞 弦振動 駐波 Origin 線性擬合

中圖分類號：O4-39 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Analysis of Vibrating String Standing Wave Formed by Origin

LI Shengren， BAI Qiongyan， YANG Jun， LI Chunwang

（Chongqing Xiushan Senior High School， Chongqing 409900）

Abstract In this paper， analyzing the movement of the tiny sport on string section through wave equation in theory， deriving the relationship among the wavelength， the string tension， frequency and the density of strings when standing wave forms. Meanwhile， with evenly string vibration tester XZDY - type B， obtaining a lot of experimental data. And processing the data under the environment of Origin fitting processing system， making the data relationship chart to enable experimental data visualization and informationization， the law that formed standing wave audio-visual and easier to understand.

Key words string vibration； standing wave； origin； linear fitting

0 引言

駐波可以由兩列具有相同頻率、恒定相位差、振動方向一致的行波在同一直線上沿相反方向傳播疊加形成。利用XZDY-B型均勻弦振動儀，固定金屬弦線，使通電的金屬弦線在磁場中受到安培力的作用能夠振動，振動產(chǎn)生的波形從金屬弦線的一端傳到另一端時，由于端點是固定的，波形能夠被反射回來，反射回來的波形和新產(chǎn)生的波形，在滿足一定條件時就能形成最直觀、最簡單的駐波。兩列波疊加后形成駐波，其駐波為 = + ，

即， = 22 （1）

1 弦振動形成駐波規(guī)律的理論分析

由（1）式得，兩列波疊加后，弦上個點繼續(xù)做同頻率的簡諧振動，駐波的振幅為∣22∣，振幅與時間無關(guān)，與質(zhì)點的位置有關(guān)。

由于波節(jié)處振幅為零，即2= （2 + 1）（ = 0，1，2，3，…）可求得波節(jié)的位置： = （2 + 1），則兩個相鄰波節(jié)之間的距離為： = 。

由此在研究弦振動形成駐波的規(guī)律時，只需要測量相鄰波節(jié)之間的距離就可求得駐波的波長。

在XZDY-B型均勻弦振動儀中，劈尖處的弦線不會振動，一定是駐波的波節(jié)。由此，在實驗中要想形成駐波，兩個劈尖之間的距離必須等于半個波長的整數(shù)倍。即， = （ = 0，1，2，3，…），是兩個劈尖之間的距離。

則原波的波長為： = （2）

根據(jù)波長、頻率和波速之間的關(guān)系可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （3）

波在張緊的弦線上沿軸正方向傳播，取，之間微小一段進(jìn)行分析。假設(shè)實驗中所用弦線的線密度（即單位長質(zhì)量）為，則此段弦線的質(zhì)量為。兩端受到左右鄰段的張力分別為、，其方向為沿弦線的切線方向與軸的夾角為、，如圖1。

圖1 ds段弦受力示意圖

由于弦線上傳播的行波在軸方向無振動，所以作用在微小段上的張力在軸方向的分量應(yīng)該為零，即：

= 0 （4）

在方向微分段的運動方程為：

= （5）

對于微小的振動，可取 = ，并且、都很小，所以 = 1， = 1， = ， = 。又從導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 = ， = ，（4）式將成為 = 0，即 = = 表示張力不隨時間和地點而變，為一定值。則（5）式將化簡為：

= （6）

將按泰勒級數(shù)展開并略去二級微量，

得， = + ，將此式代入（6）式，

得， = （7）

將（7）式中與簡諧波的波動方程 = 相比較可知：在線密度為、張力為的弦線上，橫波傳播速度的平方等于： =

即， = （8）

由（3）式和（8）式可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （9）

對于線密度、長度l和張力T一定的弦，其弦振動傳播形成駐波時的頻率不只一個，包括相當(dāng)于 = 1、2、3、……的、、、……等多種頻率。

給（9）式兩側(cè)取對數(shù)，得：

= （10）

因此，要想讓弦振動傳播形成駐波，必須使得波長、張力、頻率 和線密度滿足 （10）式。

2 實驗過程及數(shù)據(jù)的Origin處理

2.1 弦振動形成駐波的實驗數(shù)據(jù)

調(diào)節(jié)好XZDY-B型均勻弦振動儀，分別測量張力一定和頻率一定條件下相關(guān)的物理量。

（1）在同一條弦上，張力 = 49.72N時，調(diào)節(jié)頻率當(dāng)弦線上出現(xiàn)一段駐波和兩段駐波時，測量劈尖之間的距離，根據(jù)（9）式計算得到平均波長，記錄數(shù)據(jù)見表1。

表1 張力一定時波長與頻率 的實驗數(shù)據(jù)測量表

（2）在同一條弦上，當(dāng)頻率 = 100HZ時，調(diào)節(jié)張力當(dāng)弦線上出現(xiàn)一段駐波和兩段駐波時，測量劈尖之間的距離，根據(jù)（9）式計算得到平均波長，記錄數(shù)據(jù)見表2。

表2 頻率一定時波長 與張力的實驗數(shù)據(jù)測量表

（注：西安市的重力加速度值為： = 9.79684m/s2）

2.2 Origin對數(shù)據(jù)的擬合分析

Origin 軟件中對實驗數(shù)據(jù)的擬合分析是一種特殊的曲線擬合，本次使用的擬合函數(shù)是 = 。通過給定的自變量和因變量，可求出和的值。

圖2 與變化關(guān)系圖

（1）打開Origin軟件后，界面上將出現(xiàn)空白的兩列表格、，分別輸入 “表1”中 和的數(shù)據(jù)。分別選中這兩列，點右鍵Set colume values，通過公式將和的值分別變?yōu)?和。我們將作為橫坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，作為縱坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，通過Origin軟件進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖2所示，擬合分析報告如圖3所示。

圖3 Origin軟件線性擬合分析結(jié)果

由圖2和圖3可知，- 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為-1.01737，非常接近-1。

圖4 與變化關(guān)系圖

（2）在Origin環(huán)境下，將“表2”中和的數(shù)據(jù)分別輸入表格、。分別選中這兩列，點右鍵Set colume values，通過公式將和的值分別變?yōu)楹?。我們將作為橫坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，作為縱坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，通過Origin軟件進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4，擬合分析報告如圖5 。

圖5 Origin軟件線性擬合分析結(jié)果

由圖4和圖5可知，- 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為0.50021，非常接近。

2.3 實驗規(guī)律的總結(jié)及推廣

式（12） = 表明，在同一條弦上形成駐波時，和、 之間存在線性關(guān)系。

若固定弦上張力，而改變原波頻率，和 之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為-1；由表1、圖2和圖3可知， 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為-1.01737。因此實驗證明了，與 成正比例關(guān)系，驗證了與1/ 成正比例關(guān)系。在同一條弦上，若固定弦上張力，在某一頻率下，測出段駐波各對應(yīng)的弦長，各弦長：：…：： = ：：…：2：1。

若固定原波頻率，改變弦上張力，和之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為0.5；由表2、圖4和圖5可知，圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為0.50021。因此實驗證明了，和與成正比例關(guān)系，驗證了與成正比例關(guān)系。在同一條弦上，若固定原波固定結(jié)果頻率，在某一張力下，測出段駐波各對應(yīng)的弦長，各弦長：：…：： = ：：…：2：1。

3 結(jié)論

（1）本文從波動方程入手，推導(dǎo)出弦振動時產(chǎn)生駐波的方程；分析產(chǎn)生駐波時弦上某一微小段的受力情況，得出弦振動形成駐波時，波長、弦中張力、頻率和弦線密度之間滿足的關(guān)系。（2）通過對大量實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，驗證了弦振動形成駐波時，波長、弦中張力、頻率和弦線密度之間滿足的關(guān)系；并總結(jié)出弦振動時駐波波長與張力，波長與振動頻率的規(guī)律。同時利用Origin軟件處理數(shù)據(jù)和作圖，使實驗數(shù)據(jù)可視化和信息化，使實驗規(guī)律更加形象化。（3）在實驗過程中實驗比例關(guān)系，可以利用以上總結(jié)的規(guī)律，來及時檢驗所測數(shù)據(jù)的可靠性。實驗測量過程中如果出現(xiàn)不符合此規(guī)律的數(shù)據(jù)，可以及時分析導(dǎo)致此結(jié)果的原因，有效避免因操作不當(dāng)而記錄錯誤數(shù)據(jù)。

參考文獻(xiàn)

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[3] 周劍平.Origin實用教程（7.5版）[M].西安交通大學(xué)出版社，2007.