常 巍，陳 瑋

(1.中國電子科技集團公司第13 研究所市場營銷部，河北石家莊 050051;2.中國電子科技集團公司第54 研究所，河北石家莊 050081)

模擬濾波器設(shè)計的關(guān)鍵是找到一個穩(wěn)定易實現(xiàn)的逼近函數(shù)，且其幅頻特性要滿足所需濾波器的要求。常用的濾波器模型有巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyscheff)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器及橢圓函數(shù)(Elliptic)濾波器。雖這些濾波器設(shè)計過程均已較為成熟，但無論哪種設(shè)計過程卻均需要繁瑣復(fù)雜的計算，或使用大型設(shè)計軟件，因此不便于使用。

Matlab［1］作為一種高性能數(shù)值計算和可視化的工程計算工具，其具有豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)功能支持，并提供了豐富的用于模擬濾波器設(shè)計的函數(shù)，通過簡單編程便可實現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計，并能繪制出幅頻和相頻特性曲線［2］。因此，為簡化濾波器設(shè)計，方便工程應(yīng)用，本文提出了基于Matlab 的低通濾波器快速設(shè)計方法，利用Matlab 的圖形用戶界面工具Guide 實現(xiàn)了可視化。

1 低通濾波器設(shè)計

根據(jù)低通濾波器［1］所選逼近函數(shù)的不同，其也有不同的響應(yīng)。圖1(a)所示的響應(yīng)通帶頂部最平坦，故稱為“最平坦響應(yīng)”，也稱作“Butterworth 響應(yīng)”。圖1(b)所示的響應(yīng)通帶衰減有規(guī)律性的起伏，且幅度相等，故稱為“等波紋響應(yīng)”，也被稱作“Chebyscheff 響應(yīng)”［3－4］。

圖1 低通濾波器的幅頻特性曲線

圖1 中Rs為阻帶截止頻率處的衰減，Ws為阻帶截止頻率，Rp為通帶截止頻率處的衰減，Wp是通帶邊緣上衰減為Rp時的頻率，稱為“帶邊頻率”或“截止頻率”，即可認為0 ～Wp為通帶，Wp以上為阻帶。

在設(shè)計好濾波器的逼近函數(shù)，確定濾波器階數(shù)后，則要進行所需元件值的計算。下面以Butterworth 濾波器和Chebyscheff 濾波器為例，介紹這兩種響應(yīng)元件值的計算方法［5－6］。

1.1 Butterworth 濾波器元件值設(shè)計

圖1(a)所示的Butterworth 濾波器數(shù)學(xué)表達式為

式中

對于兩端均接有電阻的Butterworth 低通濾波器，當(dāng)Rp=3 dB 時，其歸一化元件值可用下式得出

1.2 Chebyscheff 濾波器元件值設(shè)計

圖1(b)所示的Chebyscheff 濾波器數(shù)學(xué)表達式為

其中

式中，n 是該電路的電抗元件數(shù)目。若n 為偶數(shù)時，則Rs=0 dB 的頻率有n/2 個;若n 為奇數(shù)，則Rs=0 dB的頻率有(n+1)/2 個［8－10］。

對于兩端均接有電阻的Chebyscheff 低通濾波器，設(shè)其通帶波紋為Rp，g0=1，Wp=1，則其歸一化元件值可用下式得出

式中

2 Matlab 圖形用戶界面

圖形用戶界面(Graphical User Interface，GUI)是目前計算機應(yīng)用程序界面的主要形式。使用Matlab 的Guide 平臺，用戶可便捷地設(shè)計GUI 界面，并開發(fā)自己的應(yīng)用程序。使用Guide 設(shè)計一個完整用戶界面的基本過程如下［1］:

(1)設(shè)計功能。運用面向?qū)ο蟮姆椒?，確定所需使用的對象，并添加到GUI 中。(2)完成布局。利用Guide 提供的布局工具，完成各對象的布局，力求界面友好、操作方便。(3)設(shè)置屬性。打開各對象的屬性查看器，設(shè)置相應(yīng)屬性。(4)編寫回調(diào)函數(shù)。編寫必要的回調(diào)函數(shù)(call－back)，以保證所設(shè)計GUI 能正確響應(yīng)用戶操作。

3 界面設(shè)計

基于Matlab 的低通濾波器設(shè)計軟件界面如圖2 所示。其主要包括參數(shù)輸入模塊、類型選擇模塊、繪圖模塊、計算模塊以及結(jié)果列表顯示模塊5 部分，可完成確定濾波器階數(shù)、繪制幅頻和相頻特性曲線以及計算元件值功能。

濾波器類型可選擇Butterworth 濾波器、Chebyscheff濾波器或Butterworth 濾波器及Chebyscheff 濾波器。通過輸入通帶截止頻率Wp、阻帶截止頻率Ws、通帶截止頻率處的衰減Rp、阻帶截止頻率處的衰減Rs，可確定Butterworth 和Chebyscheff 濾波器的階數(shù)、繪制幅頻、相頻特性曲線，并得出所需濾波器的元件值。

圖2 界面設(shè)計

完成界面設(shè)計后，需編寫相應(yīng)GUI 對象的回調(diào)函數(shù)，以進行程序?qū)崿F(xiàn)。

4 設(shè)計應(yīng)用舉例

4.1 參數(shù)輸入

設(shè)計一個模擬信號輸入低通濾波器，要求在40 Hz處的衰減為3 dB，在150 Hz 處的最小衰減為60 dB。

根據(jù)此設(shè)計要求，輸入通帶截止頻率Wp=40 Hz、阻帶截止頻率Ws=150 Hz、通帶截止頻率處的衰減Rp=3 dB、阻帶截止頻率處的衰減Rs=60 dB。分別采用Butterworth 和Chebyscheff 濾波器進行計算。

4.2 確定濾波器階數(shù)

使用Matlab 自帶的濾波器計算函數(shù)，可較快得出濾波器的階數(shù)。Butterworth 濾波器和Chebyscheff 濾波器計算函數(shù)分別如下

由此可得到，該低通濾波器按Butterworth 濾波器和Chebyscheff 濾波器設(shè)計得到的階數(shù)分別為4 階和5 階。

4.3 繪制幅頻、相頻特性曲線

使用Matlab 還可繪制出濾波器的幅頻和相頻特性曲線。Butterworth 濾波器和Chebyscheff 濾波器所使用的函數(shù)分別如下

而繪制幅頻、相頻特性曲線的函數(shù)為

freqz(b，a，512，1 000);

最后得到按照Butterworth 濾波器和Chebyscheff濾波器設(shè)計的幅頻和相頻特性曲線分別如圖3 所示，可根據(jù)所需低通濾波器的具體要求選擇Butterworth 或Chebyscheff 加以實現(xiàn)。

圖3 濾波器幅頻和相頻特性曲線

4.4 計算元件值

Butterworth 濾波器和Chebyscheff 濾波器歸一化元件值的計算如上所述，通過編程，可計算出所需濾波器的歸一化元件值，如表1 所示。

表1 所需濾波器的歸一化元件值

使用低通濾波器設(shè)計軟件，點擊“計算”按鈕，在界面右側(cè)列表給出了所需濾波器的歸一化元件值，如圖4 所示。

圖4 元件值計算結(jié)果列表輸出

5 結(jié)束語

本文使用Matlab 的圖形用戶界面開發(fā)工具Guide，完成了模擬低通濾波器設(shè)計軟件，其中包含參數(shù)輸入、類型選擇、繪圖、計算以及結(jié)果列表顯示5 大模塊，并實現(xiàn)了確定濾波器階數(shù)、繪制幅頻和相頻特性曲線以及計算元件值3 大功能。通過設(shè)計應(yīng)用舉例，按照Butterworth 和Chebyscheff 兩種類型完成了所需的模擬低通濾波器的設(shè)計。

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