徐禮國，徐小云

(廣州大學(xué) 華軟軟件學(xué)院，廣東 廣州 510990)

混沌信號因其對初始條件的高度敏感、非周期等復(fù)雜動力學(xué)特性，被應(yīng)用于保密通信、數(shù)字加密等領(lǐng)域［1］。多渦卷混沌吸引子與超混沌吸引子具備更為復(fù)雜的動力學(xué)特性，目前已成為非線性電路與系統(tǒng)領(lǐng)域的研究熱點，并被認(rèn)為具有更高的研究價值和應(yīng)用前景。如何產(chǎn)生出多渦卷混沌吸引子及能否用物理器件實現(xiàn)是研究的首要問題。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在這一領(lǐng)域的研究取得了一些成果［2－11］。

本文在文獻(xiàn)［3］理論成果的基礎(chǔ)上，利用階梯波函數(shù)從理論上產(chǎn)生出多渦卷Jerk 混沌吸引子，并利用EWB 電路仿真軟件，設(shè)計出具體仿真電路對理論分析進(jìn)行驗證。仿真結(jié)果表明，用階梯波函數(shù)產(chǎn)生多渦卷Jerk 混沌吸引子的方法是可行的，且該方法產(chǎn)生的多渦卷Jerk 混沌吸引子是可物理實現(xiàn)的。

1 雙渦卷Jerk 混沌系統(tǒng)

1.1 雙渦卷Jerk 混沌吸引子產(chǎn)生機(jī)理

Jerk 混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中，參數(shù)β=0.45 ～0.7，x，y，z，τ 均為無量綱變量，故式(1)為無量綱狀態(tài)方程。當(dāng)時，可產(chǎn)生單渦卷混沌吸引子;當(dāng)f(x)=sgn(x)－x 時，可產(chǎn)生雙渦卷混沌吸引子。下面以f(x)=sgn(x)－x 為例，分析雙渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生機(jī)理。

首先，注意到式(1)中函數(shù)f(x)=sgn(x)－x 的波形為鋸齒波，若令F(x)=sgn(x)，則F(x)是階梯波，只需通過增加或減少一個線性函數(shù)后，其之間便可相互轉(zhuǎn)換。

根據(jù)鋸齒波與階梯波之間的變換，進(jìn)一步得式(1)變換后的形式為

此時式(2)中的F(x)=sgn(x)為符號函數(shù)。

根據(jù)混沌系統(tǒng)平衡點理論，令式(2)等號左邊為0，得系統(tǒng)的平衡點方程為由式(3)可得兩個指標(biāo)2 的鞍焦平衡點，具體坐標(biāo)不再解出，平衡點對應(yīng)的Jacobi 矩陣為

式中β=0.6。得對應(yīng)的特征值為

每個鞍焦平衡點能產(chǎn)生一個渦卷，故上述系統(tǒng)能產(chǎn)生雙渦卷混沌吸引子。

1.2 雙渦卷Jerk 混沌吸引子的電路仿真

為了能用EWB 仿真軟件設(shè)計出式(2)所對應(yīng)的仿真電路，在式(2)的基礎(chǔ)上引入時間尺度變換因子1/R0C0，且令τ=t/R0C0，進(jìn)行微分積分轉(zhuǎn)換后的方程為

變換后的方程由集成運算放大器TL082 構(gòu)成的反相積分電路、反相比例加法電路及比較器電路實現(xiàn)。

圖1 式(6)中式(c)的仿真電路

非線性函數(shù)F(x)=sgn(x)的產(chǎn)生可由比較器和比例反相器實現(xiàn)，原理較簡單，可參考式(6c)仿真電路的設(shè)計方法，其仿真電路如圖2 所示。因為TL082 供電電源為±15 V 時，比較器的飽和輸出電壓為±13.5 V，所以比例反相器的比例系數(shù)為R21/R22=1/13.5 時，即可輸出符號函數(shù)F(x)=sgn(x)。

圖2 非線性函數(shù)的產(chǎn)生電路

用仿真軟件EWB 中的相圖分析工具，可得到如圖3所示雙渦卷混沌吸引。

圖3 雙渦卷吸引子相圖

2 多渦卷Jerk 混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)［3］中提出對于某些混沌系統(tǒng)通過擴(kuò)展某一方向上指標(biāo)2 鞍焦平衡點，可使混沌系統(tǒng)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子。本文在雙渦卷Jerk 系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，利用階梯波函數(shù)來擴(kuò)展x 方向上的指標(biāo)2 的鞍焦平衡點，將雙渦卷系統(tǒng)變成多渦卷系統(tǒng)，這是在多渦卷混沌系統(tǒng)產(chǎn)生方式上的一種不同方法。其主要特點是，鞍焦平衡點的個數(shù)與渦卷的個數(shù)相等，且根據(jù)非線性函數(shù)的對稱性，即非線性函數(shù)F(x)具有奇對稱的特點，在原點的兩邊擴(kuò)展出相同的指標(biāo)2 的鞍焦平衡點。

2.1 偶數(shù)個多渦卷Jerk 混沌吸引子的產(chǎn)生

非線性函數(shù)F(x)的不同形式，決定了式(2)中指標(biāo)2 的鞍焦平衡點個數(shù)，若要產(chǎn)生偶數(shù)個渦卷，非線性函數(shù)F(x)的具體表達(dá)式為

式中，N，M=1，2，3，…。若N=M，則

注意到在實際情況中，可考慮A2=A1=A，A 是＞0的可調(diào)參數(shù)，實際上A 就是變量比例壓縮變換中的壓縮系數(shù)。通過調(diào)節(jié)A 的大小，可改變渦卷本身的大小，即A 越小時，渦卷的大小則越小，從而在±13.5 V 的范圍內(nèi)，能產(chǎn)生的渦卷數(shù)量更多，反之亦然。根據(jù)上述分析，可將式(8)進(jìn)一步簡化為

結(jié)合式(2)和式(9)，得產(chǎn)生(2N+2)個渦卷的Jerk 系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式(10)中參數(shù)β=0.45 ～0.7，可根據(jù)實際需要確定其大小。

注意到式(10)中的非線性函數(shù)F(x)可產(chǎn)生(2N+2)個階梯，為進(jìn)一步理解，不妨假設(shè)式(9)中的A=0.5，N=2，則階梯的數(shù)量為2N+2=2×2+2=6。

同前面雙渦卷系統(tǒng)平衡點的分析過程相同，令式(10)中等式的左邊為0，令A(yù)=0.5，N=2，可得系統(tǒng)有6 個指標(biāo)2 的鞍焦平衡點，每個鞍焦平衡點能產(chǎn)生一個渦卷，故系統(tǒng)能產(chǎn)生6－渦卷。平衡點的具體坐標(biāo)不再解出，對應(yīng)的Jacobi 矩陣和特征值也不再求解。

圖4 所示是A=0.5，N=2 時，式(10)中非線性函數(shù)F(x)的仿真電路，式(10)中其他3 個等式的仿真電路與雙渦卷Jerk 系統(tǒng)，即式(6)的仿真電路相同，故不再重復(fù)給出。6－渦卷混沌吸引子相圖如圖5 所示。

圖4 6－階梯波非線性函數(shù)產(chǎn)生電路

圖5 6－渦卷混沌吸引子相圖

2.2 奇數(shù)個多渦卷Jerk 混沌吸引子的產(chǎn)生

若在式(2)對應(yīng)的混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生奇數(shù)個渦卷，非線性函數(shù)F(x)的具體表達(dá)式為

式(11)中N，M=1，2，3，…。尤其是當(dāng)N=M，A2=A1=A 時，則

與偶數(shù)個渦卷的產(chǎn)生相似，式(12)中的非線性函數(shù)F(x)產(chǎn)生(2N+1)個階梯，假設(shè)式(12)中A=0.5，N=3，則階梯的數(shù)量為2N+1=2×3+1=7，可使式(6)對應(yīng)的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生7－渦卷。7－階梯波非線性函數(shù)F(x)的仿真電路如圖6 所示，7－渦卷混沌吸引子相圖如圖7 所示。

圖6 7－階梯波非線性函數(shù)產(chǎn)生電路

圖7 7－渦卷混沌吸引子相圖

3 結(jié)束語

本文在雙渦卷Jerk 混沌吸引子的基礎(chǔ)上，利用階梯波函數(shù)構(gòu)造產(chǎn)生出多渦卷Jerk 混沌吸引子，分析了多渦卷Jerk 混沌吸引子產(chǎn)生的機(jī)理，并根據(jù)無量綱狀態(tài)方程，分別設(shè)計了6－渦卷和7－渦卷混沌吸引子仿真電路。同時利用EWB 進(jìn)行了仿真驗證，仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)分析結(jié)果一致，進(jìn)一步證實了多渦卷Jerk 系統(tǒng)的存在。因仿真電路中所用器件與實際硬件電路器件幾乎相同，仿真結(jié)果即表明了多渦卷Jerk 混沌吸引子是可物理實現(xiàn)的，為多渦卷Jerk 混沌系統(tǒng)下一步的研究及實際應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

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