趙忠超，張嬌嬌，成 華，豐威仙

(江蘇科技大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

封閉空腔內(nèi)的流體浮升流動(dòng)因其具有安全、經(jīng)濟(jì)和無(wú)噪聲等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于不同工業(yè)冷卻技術(shù)領(lǐng)域，如不用風(fēng)扇強(qiáng)制冷卻的電子設(shè)備的散熱、事故條件下核反應(yīng)堆的散熱、平板式太陽(yáng)能集熱器的空氣間層中的散熱等.同時(shí)，流體浮升流動(dòng)的機(jī)理及其變化規(guī)律也受到廣大研究人員的關(guān)注，De Vahl Davis G［1－2］最早發(fā)表了封閉方腔流體浮升對(duì)流換熱問(wèn)題的基準(zhǔn)解.近年，Mina Shahi等人［3］研究了納米流體對(duì)腔內(nèi)浮升對(duì)流換熱的強(qiáng)化作用，與此同時(shí)，J.Serrano-Arellano等［4］學(xué)者研究了空腔內(nèi)流體為空氣和二氧化碳混合物時(shí)的自然對(duì)流換熱的變化規(guī)律.Yang Liu［5］和 K.Kalidasan 等人［6］對(duì)加了翅片和擋板的腔內(nèi)自然對(duì)流換熱進(jìn)行了研究和總結(jié).國(guó)內(nèi)如董韶峰等人［7］利用渦量－流函數(shù)方程對(duì)非正方形的矩形空腔內(nèi)的流體浮升對(duì)流換熱進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，結(jié)果表明空腔的幾何形狀和放置位置是影響對(duì)流換熱的重要因素.黃建春等人［8］用SIMPLE 算法和乘方格式對(duì)空腔內(nèi)的層流浮升對(duì)流換熱(Ra=1×103～1×106)進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)值計(jì)算.提出了導(dǎo)熱占主導(dǎo)地位和導(dǎo)熱與對(duì)流共同作用的層流流動(dòng)的分界點(diǎn)為Ra=5×104.金濤等人［9］提出了數(shù)值求解封閉空腔內(nèi)自然對(duì)流的高進(jìn)度緊致差分格式，驗(yàn)證了該方法的可靠性.陽(yáng)祥［10］運(yùn)用直接數(shù)值模擬的方法研究了高寬比為4的封閉腔內(nèi)的自然對(duì)流，得出了高瑞利數(shù)下的換熱特征.

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)封閉腔內(nèi)的流體浮升對(duì)流換熱現(xiàn)象進(jìn)行了大量的理論研究，但這些學(xué)者研究的重點(diǎn)在于對(duì)自然對(duì)流解的求解方法［11］及不同的腔體結(jié)構(gòu)［12］、不同的流體介質(zhì)等對(duì)其強(qiáng)化傳熱的影響.其中很少涉及到同樣的傳熱條件下，不同高寬比的矩形空腔對(duì)流體浮升流動(dòng)的溫度場(chǎng)、流線以及Nu數(shù)的影響.而此類問(wèn)題在工程應(yīng)用中卻最為普遍.因此，為了豐富典型封閉空腔內(nèi)浮升對(duì)流換熱的理論研究成果，同時(shí)為其通過(guò)腔體尺寸的優(yōu)化，獲得優(yōu)異的換熱能力提供科學(xué)依據(jù)，文中通過(guò)求解所建立的矩形空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析了不同高寬比對(duì)矩形空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)特性的影響規(guī)律.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 模型簡(jiǎn)化

矩形封閉空腔內(nèi)的流體浮升流動(dòng)因其流動(dòng)空間具有典型的規(guī)則對(duì)稱性，可以通過(guò)流體的二維浮升流動(dòng)表征其三維流動(dòng)規(guī)律.因此，建立二維矩形封閉空腔內(nèi)的流體浮升流動(dòng)的物理模型，如圖1.圖1中上下壁面為絕熱壁面，寬度為無(wú)量綱寬度W;左、右壁面分別為無(wú)量綱溫度為Tc的低溫壁面和無(wú)量綱溫度為Th的高溫壁面，高度為無(wú)量綱高度H.

圖1 矩形空腔的物理模型Fig.1 Physical model of rectangular cavity

1.2 控制方程

對(duì)于有限空間內(nèi)的自然對(duì)流現(xiàn)象的求解，在考慮到物性為常數(shù)的同時(shí)引入Boussinesq假設(shè)和定義的有效壓力，再結(jié)合能量方程［13］(為統(tǒng)一公式，現(xiàn)定義)對(duì)二維的動(dòng)量方程進(jìn)行交叉求導(dǎo)后相減，可得到相應(yīng)的ω-φ方程.

連續(xù)性方程:

動(dòng)量方程:

能量方程:

連續(xù)性方程:

動(dòng)量方程:

能量方程:

式中:Ra為瑞利數(shù)，是自然對(duì)流傳熱中傳熱系數(shù)關(guān)聯(lián)的無(wú)量綱參數(shù)，其公式為;g為重力加速度;β為體積膨脹系數(shù);ΔT為溫差;α為熱擴(kuò)散率，ν為運(yùn)動(dòng)粘度.方程(4～6)就是所要求問(wèn)題的控制方程.具體模擬的計(jì)算參數(shù)為:Pr=0.71，ρ=μ=α=1.

1.3 邊界條件

為便于對(duì)各個(gè)矩形空腔內(nèi)流體流動(dòng)特性進(jìn)行分析和比較，約定A為無(wú)量綱長(zhǎng)度H與W的比值.文中將對(duì)矩形空腔的高寬比分別為0.5，0.7，0.8，0.9，1，1.25，1.5，2，2.5，3，3.5，4，5 的流體浮升流動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究，獲得了不同高寬比對(duì)其流動(dòng)及對(duì)流換熱性能的影響.

2 結(jié)果與討論

通過(guò)求解文中所建立的矩形封閉空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，獲得了表征其流動(dòng)與對(duì)流換熱性能的溫度分布、速度分布、流線分布以及渦量等物理量的分布規(guī)律.

限于篇幅的限制，圖2僅給出了高寬比為0.8，0.9，1及1.25矩形空腔內(nèi)當(dāng)瑞利數(shù)Ra分別為 103，104，4 ×104，5 ×104，105，106時(shí)的等溫線分布圖.從等溫線分布圖可以看出，當(dāng)Ra較小時(shí)，等溫線基本是垂直分布的，高溫壁面與低溫壁面之間主要通過(guò)導(dǎo)熱進(jìn)行熱量傳遞;隨著Ra的增大，方腔中央的等溫線趨向水平，只在高低溫壁面附近保持垂直，此時(shí)的熱量傳遞方式是以對(duì)流換熱為主.

圖2 等溫線圖(從上到下A值依次為0.8，0.9，1及 1.25)Fig.2 Isotherm contours(The value A from top to bottom is 0.8，0.9，1 and 1.25)

圖3為高寬比分別為0.8，0.9，1及1.25矩形空腔內(nèi)瑞利數(shù)Ra分別為 103，104，4 ×104，5 ×104，105，106的流線分布圖.從圖中可知，Ra值為103和104時(shí)，在空腔中部形成了一個(gè)大圓渦，高寬比值的變化對(duì)流線分布基本沒(méi)有影響.在高寬比A≤0.8，Ra為4×104時(shí)，渦由圓形逐漸變?yōu)闄E圓，且到Ra=5×104時(shí)分裂為兩個(gè)小渦，出現(xiàn)了層流過(guò)渡層.由圖3可知，隨高寬比從0.9變至1、Ra為4×104時(shí)的渦由高寬比值小于0.9時(shí)的1個(gè)渦逐漸變?yōu)?個(gè)，此階段為層流過(guò)渡階段，直至高寬比值等于或大于1.25，Ra為4×104時(shí)出現(xiàn)了2個(gè)渦形完整的小渦.即隨著A值的增大，空腔內(nèi)流體流動(dòng)的層流過(guò)渡層向Ra值減小的方向偏移.并且隨著Ra值的增加，渦的數(shù)量也逐漸增加，當(dāng)Ra為106時(shí)，在方腔中央出現(xiàn)了第3個(gè)渦.

圖3 流線圖(從上到下A值依次為0.8，0.9，1及 1.25)Fig.3 Streamline contours(The value A from top to bottom is 0.8，0.9，1 and 1.25)

封閉空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)的流動(dòng)特性決定了其對(duì)流換熱能力的強(qiáng)弱，因此，評(píng)價(jià)流體對(duì)流換熱強(qiáng)弱的努謝爾特?cái)?shù)Nu變化規(guī)律可以表征流體流動(dòng)空間的高寬比A和瑞利數(shù)Ra變化規(guī)律對(duì)流體浮升流動(dòng)對(duì)流換熱的影響.為了全面了解高寬比對(duì)其對(duì)流換熱性能的影響，文中研究了高寬比A和瑞利數(shù)Ra變化對(duì)努謝爾特?cái)?shù)的最大值、最小值和平均值的影響規(guī)律.努謝爾特?cái)?shù)的最大值和最小值分別是指高溫壁面上的局部努謝爾特?cái)?shù)的最大值與最小值.平均努謝爾特?cái)?shù)是表征高溫壁面向低溫壁面?zhèn)鬟f的總熱量大小的參數(shù)，它是局部努謝爾特?cái)?shù)沿高溫壁面高度的積分平均.局部努謝爾特?cái)?shù)與平均努謝爾數(shù)分別定義如下:

根據(jù)式(8)和式(9)，計(jì)算得到了每組瑞利數(shù)和高寬比值對(duì)應(yīng)的Numax，Numin以及Numean.表1給出了高寬比為1，瑞利數(shù)Ra分別為103，104，105和106時(shí)文中獲得Nu數(shù)以及其他與文中邊界條件一致的參考文獻(xiàn)中所獲得的結(jié)果.表2給出了不同Ra下文中的Nu與相關(guān)文獻(xiàn)的偏差率，從表2可以清晰地看出文中的結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果偏差較小，故而驗(yàn)證了文中數(shù)學(xué)模型的可靠性.圖4給出了高寬比A為1時(shí)不同Ra下Nu隨壁面高度的變化曲線，由圖4可知，同一Ra下的Numax出現(xiàn)在靠近壁面底部的地方，而最小值出現(xiàn)在壁面的頂部.

表1 不同Ra下文中的Nu與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of Nusselt number at various Rayleigh number between calculated results and references′results

表2 不同Ra下文中的Nu與相關(guān)文獻(xiàn)的偏差率Table 2 Deviation rate of Nusselt number between calculated results and references′with different Rayleigh number

圖4 努謝爾特?cái)?shù)隨壁面高度的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between the Nusselt number and the height of the cavity

圖5給出了文中所研究的不同Ra數(shù)和不同高寬比的矩形空腔中熱壁上努謝爾特?cái)?shù)的最大值.從圖中可知，Ra為103時(shí)，Numax隨高寬比的增加而增加，在高寬比大于4.0時(shí)，Numax有緩慢減小的趨勢(shì);Ra為104～105時(shí)，其Numax的變化隨高寬比的增加先快速增加而后緩慢增加，在高寬比值達(dá)到最大值5時(shí)，Numax也達(dá)到最大值，從小到大依次為4.679、6.845、7.241和 8.526;當(dāng)Ra=106時(shí)，Numax在高寬比小于2時(shí)呈增加趨勢(shì)，當(dāng)高寬比大于2時(shí)呈減小趨勢(shì).

圖5 努謝爾特?cái)?shù)的最大值與高寬比A值的依變關(guān)系Fig.5 Relationship between the maximum of Nusselt number and the aspect ratio A

圖6給出了不同Ra數(shù)和不同高寬比的矩形空腔中熱壁上努謝爾特?cái)?shù)的最小值.由圖可知:當(dāng)瑞利數(shù)Ra一定時(shí)(104～106)，Numin隨高寬比A值的增加呈減小的趨勢(shì)，且在高寬比等于或小于2時(shí)，Numin值下降迅速，當(dāng)高寬比大于2時(shí)，Numin變化緩慢.當(dāng)高寬比A值一定時(shí)，Numin隨Ra(104～106)的增加而增加.

圖6 努謝爾特?cái)?shù)的最小值與高寬比A值的依變關(guān)系Fig.6 Relationship between the minimum of Nusselt number and the aspect ratio A

圖7給出了不同高寬比的矩形封閉空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)的瑞利數(shù)Ra與平均努謝爾特?cái)?shù)Numean的依變關(guān)系.由圖7可知，當(dāng)高寬比不變時(shí)，Numean隨Ra數(shù)的增加而增加，并且當(dāng)瑞利數(shù)Ra處于較大值時(shí)，瑞利數(shù)Ra的增加使得Numean的增加更為顯著，表明此時(shí)的自然對(duì)流正由層流向湍流過(guò)渡.Ra為103時(shí)Numean的最大值為1.195，Ra為104時(shí)Numean的最大值為2.37，它們都出現(xiàn)在高寬比為1.5的時(shí)候.Ra為4×104時(shí)Numean的最大值為3.458，Ra為5 ×104時(shí)Numean的最大值為3.685，其出現(xiàn)在高寬比為1.25的矩形空腔內(nèi).當(dāng)Ra為105和106時(shí)，Numean的最大值為4.513和8.93，分別出現(xiàn)在高寬比為1和0.7時(shí).故隨Ra值的增大，Numean的最大值向高寬比值減小的方向進(jìn)行偏移.

圖7 平均努謝爾特?cái)?shù)與高寬比A值的依變關(guān)系Fig.7 Relationship between the average Nusselt number and the aspect ratio

同時(shí)，在不同Ra數(shù)下Numean的變化有著顯著差異.當(dāng)Ra數(shù)為103時(shí)，Numean的值很小(最大值僅為1.195)且隨高寬比A的變化幅度不大，圖中的曲線較為平緩.隨著Ra數(shù)的增大，Numean也出現(xiàn)了增大的趨勢(shì).當(dāng)Ra值在104～105的范圍內(nèi)時(shí)，Numean隨A值的變化曲線基本一致.但與Ra值為103時(shí)有所不同，其變化幅度明顯增大，且在A值小于1.5時(shí)，Numean呈增長(zhǎng)趨勢(shì)且增長(zhǎng)速度較快;在A值大于1.5時(shí)，Numean呈緩慢下降趨勢(shì).當(dāng)Ra數(shù)增至106時(shí)，高寬比A的變化對(duì)Numean的影響明顯增強(qiáng)，Numean在A為0.7時(shí)便達(dá)到了最大值，為8.93，之后隨A的增大而呈快速減小趨勢(shì).

3 結(jié)論

通過(guò)建立并求解矩形空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)的多物理場(chǎng)耦合的數(shù)學(xué)模型，獲得了相同工況下，不同高寬比的矩形空腔內(nèi)流體浮升流動(dòng)變化規(guī)律及其對(duì)流換熱特性，其結(jié)論如下:

1)通過(guò)研究矩形空腔高寬比和Ra數(shù)對(duì)流體浮升流動(dòng)規(guī)律和對(duì)流換熱特性發(fā)現(xiàn)，在不同的高寬比條件下，隨著瑞利數(shù)Ra的增加，流體浮升流動(dòng)的傳熱方式由導(dǎo)熱逐步過(guò)渡到對(duì)流換熱.

2)空腔內(nèi)流體的浮升流動(dòng)受不同的高寬值的影響較大.隨著高寬比A值的增大，空腔內(nèi)流體流動(dòng)的層流過(guò)渡層向Ra值減小的方向偏移.

3)對(duì)于給定的不同瑞利數(shù)Ra條件下，用于評(píng)價(jià)流體浮升流動(dòng)整體換熱能力的平均努謝爾特?cái)?shù)Numean與矩形封閉空腔的高寬比A值存在最優(yōu)關(guān)系.

References)

［1］ de Vahl Davis G，Jones I P.Natural convection in a square cavity:a comparison exercise［J］.International Journal for Numerical Methods in Fluids，1983，3:227－248.

［2］ de Vahl Davis G.Natural convection of air in a square cavity:a bench mark numerical solution［J］.International Journal for Numerical Methods in Fluids，1983，3:249－264.

［3］ Mina S，Amir H M，F(xiàn)arhad T.A numerical investigation of conjugated-natural convection heat transfer enhancement of a nanofluid in an annular tube driven by inner heat generating solid cylinder［J］.International Communications in Heat and Mass Transfer，2011，38:533－542.

［4 ］ Serrano-Arellano J，Xaman J，Alvarez G，et al.Heat and mass transfer by natural convection in a square cavity filled with a mixture of Air － CO2［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2013，64:725－734.

［5］ Liu Yang，Lei Chengwang，John C P.Natural convection in a differentially heated cavity with two horizontal adiabatic fins on the sidewalls［J］.Original Research Article International Journal of Heat and Mass Transfer，2014，72:23 －26.

［6］ Kalidasan K，Velkennedy R，Rajesh K P.Buoyancy enhanced naturalconvection insidetheventilated square enclosure with a partition and an overhanging transverse baffle［J］.International Communications in Heat and Mass Transfer，2014，56:121 －132.

［7］ 董韶峰，李蔭堂，劉艷華.渦量－流函數(shù)法模擬不同高寬比和角度的腔內(nèi)自然對(duì)流［J］.低溫與特氣，2003，21(6):16 －21.Dong Shaofeng，Li Yintang，Liu Yanhua.Simulation of the natural convection in a closed cavity with vortexstream function method［J］.Low Temperature and Specialty Casas，2003，21(6):16－21.(in Chinese)

［8］ 黃建春，李光正，江立新.封閉腔內(nèi)層流自然對(duì)流換熱過(guò)渡層數(shù)值研究［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，29(5):51－53.Huang Jianchun，Li Guangzheng，Jiang Lixin.Numerical study on the flow transition in laminar natural convection flow in a square cavity［J］.Journal of Hua-zhong University of Science＆Technology，2001，29(5):51－53.(in Chinese)

［9］ 金濤，馬廷福，葛永斌.封閉方腔內(nèi)自然對(duì)流問(wèn)題的高精度緊致差分格式［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39(5):139 －144.Jin Tao，Ma Tingfu，Ge Yongbin.High-accuracy compact dinfference format for natural convection problems in enclosed square cavity［J］.Journal of Lanzhou University of Technolog，2013，39(5):139 － 144.(in Chinese)

［10］ 陽(yáng)祥，陶文銓.高瑞利數(shù)下封閉空腔內(nèi)自然對(duì)流的數(shù)值模擬［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，48(5):1 －6.Yang Xiang，Tao Wenquan.Numerical simulations for natural convection with high rayleigh number in a tall rectangular cavity［J］.Journal of Xi′an Jiaotong University，2014，48(5):1 －6.(in Chinese)

［11］ 姚壽廣，王公利，程清芳，等.基于格子Boltzmann方法的方腔內(nèi)自然對(duì)流與換熱的數(shù)值模擬［J］.江蘇科技大學(xué):自然科學(xué)版，2013，27(5):478 －482.Yao Shouguang，Wang Gongli，Cheng Qingfang，et al.Lattice boltzmann method for numerical simulation of the natural convection of the square cavity［J］.Journal of Jiangsu University of Science and Technology:Natural Science Edtion，2013，27(5):478 － 482.(in Chinese)

［12］ 聶宇宏，梁融，姚壽廣，等.LED翅片散熱器傳熱性能研究［J］.江蘇科技大學(xué):自然科學(xué)版，2013，27(6):561－564.Nie Yuhong，Liang Rong，Yao Shouguang，et al.Research on heat dissipation performance of LED finned radiator［J］.Journal of Jiangsu University of Science and Technology:Natural Science Edtion，2013，27(6):561 －564.(in Chinese)

［13］ 陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2001:301 －327.