鄭日鋒

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中存在這樣的現(xiàn)象：重題型，輕視問題的聯(lián)系；重技巧，輕視思想方法的提煉；重資料，輕視課本. 在這種教學(xué)狀況下，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率低下. 具體表現(xiàn)在：雖然做了大量的習(xí)題，但是只會做熟悉題；遇到陌生的問題或背景新穎的問題，不能轉(zhuǎn)化為已經(jīng)做過的問題.

奧蘇貝爾（D. P. Ausubel）在其提出的意義學(xué)習(xí)理論中指出，意義學(xué)習(xí)所必需的兩個(gè)內(nèi)部條件：一是學(xué)習(xí)者具有同化新材料的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；二是學(xué)習(xí)者具有學(xué)習(xí)新材料的學(xué)習(xí)心向.

前者涉及教學(xué)的認(rèn)知維度，即教材內(nèi)容為學(xué)生可接受性；后者則涉及教學(xué)的情感維度，即教材內(nèi)容為學(xué)生樂接受性. 因此在習(xí)題教學(xué)中，需要解決好兩個(gè)問題：一是選擇有價(jià)值的問題，符合學(xué)生的認(rèn)知水平；二是如何用好題，發(fā)揮問題的應(yīng)有教學(xué)價(jià)值. 以問題為載體，發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力. 筆者在高三教學(xué)中在如何選題與用題方面作了一些嘗試，現(xiàn)與各位同行分享.

一、選好題——高三數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的助推器

1. 選好題的三個(gè)視點(diǎn)

（1）從高考命題的特點(diǎn)看

自各省自主命題以來，每個(gè)省逐漸形成自己的命題風(fēng)格. 如浙江卷具有“入手容易、階梯遞進(jìn)、拾級而上”的特點(diǎn). 立足雙基考查，沉穩(wěn)而厚實(shí)，多數(shù)試題源于課本題的移植和改編，質(zhì)樸無華，似曾相識，給人以“題在書外、根在書中”的感覺；試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設(shè)置問題；將數(shù)學(xué)思想方法和素養(yǎng)作為考查的重點(diǎn)，提高了試題的層次和品質(zhì)，平平淡淡中考能力、穩(wěn)扎穩(wěn)打中見功力；熟悉而不俗套，簡約而不簡單，深刻而不深奧. 這就要求我們選擇的問題應(yīng)該符合高考命題特點(diǎn).

（2）從學(xué)生認(rèn)知水平的角度看

奧蘇貝爾認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的重要因素就是要探明學(xué)習(xí)者知道了什么，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué). 因此選題要認(rèn)清學(xué)生的知識基礎(chǔ)與能力水平，選擇的問題是大部分學(xué)生經(jīng)過教師點(diǎn)撥并通過自身努力能夠解決的問題.

（3）從發(fā)展學(xué)生能力的角度看

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新潛質(zhì). 這與提高學(xué)生解決新穎問題的能力是一致的. 因此選題要考慮該問題的解決是否有助于培養(yǎng)學(xué)生的能力.

2. 好題的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

（1）問題是否來源于課本、圍繞考綱

許多高考試題源于課本而高于課本，課本中的例、習(xí)題是教材編寫專家的集體智慧結(jié)晶，具有基礎(chǔ)性、典型性，將課本中的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗木?，有助于落?shí)雙基.

（2）問題是否能幫助學(xué)生消化和強(qiáng)化方法

選題應(yīng)該避免問題的簡單重復(fù)，為了讓學(xué)生切實(shí)掌握一些比較難的方法，可以設(shè)置相關(guān)問題，從而幫助學(xué)生消化和強(qiáng)化方法.

（3）問題對學(xué)生的思維水平提高是否有益

設(shè)計(jì)的問題之間應(yīng)該具有一定的梯度，應(yīng)遵循從思維的較低水平向較高水平發(fā)展，能讓學(xué)生拾級而上. 問題太簡單、太難均不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維水平. 需要把握的尺度是跳一跳能夠得著.

（4）問題是否蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，因此選題需考慮是否蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想.

（5）問題是否有利于變式、拓展

一個(gè)有價(jià)值的問題其基本特征是可探究性，掌握探究、變式、拓展的方法，以達(dá)到解一題，通一類，帶一串的目的.

3. 選題的策略

（1）設(shè)置臺階——升華思維

超量或過長的時(shí)間講綜合性問題，會使學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循循序漸進(jìn)、螺旋式提高的教學(xué)原則，“化大為小”、“化難為易”設(shè)計(jì)例題，不僅可以降低綜合性問題的梯度，突破教學(xué)難點(diǎn)，而且還能面向全體學(xué)生，有利于提高整體教學(xué)質(zhì)量.

（2）一題多變——拓展思維

對例題進(jìn)行廣泛的變換引申，盡可能引申出更多相關(guān)性、相似性、相反性的新問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

（3）由此及彼——廣闊思維

在教學(xué)中，為了加強(qiáng)新舊知識內(nèi)在聯(lián)系的對比，挖掘知識的本質(zhì)，把握知識的結(jié)構(gòu)，通過設(shè)計(jì)相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、綜合，這不僅有利于學(xué)生抓住知識的共性與個(gè)性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

二、用好題——高三數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的強(qiáng)心劑

教學(xué)中應(yīng)從有效教學(xué)的角度，從反思學(xué)習(xí)的角度，從策略的高度，去尋找問題的本質(zhì)，并通過優(yōu)化方法、錯(cuò)因分析、歸納總結(jié)、拓展探究，逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

1. 揭示本質(zhì)——回歸本源

教學(xué)中經(jīng)常會碰到這樣的數(shù)學(xué)問題，它的解題方法非常獨(dú)特新穎，教師需要展示這種方法是怎么想到的，并揭示隱藏在“怎么這么巧”的解題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣才能撩開解題神秘的面紗，還巧法為通性通法，易于學(xué)生接受.

2. 多方探索——激活思維

讓學(xué)生用已掌握的知識開啟思維的大門，從不同的思維角度獲取不同的解題方法. 這樣做，能使學(xué)生從題海中解脫出來，做一題得多法，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

3. 錯(cuò)因分析——矯正思維

通過暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)因，尋求合理成分，從而實(shí)現(xiàn)從錯(cuò)誤向正確的過渡，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力.

4. 歸納小結(jié)——升華思維

學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)必須要有優(yōu)化的過程，教學(xué)中要注重讓學(xué)生自己總結(jié)解題方法，讓學(xué)生自己能在知識的學(xué)習(xí)中進(jìn)行高層次思維. 這體現(xiàn)了把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己剖析自己的思維，自主“構(gòu)建”符合其認(rèn)知水平的知識體系. 通過總結(jié)、提煉，使學(xué)生的認(rèn)識上升到數(shù)學(xué)思想的層面.

5. 合情推理——創(chuàng)新思維

通過對原問題進(jìn)行廣泛聯(lián)想——一般化，類比，拓展，發(fā)展學(xué)生的思維能力，完善知識結(jié)構(gòu)，將學(xué)生引入到一個(gè)更廣闊的領(lǐng)域，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的樂趣.

三、一個(gè)教學(xué)案例

問題：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通項(xiàng)公式.

此題涉及數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識，是一道數(shù)列綜合題，適合于中等水平的學(xué)生.

1. 一題多解

思考角度1：將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式.

略解（1）由條件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由條件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

當(dāng)t=0時(shí)，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

當(dāng)t≠0時(shí)，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后證.

略解2（1）由a1=1及條件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n為奇數(shù)），0（n為偶數(shù)），可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 從而S2013=1007.

（2）由a1=1及條件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

2. 方法歸納

兩種解法都比較自然，解法1利用了轉(zhuǎn)化思想，將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式. 很容易得到第（1）小題的結(jié)果，利用待定系數(shù)法也不難得到第（2）小題的結(jié)果，需要注意的是分類討論；解法2則利用試驗(yàn)、歸納、猜想、證明的方法，想法自然，但書寫稍繁些.

3. 易錯(cuò)分析

部分學(xué)生利用解法1，沒有檢驗(yàn)n=1的情況就以為an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此題的條件下，碰巧做對了結(jié)果，這是偶然的.

4. 變式訓(xùn)練

變式1 將條件a1=1改為a1=2，其他均不變，結(jié)論如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）當(dāng)t=0時(shí)，an=n+1；當(dāng)t≠0時(shí)，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

變式2 在原題條件下，若t=-1，（1）求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和；（2）求證：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：當(dāng)n≤2時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)n≥3時(shí)，由二項(xiàng)式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通過一道較基礎(chǔ)的數(shù)列問題出發(fā)，讓學(xué)生嘗試解決，得到兩種解法后，幫助學(xué)生歸納解題策略，從而優(yōu)化思維；展示學(xué)生解題的紕漏或錯(cuò)誤，從和項(xiàng)共存的等式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)（或和）的等式時(shí)，容易忽略n≥2的條件，對n=1時(shí)是否適合需要檢驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性；設(shè)計(jì)變式練習(xí)，讓學(xué)生加深對解決此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)的認(rèn)識，并將問題進(jìn)一步發(fā)展為數(shù)列不等式的證明問題，培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力. 從知識的角度復(fù)習(xí)了等差、等比數(shù)列、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識，從思想方法的角度，解決這些有聯(lián)系的問題，需要運(yùn)用分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、特殊化思想、一般化思想.

選好題、用好題是解題教學(xué)的“左臂右膀”，選好題是解題教學(xué)的根本和保障，用好題是解題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 解題教學(xué)的目標(biāo)就是通過問題載體，感悟解題過程，領(lǐng)悟解題方法，最終清晰提煉出隱含在解題中的數(shù)學(xué)思想方法.

三、一個(gè)教學(xué)案例

問題：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通項(xiàng)公式.

此題涉及數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識，是一道數(shù)列綜合題，適合于中等水平的學(xué)生.

1. 一題多解

思考角度1：將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式.

略解（1）由條件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由條件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

當(dāng)t=0時(shí)，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

當(dāng)t≠0時(shí)，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后證.

略解2（1）由a1=1及條件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n為奇數(shù)），0（n為偶數(shù)），可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 從而S2013=1007.

（2）由a1=1及條件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

2. 方法歸納

兩種解法都比較自然，解法1利用了轉(zhuǎn)化思想，將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式. 很容易得到第（1）小題的結(jié)果，利用待定系數(shù)法也不難得到第（2）小題的結(jié)果，需要注意的是分類討論；解法2則利用試驗(yàn)、歸納、猜想、證明的方法，想法自然，但書寫稍繁些.

3. 易錯(cuò)分析

部分學(xué)生利用解法1，沒有檢驗(yàn)n=1的情況就以為an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此題的條件下，碰巧做對了結(jié)果，這是偶然的.

4. 變式訓(xùn)練

變式1 將條件a1=1改為a1=2，其他均不變，結(jié)論如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）當(dāng)t=0時(shí)，an=n+1；當(dāng)t≠0時(shí)，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

變式2 在原題條件下，若t=-1，（1）求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和；（2）求證：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：當(dāng)n≤2時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)n≥3時(shí)，由二項(xiàng)式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通過一道較基礎(chǔ)的數(shù)列問題出發(fā)，讓學(xué)生嘗試解決，得到兩種解法后，幫助學(xué)生歸納解題策略，從而優(yōu)化思維；展示學(xué)生解題的紕漏或錯(cuò)誤，從和項(xiàng)共存的等式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)（或和）的等式時(shí)，容易忽略n≥2的條件，對n=1時(shí)是否適合需要檢驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性；設(shè)計(jì)變式練習(xí)，讓學(xué)生加深對解決此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)的認(rèn)識，并將問題進(jìn)一步發(fā)展為數(shù)列不等式的證明問題，培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力. 從知識的角度復(fù)習(xí)了等差、等比數(shù)列、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識，從思想方法的角度，解決這些有聯(lián)系的問題，需要運(yùn)用分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、特殊化思想、一般化思想.

選好題、用好題是解題教學(xué)的“左臂右膀”，選好題是解題教學(xué)的根本和保障，用好題是解題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 解題教學(xué)的目標(biāo)就是通過問題載體，感悟解題過程，領(lǐng)悟解題方法，最終清晰提煉出隱含在解題中的數(shù)學(xué)思想方法.

三、一個(gè)教學(xué)案例

問題：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通項(xiàng)公式.

此題涉及數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識，是一道數(shù)列綜合題，適合于中等水平的學(xué)生.

1. 一題多解

思考角度1：將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式.

略解（1）由條件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由條件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

當(dāng)t=0時(shí)，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

當(dāng)t≠0時(shí)，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后證.

略解2（1）由a1=1及條件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n為奇數(shù)），0（n為偶數(shù)），可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 從而S2013=1007.

（2）由a1=1及條件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

2. 方法歸納

兩種解法都比較自然，解法1利用了轉(zhuǎn)化思想，將和、項(xiàng)共存的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)的關(guān)系式. 很容易得到第（1）小題的結(jié)果，利用待定系數(shù)法也不難得到第（2）小題的結(jié)果，需要注意的是分類討論；解法2則利用試驗(yàn)、歸納、猜想、證明的方法，想法自然，但書寫稍繁些.

3. 易錯(cuò)分析

部分學(xué)生利用解法1，沒有檢驗(yàn)n=1的情況就以為an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此題的條件下，碰巧做對了結(jié)果，這是偶然的.

4. 變式訓(xùn)練

變式1 將條件a1=1改為a1=2，其他均不變，結(jié)論如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）當(dāng)t=0時(shí)，an=n+1；當(dāng)t≠0時(shí)，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

變式2 在原題條件下，若t=-1，（1）求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和；（2）求證：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：當(dāng)n≤2時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)n≥3時(shí)，由二項(xiàng)式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通過一道較基礎(chǔ)的數(shù)列問題出發(fā)，讓學(xué)生嘗試解決，得到兩種解法后，幫助學(xué)生歸納解題策略，從而優(yōu)化思維；展示學(xué)生解題的紕漏或錯(cuò)誤，從和項(xiàng)共存的等式轉(zhuǎn)化為僅含項(xiàng)（或和）的等式時(shí)，容易忽略n≥2的條件，對n=1時(shí)是否適合需要檢驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性；設(shè)計(jì)變式練習(xí)，讓學(xué)生加深對解決此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)的認(rèn)識，并將問題進(jìn)一步發(fā)展為數(shù)列不等式的證明問題，培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力. 從知識的角度復(fù)習(xí)了等差、等比數(shù)列、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識，從思想方法的角度，解決這些有聯(lián)系的問題，需要運(yùn)用分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、特殊化思想、一般化思想.

選好題、用好題是解題教學(xué)的“左臂右膀”，選好題是解題教學(xué)的根本和保障，用好題是解題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 解題教學(xué)的目標(biāo)就是通過問題載體，感悟解題過程，領(lǐng)悟解題方法，最終清晰提煉出隱含在解題中的數(shù)學(xué)思想方法.