張丹丹，林若蘭

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

近幾年高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題分類及解法

張丹丹，林若蘭

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

坐標(biāo)系與參數(shù)方程是近年高考的選做題之一。以研究高考試題來認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容、把握重點(diǎn)和教學(xué)要求是提高教學(xué)水平的重要途徑。通過對(duì)2010-2013年全國(guó)各?。ㄊ?、區(qū)）高考理科所有試題的統(tǒng)計(jì)分析，得出坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題的主要題型分類，并對(duì)各類試題的解法進(jìn)行了總結(jié)，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

高考；坐標(biāo)系；參數(shù)方程；試題；方法

高中坐標(biāo)系與參數(shù)方程的內(nèi)容分布在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[1]（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）教科書數(shù)學(xué)選修4-4[2]，在高考中所占的分值通常在5-10分。因此，坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)教學(xué)重要內(nèi)容之一。以研究高考試題來認(rèn)識(shí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的教學(xué)內(nèi)容、把握重點(diǎn)和教學(xué)要求是提高教學(xué)水平的重要途徑。

近年來有不少研究高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程的文獻(xiàn)。如文[3]通過對(duì)2010年考試大綱和實(shí)例分析，得到高考考察的知識(shí)點(diǎn)，并提出了本專題的重點(diǎn)和難點(diǎn)；文[4]對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》編寫時(shí)考慮的幾個(gè)主要問題，對(duì)教學(xué)提出了建議；文[5]對(duì)2011年新課標(biāo)高考試題進(jìn)行分類評(píng)析，得到高考考題的主要形式及難度；文[6]以考情分析為主，探究出規(guī)律和考點(diǎn)以及需要掌握的知識(shí)。這些文獻(xiàn)只是從一年的試題、或考試大綱、或教材編寫來分析教學(xué)要求，通過連續(xù)四年全國(guó)所有高考試題的統(tǒng)計(jì)分析來認(rèn)識(shí)教材的文獻(xiàn)未見報(bào)道。

本文以2010-2013年高考理科坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題為基本材料，在分析試題的知識(shí)點(diǎn)和解題能力要求的基礎(chǔ)上，提出對(duì)高中坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)要求的認(rèn)識(shí)，供中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考。

1 試題分析

通過對(duì)近四年48套高考試題的分析，坐標(biāo)系與參數(shù)方程的試題總是代數(shù)與幾何相結(jié)合；主要以填空題（5-8分）、解答題（7-10分）的形式出現(xiàn)；有時(shí)也會(huì)以選擇題的形式出現(xiàn)（分值一般在5-6分）。試題類型與解題要求分析如下。

2.1 參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化

由曲線的參數(shù)方程判斷曲線的類型是高考的考點(diǎn)之一，往往要求根據(jù)曲線的參數(shù)方程判斷曲線的類型或兩曲線的位置關(guān)系，如：2010年全國(guó)課標(biāo)卷第23題、湖南卷第4題；2011年福建卷第21題；2012年福建卷第21題；2013年全國(guó)課標(biāo)卷第23題。也有獨(dú)立的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的試題，如：2010年天津卷第15題和2011年江蘇卷第21題。

參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)當(dāng)掌握以下幾類方程之間的關(guān)系，并注意變量的變化范圍。

經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程為

參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程時(shí)，消去參數(shù)方程中的參數(shù)即可，但要注意直角坐標(biāo)方程中變量x、y的取值范圍應(yīng)與參數(shù)方程中參數(shù)的取值對(duì)應(yīng)，消去參數(shù)的具體方法要根據(jù)參數(shù)方程的特點(diǎn)來考慮。消去參數(shù)的方法有：代入消去法，由其中一式解出t，代人另一式；加減消去法，由兩式加減（平方加或減）或乘除消去參數(shù)t；換元法，通過代數(shù)或三角換元消去參數(shù)t。

直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，要恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)t和函數(shù)x=?(t)，并且使x=?(t)的值域與直角坐標(biāo)方程中變量x的范圍一致，然后將x=?(t)代人直角坐標(biāo)方程中解出y=g(t)，即得參數(shù)方程

2.2 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化

極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程在高考試題中很常見，如：2010年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷第23題、陜西卷第15題、重慶卷第8題、廣東卷第15題、江蘇卷第21題、安徽卷第7題、福建卷第21題；2011年陜西卷第15題、湖南卷第9題、遼寧卷第23題、廣東卷第14題、安徽卷第5題、北京卷第3題、上海卷第5題、江西卷第15題；2012年湖南卷第9題、廣東卷第14題、福建卷第21題、安徽卷第13題、北京卷第9題、2013年重慶卷第15題、江蘇卷第21題、遼寧卷第23題、天津卷第11題。

極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，首先應(yīng)當(dāng)掌握互化的前提條件：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；極軸與軸正方向重合；兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度。

其次是掌握互化公式：設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（x，y），它的極坐標(biāo)為則

2.3 動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程

動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程問題在近年的高考中是很常見的，如：2010年全國(guó)課標(biāo)卷Ⅰ第23題、遼寧卷第23題；2012年遼寧卷第23題；2013年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷第23題、陜西卷第17題，2012年全國(guó)課標(biāo)卷Ⅰ第23題、江西卷第15題、遼寧卷第23題、上海卷第10題、江蘇卷第21題；2013年江西卷第15題、廣東卷第14題、安徽卷第7題。

這類問題可用以下方法解題。方法一，按求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般步驟求建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡(jiǎn)整理；方法二，若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)依賴已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)N而運(yùn)動(dòng)，則可將轉(zhuǎn)化后的動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)代入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；方法三，若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；方法四，若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不容易找到，而動(dòng)點(diǎn)變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程；方法五，求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程。

求動(dòng)點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程的一般方法為：選擇適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，將已知條件用動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式表示出來，得到軌跡的極坐標(biāo)方程。但是，求關(guān)系是較為困難的，一般考慮兩種方法。方法一，直接法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時(shí)，先設(shè)出曲線上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)為再根據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用基本公式，如三角函數(shù)定義，勾股定理，正（余）弦定理等列出的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后即得軌跡方程；方法二，利用關(guān)鍵三角形：因?yàn)辄c(diǎn)的極坐標(biāo)是用長(zhǎng)度與角度表示的，所以建立極坐標(biāo)方程常常可以在一個(gè)三角形中實(shí)現(xiàn)。建立起這個(gè)三角形邊與角的關(guān)系，也就建立起了極坐標(biāo)中的關(guān)系，化簡(jiǎn)后即得軌跡方程。

2.4 根據(jù)軌跡的參數(shù)方程求坐標(biāo)

根據(jù)軌跡的參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)越來越受關(guān)注，尤其是在近四年高考中所占的比重越來越大，如：2010年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷第23題、陜西卷第15題、廣東卷第15題、遼寧卷第23題；2011年北京卷第5題、廣東卷第14題；2012年遼寧卷第23題、廣東卷第14題；2013年遼寧卷第23題、江蘇卷第21題。

根據(jù)軌跡的參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)問題，可分為兩種方法。方法一，將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)系下描繪圖形，最終得到點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二，將軌跡的參數(shù)方程在極坐標(biāo)系上表示出來，就能得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

2.5 根據(jù)曲線的參數(shù)方程求兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

由曲線參數(shù)方程求兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題在三個(gè)地區(qū)的試題中出現(xiàn)：2010年安徽卷第7題；2011年湖南卷第9題；2012年北京卷第9題。

事實(shí)上，求曲線C1：?1(x，y)=0與曲線C2：?2(x，y)=0的交點(diǎn)，就是求方程組的實(shí)數(shù)解。

2.6 求未知參數(shù)

求未知參數(shù)的問題仍是高考常見的問題，如：2010年江蘇卷第21題；2011年遼寧卷第23題、天津卷第11題；2012年湖南卷第9題、天津卷第12題；2013年遼寧卷第23題、湖南卷第9題。

求未知參數(shù)的基本方法是先將原有的參數(shù)方程或者極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，判斷其類型，根據(jù)類型找出它們特有的性質(zhì)，最后應(yīng)用幾何或代數(shù)關(guān)系列出相應(yīng)的等式求解。

2.7 由極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程求兩點(diǎn)的距離

由極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程求兩點(diǎn)的距離近四年在多數(shù)地區(qū)的試題中出現(xiàn)，如：2010年福建卷第21題；2011年全國(guó)課標(biāo)卷第23題、陜西卷第15題、安徽卷第5題、福建卷第21題；2012年全國(guó)課標(biāo)卷第23題、陜西卷第15題、安徽卷第13題；2013年重慶卷第15題、北京卷第9題、天津卷第11題、上海卷第7題。

在極坐標(biāo)方程中求兩點(diǎn)間距離的方法，通常采用余弦定理，相當(dāng)于知道三角形兩邊長(zhǎng)度和其所夾的夾角，求第三邊。當(dāng)然，也可將極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，確定點(diǎn)的直角坐標(biāo)后即可求兩點(diǎn)間的距離。

3 結(jié)束語

本文僅僅在分析近四年高考理科坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題的基礎(chǔ)上得出試題分類及其相應(yīng)的解答方法，為高中坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題的教學(xué)提供參考。要提高該專題的教學(xué)質(zhì)量，還需要對(duì)文科試題進(jìn)行分析，認(rèn)真研讀《課標(biāo)》要求，領(lǐng)會(huì)教科書的編寫意圖，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，才能制定出科學(xué)的教學(xué)方案。

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社,2003.2-35.

[2]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修4-4[M].北京：人民教育出版社,2007.1-45.

[3]龔麗君.從新課程高考看《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的教學(xué)與復(fù)習(xí)[J].新課程學(xué)習(xí)（學(xué)術(shù)教育）,2010,(8)：101-102.

[4]章建躍,郭慧清.人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》簡(jiǎn)析[J].福建教育,2009,(3)：58-59.

[5]鄭新春.2011年新課標(biāo)高考試題分類評(píng)析[J].高中數(shù)理化, 2012,(5)：8-9.

[6]高慧明.新課程高考“幾何證明選講，坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講”命題規(guī)律與教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012,(5)：18-25.

（責(zé)任編輯：朱彬）

On the Classification of Test Questions of Coordinate System and Parameter Equation and Their Solutions in the Rencent Entrance Exams for Higher Schools

ZHANG Dan-dan,LIN Ruo-lan
(School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

Coordinate system and parameter equation are one of the options in the entrance exam,and it is an important way to improve teaching ability to know teaching content,key points of teaching and teaching requirement by means of looking at test questions in entrance exams.Through the statistic analysis of all the test questions from entrance exam papers for science students from 2010 to 2013, we classify all the major test questions and their solutions,providing certain suggestions or advice for the teaching of mathematics of senior high schools.

entrance exam;coordinate system;parameter equation;test questions;solution

G632.0

：A

1009-3583（2014）-0122-03

2014-06-12

貴州省基礎(chǔ)教育科研基金項(xiàng)目（2012B275）；遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究課題（13ZYJ031）

張丹丹，女，貴州桐梓縣人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2011級(jí)學(xué)生。