狄鵬，黎放，陳童

(海軍工程大學(xué) 管理工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

隨著軍事裝備功能與結(jié)構(gòu)的日益復(fù)雜，系統(tǒng)功能與故障模式表現(xiàn)出多樣性的特點(diǎn)，將系統(tǒng)狀態(tài)簡單分為“運(yùn)行”和“故障”的傳統(tǒng)可靠性分析方法已經(jīng)顯現(xiàn)出很大的局限性［1-2］。因此，多狀態(tài)系統(tǒng)于20世紀(jì)70年代被提出［3］，到20世紀(jì)80年代初步建立了多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性理論。

多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性解析模型研究作為一個重要方向，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［4］。如Amico 等［5］利用非齊次半馬爾可夫過程研究了具有M+1 個工作狀態(tài)的系統(tǒng)可靠性問題。Lisnianski 等［6］利用多狀態(tài)馬爾可夫模型研究了具有多性能狀態(tài)的大型發(fā)電機(jī)組的可靠性規(guī)律，其中假設(shè)系統(tǒng)工作狀態(tài)的轉(zhuǎn)移服從指數(shù)分布，采用參數(shù)估計(jì)法獲取各轉(zhuǎn)移速率。Levitin 等［7］利用通用函數(shù)法和可靠性框圖研究了多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性規(guī)律。Moghaddass等［8］采用參數(shù)估計(jì)法對具有連續(xù)狀態(tài)劣化情況的環(huán)境監(jiān)測設(shè)備的可靠性規(guī)律進(jìn)行了研究。王麗花等［9］利用馬爾可夫過程研究了離散狀態(tài)退化系統(tǒng)的可靠性問題，維修策略選擇小修和一般型更換，部件更換時間服從一般分布。Yuan 等［10］利用幾何過程研究了存在性能退化的可修系統(tǒng)可靠性問題，模型假設(shè)系統(tǒng)有一個多重休假模式的維修工，系統(tǒng)故障時間和維修工休假時間服從指數(shù)分布，維修時間為一般分布。

上述研究具有如下特點(diǎn):解析建模過程復(fù)雜，模型假設(shè)條件嚴(yán)格，模型只適用于特定對象，重用性不佳。為了改善這種情況，Phase-type(PH)分布被引入到多狀態(tài)可修系統(tǒng)可靠性解析建模工作中。Frostig 等［11］研究了具有連續(xù)劣化和隨機(jī)沖擊的可修系統(tǒng)，沖擊烈度服從PH 分布。Ruiz-Castro 等［12］研究了具有多狀態(tài)部件的n 中取k 系統(tǒng)，部件壽命和維修時間均服從離散PH 分布。Segovia 等［13］研究了具有外部沖擊和內(nèi)部磨損的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性，沖擊到達(dá)間隔時間和沖擊損壞效果均服從連續(xù)PH 分布。

PH 分布作為指數(shù)分布的矩陣形式推廣，保持了指數(shù)分布的易處理性，其密度函數(shù)、拉普拉斯變換和各階矩等都具有簡潔的矩陣表示和概率意義。而由PH 分布在非負(fù)實(shí)數(shù)軸上全體概率分布函數(shù)中的稠密性所決定，對于任何非負(fù)隨機(jī)變量，總可以找到一個PH 分布把該隨機(jī)變量逼近到任意需要的精度。即對于未知分布規(guī)律，假設(shè)為PH 分布是合理的。因此采用PH 分布作為解析模型假設(shè)條件能夠有效提升模型的描述能力。此外，PH 分布在很多情況下使模型分析中復(fù)雜的數(shù)值積分轉(zhuǎn)化為矩陣運(yùn)算，有利于提升模型的可計(jì)算性［14］。

本文對多狀態(tài)可修系統(tǒng)的一類常見現(xiàn)象展開研究，即這類系統(tǒng)通?？梢愿鶕?jù)實(shí)際需要選擇不同方式的維修，維修效果也隨之不同。本文考慮修理后恢復(fù)到修前狀態(tài)、維修效果較差和維修效果好3 種效果，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可以劃分為完好、一般和故障3 種狀態(tài)集，其中系統(tǒng)在完好和一般狀態(tài)的停留時間為系統(tǒng)工作時間。模型假設(shè)系統(tǒng)工作時間和維修時間均服從連續(xù)PH 分布，通過建立系統(tǒng)狀態(tài)馬爾可夫轉(zhuǎn)換的無窮小生成元矩陣，求得各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率向量，給出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、穩(wěn)態(tài)故障率的解析表達(dá)式，并通過算例驗(yàn)證模型的有效性和適用性。

下面首先對連續(xù)PH 分布作簡要介紹。

1 連續(xù)PH 分布

定義［15］［0，+∞)上的概率分布函數(shù)F(·)稱為PH 分布，并具有m 階(α，T)表示，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個有限狀態(tài)馬爾可夫過程的吸收時間分布，有分布函數(shù)F(x)=1 -αexp (Tx)eT.

該馬爾可夫過程具有狀態(tài)集{1，…，m，m +1}，狀態(tài)1，…，m 都是非常返的(瞬態(tài))，狀態(tài)m +1 是吸收態(tài)。初始概率為(α，αm+1)，其中α=(α1，…，αm)且滿足αeT+αm+1=1，e 為元素值均為1 的行向量，eT為e 的轉(zhuǎn)置。該馬爾可夫過程無窮小生成元Q 可寫成下列分塊形式:式中:T =(Tij)為m 階方陣，Tij≥0 (i≠j;i、j =1，…，m)表示從瞬態(tài)i 至瞬態(tài)j 的轉(zhuǎn)移率，且滿足Tii＜0;T0=(T01，…，T0m)T是非負(fù)列向量，其中T0i 表示從瞬態(tài)i至吸收態(tài)的轉(zhuǎn)移率，滿足TeT+T0=0. PH 分布中的每一個瞬態(tài)稱為相位。

2 問題描述

某多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)集為S={1，…，n，n+1}.根據(jù)系統(tǒng)工況，可以將S 分為3 類:完好狀態(tài)，即系統(tǒng)性能保持在設(shè)計(jì)指標(biāo)附近，有狀態(tài)集G ={1，…，k};一般狀態(tài)，即系統(tǒng)可以正常運(yùn)行，但性能較差，有狀態(tài)集B={k +1，…，n};故障狀態(tài)，指系統(tǒng)發(fā)生停機(jī)故障，有狀態(tài)集F ={n +1}，此時必須經(jīng)過修理，系統(tǒng)才能恢復(fù)到狀態(tài)集G 或B.

由于使用和環(huán)境等因素影響，系統(tǒng)會從完好和一般狀態(tài)直接進(jìn)入故障狀態(tài)。而本文考慮3 種維修效果:

1)修后恢復(fù)修前狀態(tài)，即系統(tǒng)經(jīng)過維修后，返回到發(fā)生故障前一刻的狀態(tài)，如圖1所示。

圖1 修后恢復(fù)修前狀態(tài)示意圖Fig.1 System state being the same as good/old after repair

2)維修效果較差，即系統(tǒng)經(jīng)過維修，只能恢復(fù)到一般狀態(tài)集B，如圖2所示。

圖2 維修效果較差的系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖Fig.2 Transition of system state for imperfect repair

3)維修效果好，即系統(tǒng)經(jīng)過維修，恢復(fù)到完好狀態(tài)集G，如圖3所示。

圖3 維修效果好的系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖Fig.3 Transition of system state for perfect repair

對該系統(tǒng)做進(jìn)一步假設(shè):

1)系統(tǒng)工作時間，即系統(tǒng)在狀態(tài)集G 和B 的停留時間服從PH 分布，(α，T)為該P(yáng)H 分布的n 階不可約表示，其中α 和T 可以表示為分塊形式:α=

矩陣TGG、TGB、TBG和TBB分別表示系統(tǒng)在狀態(tài)集G 和B 內(nèi)部和相互之間的轉(zhuǎn)移速率。通常不經(jīng)過維修時，系統(tǒng)不能從一般狀態(tài)轉(zhuǎn)換到完好狀態(tài)，故TBG=0.

工作時間吸收速率矩陣T0亦可寫為分塊形式:

2)系統(tǒng)維修時間，即系統(tǒng)在狀態(tài)集F 的停留時間服從PH 分布，(β，S)為該P(yáng)H 分布的m 階不可約表示。

因此，有PGGe+PGBe=e，PBGe+PBBe=e.

3 模型分析

3.1 無窮小生成元矩陣

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變化情況，需定義4 個宏?duì)顟B(tài):OG、OB、RG、RB. 系統(tǒng)狀態(tài)空間為Ω=OG∪OB∪RG∪RB，其中:OG={(i)，i∈G}表示系統(tǒng)處于完好狀態(tài)的相位i;OB={(i)，i∈B}表示系統(tǒng)處于一般狀態(tài)的相位i;RG={(i，j)，i∈G，j=1，…，m}表示系統(tǒng)故障前處于完好狀態(tài)的相位i，維修狀態(tài)處于相位j;RB={(i，j)，i∈B，j=1，…，m}表示系統(tǒng)故障前處于一般狀態(tài)的相位i，維修狀態(tài)處于相位j.

因此，該馬爾可夫鏈的無窮小生成元矩陣可以表示為

式中運(yùn)算符?為Kronecker 積［14］，下面分別從4 個方面說明Q 中各元素的構(gòu)成。

3.1.1 宏?duì)顟B(tài)OX向OY(X，Y∈{G，B})的轉(zhuǎn)移

以宏?duì)顟B(tài)OG向OG的轉(zhuǎn)移為例，系統(tǒng)在OG內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)移，因此相位i(i∈G)之間的轉(zhuǎn)移率矩陣為TGG. 同理，可知宏?duì)顟B(tài)OB內(nèi)部，以及宏?duì)顟B(tài)OG和OB之間的轉(zhuǎn)移率矩陣。

3.1.2 宏?duì)顟B(tài)OX向RY(X，Y∈{G，B})的轉(zhuǎn)移

以宏?duì)顟B(tài)OG向RG的轉(zhuǎn)移為例，說明系統(tǒng)進(jìn)入故障狀態(tài)的前一刻處于G，并以初始概率β 進(jìn)入維修相位，因此有diag(T0G)?β，其中diag(T0G)為將單位矩陣的對角線元素?fù)Q為T0G各分量。同理，可得OB向RB的轉(zhuǎn)移率矩陣。

以宏?duì)顟B(tài)OB向RG的轉(zhuǎn)移為例，因?yàn)橄到y(tǒng)進(jìn)入故障狀態(tài)的前一刻處于B，不可能進(jìn)入宏?duì)顟B(tài)RG，因此為0 矩陣。同理，可得OG向RB的轉(zhuǎn)移率矩陣。

3.1.3 宏?duì)顟B(tài)RX向OY(X，Y∈{G，B})的轉(zhuǎn)移

以宏?duì)顟B(tài)RG向OG的轉(zhuǎn)移為例，說明維修活動進(jìn)入了吸收態(tài)，同時以概率矩陣PGG返回G，因此有PGG?S0. 同理，可得RG向OB、RB向OG、RB向OB的轉(zhuǎn)移率矩陣。

3.1.4 宏?duì)顟B(tài)RX向RY(X，Y∈{G，B})的轉(zhuǎn)移

以宏?duì)顟B(tài)RG向RG的轉(zhuǎn)移為例，系統(tǒng)在維修狀態(tài)內(nèi)部發(fā)生相位轉(zhuǎn)移，即I?S. 同理，可得RB向RB的轉(zhuǎn)移率矩陣。

因?yàn)椴豢赡馨l(fā)生RG向RB、RB向RG的轉(zhuǎn)移，故相應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣均為0 矩陣。

3.2 穩(wěn)態(tài)概率向量

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時，由連續(xù)時間馬爾可夫過程穩(wěn)態(tài)概率向量定義［15］，無窮小生成元Q 矩陣中各個宏?duì)顟B(tài)所對應(yīng)的概率組成了穩(wěn)態(tài)概率向量π=(πOG，πOB，πR，πRB)，并且π 滿足如下方程組:

將上述方程組展開，得(2)式～(6)式:

由(4)式和(5)式可知:

將(7)式、(8)式代入(2)式、(3)式和(6)式，即可求得π.

3.3 系統(tǒng)特性

3.3.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

在獲得π 后，可以確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度，即系統(tǒng)處于宏?duì)顟B(tài)OG和OB的概率:

3.3.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率

故障率是系統(tǒng)分別從完好和一般狀態(tài)進(jìn)入維修狀態(tài)的速率，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，穩(wěn)態(tài)故障率為

3.4 維修效果對系統(tǒng)的影響

下面考慮模型的特例:系統(tǒng)只存在一種維修效果的情況。

3.4.1 修后恢復(fù)修前狀態(tài)

令向量δG為從維修狀態(tài)進(jìn)入完好狀態(tài)各相位的概率，向量δB為從維修狀態(tài)進(jìn)入一般狀態(tài)各相位的概率。則PGG=eδG，PGB=0，PBG=0，PBB=eδB，并有

3.4.2 維修效果較差

此時PGG=0，PGB=eδB，PBG=0，PBB=eδB，并有

3.4.3 維修效果好

此時PGG=eδG，PGB=0，PBG=eδG，PBB=0，并有

4 算例

4.1 模型有效性驗(yàn)證

某型艦用電站系統(tǒng)具有5 種工作狀態(tài)，如表1所示。

表1 電站系統(tǒng)工作狀態(tài)表Tab.1 Operating states of power station

將該型電站系統(tǒng)功率在50%以上的工況劃分為完好狀態(tài)，其余工況歸為一般狀態(tài)，故障停機(jī)時為故障狀態(tài)。該系統(tǒng)初始狀態(tài)概率向量為α=(1，0，0，0，0)。對該型電站系統(tǒng)長期的運(yùn)行和維修記錄等數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得各工況之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣為

維修時間分布為

系統(tǒng)維修后狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

由3.2 節(jié)得出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量后，根據(jù)(9)式和(10)式，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A =0.961 6，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率r=0.255 7 次/1 000 h.

該算例說明利用本文模型能夠有效獲得該類多狀態(tài)可修系統(tǒng)的可靠性參數(shù)。下面通過改變模型輸入的隨機(jī)分布類型，驗(yàn)證模型的適用性。

4.2 模型適用性驗(yàn)證

當(dāng)系統(tǒng)維修時間服從指數(shù)分布、Weibull 分布等典型分布時，可以將這些分布表示為PH 形式［16］，再利用本文模型即可求得系統(tǒng)可靠性。首先假設(shè)系統(tǒng)維修時間服從修復(fù)率為μ 的指數(shù)分布，則β =(1)，S=(-μ). 令μ 在區(qū)間(0，20］中變化，可以計(jì)算得到修復(fù)率分別與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率之間的關(guān)系，如圖4和圖5所示。

圖4 修復(fù)率與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度關(guān)系圖Fig.4 Relationship between repair rate and stationary availability

圖5 修復(fù)率與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率關(guān)系圖Fig.5 Relationship between repair rate and stationary failure rate

圖4說明修復(fù)率取值的增大能夠有效增加系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度。對于本文研究的多狀態(tài)可修系統(tǒng)，在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之前，其故障率并非常數(shù)，只有當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，在給定修復(fù)率下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障率才會固定。而隨著修復(fù)率取值的增大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率也逐步上升，并最終趨于穩(wěn)定，如圖5所示。這是因?yàn)樾迯?fù)率直接影響到系統(tǒng)在完好狀態(tài)和一般狀態(tài)的停留時間，即穩(wěn)態(tài)概率πOG和πOB隨著修復(fù)率取值的增大而增大，結(jié)合(10)式可知，r 也將增大。圖5正是反映了r 與μ 之間的這種正相關(guān)關(guān)系。而r 最終趨向于某一穩(wěn)定值，這正是在忽略維修時間情況下系統(tǒng)長期運(yùn)行時，系統(tǒng)固有的故障率。

當(dāng)維修時間為Weibull 分布時，令a 為形狀參數(shù)，b 為尺度參數(shù)。采用文獻(xiàn)［16］方法將各Weibull分布擬合為PH 分布形式，然后帶入本文模型可得對應(yīng)系統(tǒng)可靠性參數(shù)如表2所示。

從表2可以看到，當(dāng)給定形狀參數(shù)a 后，尺度參數(shù)b 與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A 和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率r 均表現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系，分別如圖6和圖7所示，可以清楚地看到:b 取不同的值時，a 對A、r 的影響機(jī)理并不會因?yàn)閎 值不同而發(fā)生改變，顯現(xiàn)出本文算法的穩(wěn)定性。

算例說明本文模型能夠方便地用于不同隨機(jī)分布類型的輸入，適用范圍有所拓展。

表2 維修時間服從Weibull 分布時的系統(tǒng)可靠性Tab.2 System reliability measures with Weibull repair time

圖6 形狀參數(shù)a 對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的影響Fig.6 Influence of shape parameter a on system stationary availability

圖7 形狀參數(shù)a 對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障率的影響Fig.7 Influence of shape parameter a on system stationary failure rate

5 結(jié)束語

本文采用PH 分布研究了具有不同維修效果的多狀態(tài)可修系統(tǒng)可靠性規(guī)律，在保證良好解析特性的同時，有效提升了模型的描述能力。本文模型在計(jì)算時主要涉及矩陣運(yùn)算，而目前高性能計(jì)算機(jī)和矩陣解析理論的應(yīng)用能對大型矩陣的運(yùn)算提供良好的支持，算例充分演示了模型的良好計(jì)算性和適用性。

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