吳道春

1東西方對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知差異

數(shù)學(xué)家們一般認(rèn)為： 數(shù)學(xué)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)性和演繹性的辯證統(tǒng)一. 數(shù)學(xué)源于生活，如計(jì)算時(shí)間、分配物品、丈量土地和容積等，所以19世紀(jì)之前，人們一般認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué). 19世紀(jì)以來(lái)，隨著近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，特別是歐式幾何、非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中到這些抽象對(duì)象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離漸漸遠(yuǎn)去，數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué). 1931年，歌德爾不完全性定理的證明宣告公理化邏輯演繹系統(tǒng)存在缺憾，匈牙利著名數(shù)學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯對(duì)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性和演繹性作出概括，認(rèn)為數(shù)學(xué)具有擬經(jīng)驗(yàn)性. 當(dāng)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，人們可以用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和機(jī)器證明，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)性和演繹性的新的融合和統(tǒng)一.

近現(xiàn)代，數(shù)學(xué)在西方科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的發(fā)展中得到廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值逐漸被人們重視，形成和發(fā)展了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——應(yīng)用數(shù)學(xué)，西方的數(shù)學(xué)教育也走向了重實(shí)用和經(jīng)驗(yàn)的道路；中國(guó)的數(shù)學(xué)教育受蘇聯(lián)的影響很大，在八九十年代走上了與中國(guó)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)相反，追求嚴(yán)密化、形式化的道路，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的演繹性. 對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同側(cè)重，是東西方在數(shù)學(xué)教育理念、數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、教材結(jié)構(gòu)體系、課堂教學(xué)方式、概念理解、技能訓(xùn)練、問題解決、數(shù)學(xué)探究和綜合難度等方面存在差異的根源.

2東西方數(shù)學(xué)教育的差異

2.1數(shù)學(xué)教育理念

我國(guó)的數(shù)學(xué)教育側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的演繹性，所以，一直以來(lái)我們特別強(qiáng)調(diào)“雙基”教學(xué)，只有學(xué)生的“雙基”扎實(shí)了，他們才能夠發(fā)展較高水平的演繹推理能力；教材、教輔和考試試卷中有很多題難度水平比較高，設(shè)置這些難題的主要目的就是要培養(yǎng)和考查學(xué)生的演繹推理能力. 美英等國(guó)的數(shù)學(xué)教育側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性，鼓勵(lì)學(xué)生試驗(yàn)、觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、探究、交流、創(chuàng)造，重視培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手和創(chuàng)造能力. 因此，我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)較扎實(shí)，解題水平較高，而動(dòng)手和創(chuàng)造能力就不如美英國(guó)家.

2.2數(shù)學(xué)課程目標(biāo)

我國(guó)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）確定的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是：（1） 獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用. 通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程；（2）提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力；（3）提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力；（4）發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷；（5）提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度；（6）具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.

美國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)（2000版）中這樣敘述：我們的數(shù)學(xué)課程必須聯(lián)系我們的學(xué)生的興趣；聚焦數(shù)學(xué)的邏輯與實(shí)驗(yàn)特征；為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)豐富的環(huán)境；了解學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn). 英國(guó)2000年國(guó)家數(shù)學(xué)課程的三大目標(biāo)：讓大多數(shù)人掌握“基本技能”；為少數(shù)人傳授一定的符號(hào)操作和運(yùn)算的知識(shí)；培養(yǎng)“現(xiàn)實(shí)生活”應(yīng)用所需的技能.

可以看出，我國(guó)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)首先是使學(xué)生獲得必需的基本知識(shí)和基本技能，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 美國(guó)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生的興趣，為學(xué)生的實(shí)驗(yàn)、操作和體驗(yàn)創(chuàng)設(shè)環(huán)境. 我們的課程目標(biāo)傾向于“建立在雙基和思維基礎(chǔ)上的體驗(yàn)和應(yīng)用”，而美國(guó)的課程目標(biāo)傾向于“建立在實(shí)驗(yàn)和操作基礎(chǔ)上的雙基和思維”. 英國(guó)的課程目標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性.

2.3數(shù)學(xué)課程內(nèi)容

我國(guó)的數(shù)學(xué)課程（以蘇教版教材為例）必修部分包括：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）；立體幾何初步、平面解析幾何初步；算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率；基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換；解三角形、數(shù)列、不等式. 選修部分包括：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；推理與證明、數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入、框圖；空間中的向量與立體幾何；計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)案例、概率.

美國(guó)在《標(biāo)準(zhǔn)（2000）》中為每個(gè)學(xué)段設(shè)立的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括：數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)、幾何、測(cè)量、數(shù)據(jù)分析與概率、問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表達(dá).

2000年英國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容包括：數(shù)與代數(shù)（使用和應(yīng)用數(shù)與代數(shù)，數(shù)與數(shù)系，計(jì)算，解數(shù)的問題，處理、表示和解釋數(shù)據(jù)，方程、公式和恒等式，數(shù)列、函數(shù)和圖像）；形狀、空間和測(cè)量（使用和應(yīng)用形狀、空間和測(cè)量，理解形狀的模式和性質(zhì)，理解位置和運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，理解測(cè)量，幾何推理，變換與坐標(biāo)，測(cè)量與作圖）；數(shù)據(jù)處理（使用和應(yīng)用數(shù)據(jù)，明確問題和制定計(jì)劃，收集數(shù)據(jù)，處理表示和解釋數(shù)據(jù)，解釋和討論結(jié)果）.

我國(guó)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容集中在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和邏輯推理上，講究學(xué)科內(nèi)容覆蓋的全面、層層遞進(jìn)和知識(shí)體系的完備，這是培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力的內(nèi)在要求. 美國(guó)和英國(guó)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容聯(lián)系實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，注重實(shí)用性，建立在學(xué)生的實(shí)驗(yàn)與操作的基礎(chǔ)之上，要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)應(yīng)用和問題解決.

2.4教材結(jié)構(gòu)體系

我們以中英兩國(guó)的數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)體系（見上圖）為例，我國(guó)的數(shù)學(xué)教材（蘇教版）每個(gè)課題的課時(shí)較多，前后聯(lián)系，由定理、公理構(gòu)成演繹體系，綜合難度高. 英國(guó)的數(shù)學(xué)教材（EXTER 大學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)改革中心”的MEP 試驗(yàn)教材.）側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)用性和經(jīng)驗(yàn)性，每個(gè)課題的課時(shí)較少，聯(lián)系不強(qiáng)，不深挖掘，綜合難度低.endprint

2.5課堂教學(xué)方式

在一節(jié)典型的中國(guó)數(shù)學(xué)課堂上，教師根據(jù)自己對(duì)課堂的精心設(shè)計(jì)有條不紊地講解概念和例題，學(xué)生全神貫注地聽講，理解概念，根據(jù)教師的示范和要求進(jìn)行解題訓(xùn)練，講究一題多變、一題多解，即我們通常所說的“變式教學(xué)”，學(xué)生在“變與不變”中加深對(duì)概念的理解，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)以及對(duì)方法、技巧的掌握等，從而他們的演繹推理能力不斷提高.

在一節(jié)典型的日本數(shù)學(xué)課堂上，教師通常出示一個(gè)復(fù)雜的問題，要求學(xué)生獨(dú)立地尋求各種不同的解法，然后進(jìn)行小組討論， 接著由教師和學(xué)生一起對(duì)各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，這樣做的目的提高學(xué)生的演繹推理和問題解決能力.

在一節(jié)典型的美國(guó)數(shù)學(xué)課堂上，常常由教師先給出實(shí)驗(yàn)和操作的要求，然后學(xué)生進(jìn)行操作、實(shí)驗(yàn)、探究和交流，或者教師給出某類問題的解法，然后學(xué)生練習(xí)一批類似的問題，整個(gè)課堂集中于學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)達(dá)到對(duì)事實(shí)和程序的掌握.

2.6關(guān)于概念理解

我國(guó)的數(shù)學(xué)課程力求從原理的角度來(lái)描述和分析數(shù)學(xué)概念，證明相關(guān)定理、性質(zhì)、公式和結(jié)論，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上獲得概念. 英國(guó)的學(xué)生在老師的指導(dǎo)下完成操作，觀察模式，歸納出相關(guān)概念，但這只是歸納，學(xué)生并不知道為什么. 英國(guó)學(xué)生的概念理解側(cè)重于對(duì)事實(shí)和程序的記憶，而我國(guó)學(xué)生一般需要理解概念的內(nèi)涵和外延. 這一差異也是由兩國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性和演繹性的不同側(cè)重決定的.

2.7關(guān)于技能訓(xùn)練

看一個(gè)關(guān)于教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的看法的國(guó)際性的調(diào)查問卷，問題是：“你希望學(xué)生在這堂課主要學(xué)到什么東西？”統(tǒng)計(jì)結(jié)果見下表：

美國(guó)和德國(guó)教師重視數(shù)學(xué)技能，而日本教師重視數(shù)學(xué)思維， 有理由相信如果將中國(guó)教師納入調(diào)查對(duì)象，結(jié)果也會(huì)與日本相似. 這與東西方對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同側(cè)重有著直接的關(guān)系.

一般認(rèn)為數(shù)學(xué)技能包含兩種：操作性技能和認(rèn)知性技能. 操作性數(shù)學(xué)技能是指在頭腦外部通過肌體活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的動(dòng)作，其活動(dòng)對(duì)象是物質(zhì)化的客體，是一種外顯活動(dòng). 認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能是指頭腦中的數(shù)學(xué)智力活動(dòng)，其活動(dòng)對(duì)象不是具有一定物質(zhì)形式的客體，而是這種客體在頭腦中的映象，因而是一種觀念性的活動(dòng). 西方側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性，聚焦操作性數(shù)學(xué)技能，如使用計(jì)算工具（計(jì)算機(jī)等）、統(tǒng)計(jì)、測(cè)量、作圖等，我國(guó)比較側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的演繹性，聚焦認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能，如運(yùn)算，式的恒等變換，解不等式，推理論證等.

2.8關(guān)于問題解決

中國(guó)數(shù)學(xué)課程中的問題解決具有以下特征：一般沒有實(shí)際背景；涉及連續(xù)的、環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)推理；需要學(xué)生主動(dòng)地挖掘隱含的信息；知識(shí)的綜合程度高，要求學(xué)生主動(dòng)建立概念、命題之間的聯(lián)系；可以分解為一系列的基本命題的組合，也可以通過局部調(diào)整產(chǎn)生各種新的變式題，因此題型的積累與相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)非常重要；技巧性高，要求解題者熟練掌握雙基，從而把注意力集中在尋找解題策略上；需要較長(zhǎng)的解題時(shí)間，高度集中的注意力，較強(qiáng)的意志力和較高的自信心；對(duì)智力是一個(gè)挑戰(zhàn)，絕大多數(shù)解題者都會(huì)遇到各種困難，許多人會(huì)遭受失??；一旦獲解，則會(huì)產(chǎn)生極大的滿足感；背景簡(jiǎn)單、清晰，一般不需要運(yùn)用日常生活的實(shí)際經(jīng)驗(yàn).

英國(guó)數(shù)學(xué)課程中的問題解決具有以下特征：通常具有實(shí)際或具體的背景；一般不涉及推理，或者只要求一步推理；題目中一般都包含有解題所需的全部信息，很少要求學(xué)生自己去挖掘除基本概念以外的隱含條件；一道題目一般只涉及單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，較少要求學(xué)生去建立不同概念之間的聯(lián)系；不必?fù)?dān)心會(huì)因?yàn)樾畔⒌姆彪s而顧此失彼；不同的題目之間缺少聯(lián)系，很少出現(xiàn)相互組合、或者相互化歸的情形；題型的積累與解題的經(jīng)驗(yàn)并不重要；解題進(jìn)程通常是單一方向的，即從條件到結(jié)論； 一般都有現(xiàn)成的解題程序，學(xué)生很少面臨解題思路的抉擇與調(diào)整；一般只需要幾分鐘就能解決問題；不同水平的學(xué)生通常有不同的要求，因此，絕大多數(shù)學(xué)生都不會(huì)遇到太多的解題障礙；背景的復(fù)雜性常常超過數(shù)學(xué)本身的復(fù)雜性.

總的來(lái)說，數(shù)學(xué)本身正以前所未有的“純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，邏輯演繹與實(shí)驗(yàn)歸納”相統(tǒng)一的方向發(fā)展. 這表明，數(shù)學(xué)教育改革也應(yīng)順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，在“兩極”之間尋求最佳的動(dòng)態(tài)平衡.endprint