蔣群飛

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，教師該如何讓學(xué)生在探究經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀肯旅婀P者以“圓的面積”為例，談一下自己的思考和嘗試。

本課教學(xué)之前，學(xué)生學(xué)的都是多邊形的面積，要計(jì)算圓這樣的曲邊圖形的面積，這是第一次碰到。讓學(xué)生完全自主探索如何把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形有很大難度。教材給出的明確提示，是讓學(xué)生利用教師提供的材料，自主發(fā)現(xiàn)圓的面積與拼成長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積公式。在這個(gè)過(guò)程中，教師要先讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的圖形面積計(jì)算方法以及推導(dǎo)過(guò)程，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，分析對(duì)比推導(dǎo)過(guò)程的共同點(diǎn)，使學(xué)生明白：將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，是一種基本的數(shù)學(xué)思想和方法。

一、剪紙游戲──開放性操作

【片段一】

師：同學(xué)們，上新課之前我們來(lái)做個(gè)小游戲。取出長(zhǎng)方形的紙和剪刀。誰(shuí)能馬上剪出一個(gè)正方形？

師：請(qǐng)你再用這個(gè)正方形紙和剪刀剪一個(gè)圓，比比誰(shuí)剪得好？ （學(xué)生剪圓）

生：我憑感覺(jué)就剪了一個(gè)，有點(diǎn)不像。

生：我剪出來(lái)的像一朵梅花。

生：我將紙對(duì)折再對(duì)折，然后剪一刀。

師：看看老師是怎么剪的，請(qǐng)你再試一試。

生：老師我成功了，你看。

生：老師我也成功了。

……

師：我們發(fā)現(xiàn)多折幾次，然后剪成短直線，折的次數(shù)越多，結(jié)果越像圓。其實(shí)，它是一個(gè)正多邊形。原來(lái)圖形經(jīng)過(guò)剪可以轉(zhuǎn)化成其他圖形。

【反思】圓是一個(gè)曲線圖形，它的面積公式推導(dǎo)與以往的平面圖形有質(zhì)的區(qū)別。學(xué)生不會(huì)馬上想到通過(guò)剪拼的方法，把圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)近似長(zhǎng)方形。學(xué)生無(wú)法在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)，特別是沒(méi)有課前的預(yù)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度可想而知。所以，讓學(xué)生破圓轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。筆者曾經(jīng)在班中做過(guò)調(diào)查，如果不借助其他任何工具在正方形紙上剪圓，總有部分同學(xué)想到這一方法。問(wèn)其原因，學(xué)生都說(shuō)在以前剪紙游戲中學(xué)到過(guò)的，看來(lái)學(xué)生是有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)的。將正方形紙對(duì)折一次、兩次、三次……次數(shù)越多，剪出的圖形越圓，這種極限思想在學(xué)生的操作中自然而然演繹，無(wú)須教師再費(fèi)力去講。課前通過(guò)安排這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，為本節(jié)課圓的轉(zhuǎn)化做好了鋪墊。

二、解疑導(dǎo)撥──溝通新舊知識(shí)

【片段二】

師：這是一個(gè)半徑為5厘米的圓，請(qǐng)大家想一想，怎樣能求出它的面積？

生：可以剪一剪。

生：根據(jù)周長(zhǎng)算一算。

生：可以把它剪開來(lái)拼成我們學(xué)過(guò)的圖形。

師：看來(lái)大部分同學(xué)有困難，不過(guò)剛才幾位同學(xué)講得很好，他們想到了用剪拼的方法來(lái)求圓的面積。老師打算給大家一個(gè)幫助，我們以前是怎么求平面圖形面積的？

生：把平行四邊形剪開，拼成長(zhǎng)方形。

生：用2個(gè)一樣的三角形拼成平行四邊形。

生：用2個(gè)一樣的梯形拼成平行四邊形。

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？

生：我們也可以剪一剪，把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。

生：剛才在剪圓的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)可以把圓平均分成許多份，把一個(gè)個(gè)小三角形拼成學(xué)過(guò)的圖形。

……

【反思】通過(guò)剪圓游戲，部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)正方形折的次數(shù)越多，剪出的圖形越接近圓。這個(gè)正多邊形是由一個(gè)個(gè)小三角形組成的。從這里可看出，課前剪圓非常必要，為破圓轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)提供了可能。教師通過(guò)梳理平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積計(jì)算方法，喚起了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而推想，圓的面積計(jì)算也可以用轉(zhuǎn)化的方法。同時(shí)幫助學(xué)生回顧這些圖形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)生的體驗(yàn)，促使其積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

三、化圓為方──經(jīng)歷生成

【片段三】

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？（同桌合作嘗試）

生：老師，我把圓平均分成4份，拼成平行四邊形。

師：你們覺(jué)得像嗎？

生：不像，有點(diǎn)彎。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成8份，拼成一個(gè)平行四邊形。

生：有點(diǎn)像了，下面平起來(lái)了。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成16份。

生：越來(lái)越像了，像平行四邊形。

師：老師這里有32份的，想看嗎？

教師演示32份、64份、128份，學(xué)生驚呼：哇，越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了！

師：如果繼續(xù)分，把圓等分幾十次、幾百次、幾千次、幾萬(wàn)次，再拼，想象這些圖形的底和形狀有什么變化？

【反思】保證學(xué)生有一定的時(shí)間去折、剪、拼、觀察，同時(shí)教師在小組間巡視，肯定學(xué)生的探索成果，及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。只有充分重視學(xué)生的主體地位，才有學(xué)生激烈的討論，去體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”“逼近”“極限”等數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生主動(dòng)探究、自我建構(gòu)和體驗(yàn)成功，教師適時(shí)地引導(dǎo)，課件創(chuàng)設(shè)各種情境，彌補(bǔ)了學(xué)生手工操作的缺陷和想象的不足。通過(guò)“教師引導(dǎo)”“動(dòng)手操作”“課件演示”“作品展示”等各種教學(xué)手段的有機(jī)結(jié)合，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和提升。

四、計(jì)算推導(dǎo)──理解深化

【片段四】

師：求出長(zhǎng)方形面積也就知道了圓的面積。長(zhǎng)方形面積怎么求？

生：長(zhǎng)×寬。

師：老師想給大家提個(gè)更高的要求，能不能在剛才研究的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式呢？剛才告訴你圓的半徑為5厘米，請(qǐng)你求出圓的面積。

生：3.14×10÷2×5=78.5（平方厘米）。

師：半徑為10厘米的圓，請(qǐng)你算算面積。

生：3.14×10×10=314（平方厘米）。

師：半徑為r厘米的圓，請(qǐng)你算算它的面積。

生：πr×r。

【反思】教師利用數(shù)、字母讓學(xué)生動(dòng)腦思考和推理，5厘米、10厘米、r厘米等幾個(gè)緊密聯(lián)系又層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)任務(wù)，最后達(dá)成面積公式符號(hào)化。借用學(xué)生的解釋、敘述，發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓全體學(xué)生再一次在大腦中回顧、重現(xiàn)。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的歷程，滿足了學(xué)生的心理需求。通過(guò)積極思考和合作交流得出了圓的面積計(jì)算公式，引發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的體會(huì)和領(lǐng)悟。

總之，通過(guò)本課教學(xué)，筆者對(duì)“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)實(shí)踐層面也有進(jìn)一步的思考：操作活動(dòng)的系統(tǒng)化有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟思想方法，形成能力。由于受到學(xué)生思維特點(diǎn)的限制，在教學(xué)時(shí)要借助實(shí)物、模型、圖形等具體的外部操作彌補(bǔ)學(xué)生的不足。但是直觀具體的操作常常依附個(gè)體操作，不便于學(xué)習(xí)過(guò)程的推進(jìn)，所以及時(shí)對(duì)操作活動(dòng)進(jìn)行回顧、反思、討論、總結(jié)，有助于正確處理思維與操作的聯(lián)系。例如片段二，學(xué)生探究活動(dòng)不是僅僅回憶具體的剪、拼等操作活動(dòng)，而是讓學(xué)生回憶并對(duì)在這一過(guò)程產(chǎn)生的較高級(jí)的思想方法進(jìn)行概括：轉(zhuǎn)化的思想。片段三是具體操作過(guò)程，不僅要求學(xué)生能描述、解釋自己是怎么做的，還要通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。片段四中的操作活動(dòng)的結(jié)果是產(chǎn)生圓面積公式S=πr2。這三個(gè)過(guò)程不能僅靠學(xué)生自主完成，還需要教師全過(guò)程補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)學(xué)生操作活動(dòng)的內(nèi)化。同樣，實(shí)現(xiàn)操作數(shù)學(xué)化，僅靠學(xué)生自己的努力是不夠的，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，并且有教師的組織和指導(dǎo)，這樣才能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的系統(tǒng)化，從而獲得更豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省海寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314400）endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，教師該如何讓學(xué)生在探究經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？下面筆者以“圓的面積”為例，談一下自己的思考和嘗試。

本課教學(xué)之前，學(xué)生學(xué)的都是多邊形的面積，要計(jì)算圓這樣的曲邊圖形的面積，這是第一次碰到。讓學(xué)生完全自主探索如何把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形有很大難度。教材給出的明確提示，是讓學(xué)生利用教師提供的材料，自主發(fā)現(xiàn)圓的面積與拼成長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積公式。在這個(gè)過(guò)程中，教師要先讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的圖形面積計(jì)算方法以及推導(dǎo)過(guò)程，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，分析對(duì)比推導(dǎo)過(guò)程的共同點(diǎn)，使學(xué)生明白：將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，是一種基本的數(shù)學(xué)思想和方法。

一、剪紙游戲──開放性操作

【片段一】

師：同學(xué)們，上新課之前我們來(lái)做個(gè)小游戲。取出長(zhǎng)方形的紙和剪刀。誰(shuí)能馬上剪出一個(gè)正方形？

師：請(qǐng)你再用這個(gè)正方形紙和剪刀剪一個(gè)圓，比比誰(shuí)剪得好？ （學(xué)生剪圓）

生：我憑感覺(jué)就剪了一個(gè)，有點(diǎn)不像。

生：我剪出來(lái)的像一朵梅花。

生：我將紙對(duì)折再對(duì)折，然后剪一刀。

師：看看老師是怎么剪的，請(qǐng)你再試一試。

生：老師我成功了，你看。

生：老師我也成功了。

……

師：我們發(fā)現(xiàn)多折幾次，然后剪成短直線，折的次數(shù)越多，結(jié)果越像圓。其實(shí)，它是一個(gè)正多邊形。原來(lái)圖形經(jīng)過(guò)剪可以轉(zhuǎn)化成其他圖形。

【反思】圓是一個(gè)曲線圖形，它的面積公式推導(dǎo)與以往的平面圖形有質(zhì)的區(qū)別。學(xué)生不會(huì)馬上想到通過(guò)剪拼的方法，把圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)近似長(zhǎng)方形。學(xué)生無(wú)法在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)，特別是沒(méi)有課前的預(yù)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度可想而知。所以，讓學(xué)生破圓轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。筆者曾經(jīng)在班中做過(guò)調(diào)查，如果不借助其他任何工具在正方形紙上剪圓，總有部分同學(xué)想到這一方法。問(wèn)其原因，學(xué)生都說(shuō)在以前剪紙游戲中學(xué)到過(guò)的，看來(lái)學(xué)生是有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)的。將正方形紙對(duì)折一次、兩次、三次……次數(shù)越多，剪出的圖形越圓，這種極限思想在學(xué)生的操作中自然而然演繹，無(wú)須教師再費(fèi)力去講。課前通過(guò)安排這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，為本節(jié)課圓的轉(zhuǎn)化做好了鋪墊。

二、解疑導(dǎo)撥──溝通新舊知識(shí)

【片段二】

師：這是一個(gè)半徑為5厘米的圓，請(qǐng)大家想一想，怎樣能求出它的面積？

生：可以剪一剪。

生：根據(jù)周長(zhǎng)算一算。

生：可以把它剪開來(lái)拼成我們學(xué)過(guò)的圖形。

師：看來(lái)大部分同學(xué)有困難，不過(guò)剛才幾位同學(xué)講得很好，他們想到了用剪拼的方法來(lái)求圓的面積。老師打算給大家一個(gè)幫助，我們以前是怎么求平面圖形面積的？

生：把平行四邊形剪開，拼成長(zhǎng)方形。

生：用2個(gè)一樣的三角形拼成平行四邊形。

生：用2個(gè)一樣的梯形拼成平行四邊形。

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？

生：我們也可以剪一剪，把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。

生：剛才在剪圓的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)可以把圓平均分成許多份，把一個(gè)個(gè)小三角形拼成學(xué)過(guò)的圖形。

……

【反思】通過(guò)剪圓游戲，部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)正方形折的次數(shù)越多，剪出的圖形越接近圓。這個(gè)正多邊形是由一個(gè)個(gè)小三角形組成的。從這里可看出，課前剪圓非常必要，為破圓轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)提供了可能。教師通過(guò)梳理平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積計(jì)算方法，喚起了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而推想，圓的面積計(jì)算也可以用轉(zhuǎn)化的方法。同時(shí)幫助學(xué)生回顧這些圖形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)生的體驗(yàn)，促使其積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

三、化圓為方──經(jīng)歷生成

【片段三】

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？（同桌合作嘗試）

生：老師，我把圓平均分成4份，拼成平行四邊形。

師：你們覺(jué)得像嗎？

生：不像，有點(diǎn)彎。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成8份，拼成一個(gè)平行四邊形。

生：有點(diǎn)像了，下面平起來(lái)了。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成16份。

生：越來(lái)越像了，像平行四邊形。

師：老師這里有32份的，想看嗎？

教師演示32份、64份、128份，學(xué)生驚呼：哇，越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了！

師：如果繼續(xù)分，把圓等分幾十次、幾百次、幾千次、幾萬(wàn)次，再拼，想象這些圖形的底和形狀有什么變化？

【反思】保證學(xué)生有一定的時(shí)間去折、剪、拼、觀察，同時(shí)教師在小組間巡視，肯定學(xué)生的探索成果，及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。只有充分重視學(xué)生的主體地位，才有學(xué)生激烈的討論，去體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”“逼近”“極限”等數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生主動(dòng)探究、自我建構(gòu)和體驗(yàn)成功，教師適時(shí)地引導(dǎo)，課件創(chuàng)設(shè)各種情境，彌補(bǔ)了學(xué)生手工操作的缺陷和想象的不足。通過(guò)“教師引導(dǎo)”“動(dòng)手操作”“課件演示”“作品展示”等各種教學(xué)手段的有機(jī)結(jié)合，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和提升。

四、計(jì)算推導(dǎo)──理解深化

【片段四】

師：求出長(zhǎng)方形面積也就知道了圓的面積。長(zhǎng)方形面積怎么求？

生：長(zhǎng)×寬。

師：老師想給大家提個(gè)更高的要求，能不能在剛才研究的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式呢？剛才告訴你圓的半徑為5厘米，請(qǐng)你求出圓的面積。

生：3.14×10÷2×5=78.5（平方厘米）。

師：半徑為10厘米的圓，請(qǐng)你算算面積。

生：3.14×10×10=314（平方厘米）。

師：半徑為r厘米的圓，請(qǐng)你算算它的面積。

生：πr×r。

【反思】教師利用數(shù)、字母讓學(xué)生動(dòng)腦思考和推理，5厘米、10厘米、r厘米等幾個(gè)緊密聯(lián)系又層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)任務(wù)，最后達(dá)成面積公式符號(hào)化。借用學(xué)生的解釋、敘述，發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓全體學(xué)生再一次在大腦中回顧、重現(xiàn)。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的歷程，滿足了學(xué)生的心理需求。通過(guò)積極思考和合作交流得出了圓的面積計(jì)算公式，引發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的體會(huì)和領(lǐng)悟。

總之，通過(guò)本課教學(xué)，筆者對(duì)“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)實(shí)踐層面也有進(jìn)一步的思考：操作活動(dòng)的系統(tǒng)化有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟思想方法，形成能力。由于受到學(xué)生思維特點(diǎn)的限制，在教學(xué)時(shí)要借助實(shí)物、模型、圖形等具體的外部操作彌補(bǔ)學(xué)生的不足。但是直觀具體的操作常常依附個(gè)體操作，不便于學(xué)習(xí)過(guò)程的推進(jìn)，所以及時(shí)對(duì)操作活動(dòng)進(jìn)行回顧、反思、討論、總結(jié)，有助于正確處理思維與操作的聯(lián)系。例如片段二，學(xué)生探究活動(dòng)不是僅僅回憶具體的剪、拼等操作活動(dòng)，而是讓學(xué)生回憶并對(duì)在這一過(guò)程產(chǎn)生的較高級(jí)的思想方法進(jìn)行概括：轉(zhuǎn)化的思想。片段三是具體操作過(guò)程，不僅要求學(xué)生能描述、解釋自己是怎么做的，還要通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。片段四中的操作活動(dòng)的結(jié)果是產(chǎn)生圓面積公式S=πr2。這三個(gè)過(guò)程不能僅靠學(xué)生自主完成，還需要教師全過(guò)程補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)學(xué)生操作活動(dòng)的內(nèi)化。同樣，實(shí)現(xiàn)操作數(shù)學(xué)化，僅靠學(xué)生自己的努力是不夠的，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，并且有教師的組織和指導(dǎo)，這樣才能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的系統(tǒng)化，從而獲得更豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省海寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314400）endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，教師該如何讓學(xué)生在探究經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？下面筆者以“圓的面積”為例，談一下自己的思考和嘗試。

本課教學(xué)之前，學(xué)生學(xué)的都是多邊形的面積，要計(jì)算圓這樣的曲邊圖形的面積，這是第一次碰到。讓學(xué)生完全自主探索如何把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形有很大難度。教材給出的明確提示，是讓學(xué)生利用教師提供的材料，自主發(fā)現(xiàn)圓的面積與拼成長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積公式。在這個(gè)過(guò)程中，教師要先讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的圖形面積計(jì)算方法以及推導(dǎo)過(guò)程，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，分析對(duì)比推導(dǎo)過(guò)程的共同點(diǎn)，使學(xué)生明白：將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形，是一種基本的數(shù)學(xué)思想和方法。

一、剪紙游戲──開放性操作

【片段一】

師：同學(xué)們，上新課之前我們來(lái)做個(gè)小游戲。取出長(zhǎng)方形的紙和剪刀。誰(shuí)能馬上剪出一個(gè)正方形？

師：請(qǐng)你再用這個(gè)正方形紙和剪刀剪一個(gè)圓，比比誰(shuí)剪得好？ （學(xué)生剪圓）

生：我憑感覺(jué)就剪了一個(gè)，有點(diǎn)不像。

生：我剪出來(lái)的像一朵梅花。

生：我將紙對(duì)折再對(duì)折，然后剪一刀。

師：看看老師是怎么剪的，請(qǐng)你再試一試。

生：老師我成功了，你看。

生：老師我也成功了。

……

師：我們發(fā)現(xiàn)多折幾次，然后剪成短直線，折的次數(shù)越多，結(jié)果越像圓。其實(shí)，它是一個(gè)正多邊形。原來(lái)圖形經(jīng)過(guò)剪可以轉(zhuǎn)化成其他圖形。

【反思】圓是一個(gè)曲線圖形，它的面積公式推導(dǎo)與以往的平面圖形有質(zhì)的區(qū)別。學(xué)生不會(huì)馬上想到通過(guò)剪拼的方法，把圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)近似長(zhǎng)方形。學(xué)生無(wú)法在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)，特別是沒(méi)有課前的預(yù)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度可想而知。所以，讓學(xué)生破圓轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。筆者曾經(jīng)在班中做過(guò)調(diào)查，如果不借助其他任何工具在正方形紙上剪圓，總有部分同學(xué)想到這一方法。問(wèn)其原因，學(xué)生都說(shuō)在以前剪紙游戲中學(xué)到過(guò)的，看來(lái)學(xué)生是有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)的。將正方形紙對(duì)折一次、兩次、三次……次數(shù)越多，剪出的圖形越圓，這種極限思想在學(xué)生的操作中自然而然演繹，無(wú)須教師再費(fèi)力去講。課前通過(guò)安排這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，為本節(jié)課圓的轉(zhuǎn)化做好了鋪墊。

二、解疑導(dǎo)撥──溝通新舊知識(shí)

【片段二】

師：這是一個(gè)半徑為5厘米的圓，請(qǐng)大家想一想，怎樣能求出它的面積？

生：可以剪一剪。

生：根據(jù)周長(zhǎng)算一算。

生：可以把它剪開來(lái)拼成我們學(xué)過(guò)的圖形。

師：看來(lái)大部分同學(xué)有困難，不過(guò)剛才幾位同學(xué)講得很好，他們想到了用剪拼的方法來(lái)求圓的面積。老師打算給大家一個(gè)幫助，我們以前是怎么求平面圖形面積的？

生：把平行四邊形剪開，拼成長(zhǎng)方形。

生：用2個(gè)一樣的三角形拼成平行四邊形。

生：用2個(gè)一樣的梯形拼成平行四邊形。

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？

生：我們也可以剪一剪，把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。

生：剛才在剪圓的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)可以把圓平均分成許多份，把一個(gè)個(gè)小三角形拼成學(xué)過(guò)的圖形。

……

【反思】通過(guò)剪圓游戲，部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)正方形折的次數(shù)越多，剪出的圖形越接近圓。這個(gè)正多邊形是由一個(gè)個(gè)小三角形組成的。從這里可看出，課前剪圓非常必要，為破圓轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)提供了可能。教師通過(guò)梳理平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積計(jì)算方法，喚起了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而推想，圓的面積計(jì)算也可以用轉(zhuǎn)化的方法。同時(shí)幫助學(xué)生回顧這些圖形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)生的體驗(yàn)，促使其積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

三、化圓為方──經(jīng)歷生成

【片段三】

師：那你打算怎樣把這個(gè)圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？（同桌合作嘗試）

生：老師，我把圓平均分成4份，拼成平行四邊形。

師：你們覺(jué)得像嗎？

生：不像，有點(diǎn)彎。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成8份，拼成一個(gè)平行四邊形。

生：有點(diǎn)像了，下面平起來(lái)了。

師：誰(shuí)能更像一點(diǎn)？

生：老師，我這個(gè)比較像，我把圓平均分成16份。

生：越來(lái)越像了，像平行四邊形。

師：老師這里有32份的，想看嗎？

教師演示32份、64份、128份，學(xué)生驚呼：哇，越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了！

師：如果繼續(xù)分，把圓等分幾十次、幾百次、幾千次、幾萬(wàn)次，再拼，想象這些圖形的底和形狀有什么變化？

【反思】保證學(xué)生有一定的時(shí)間去折、剪、拼、觀察，同時(shí)教師在小組間巡視，肯定學(xué)生的探索成果，及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。只有充分重視學(xué)生的主體地位，才有學(xué)生激烈的討論，去體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”“逼近”“極限”等數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生主動(dòng)探究、自我建構(gòu)和體驗(yàn)成功，教師適時(shí)地引導(dǎo)，課件創(chuàng)設(shè)各種情境，彌補(bǔ)了學(xué)生手工操作的缺陷和想象的不足。通過(guò)“教師引導(dǎo)”“動(dòng)手操作”“課件演示”“作品展示”等各種教學(xué)手段的有機(jī)結(jié)合，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和提升。

四、計(jì)算推導(dǎo)──理解深化

【片段四】

師：求出長(zhǎng)方形面積也就知道了圓的面積。長(zhǎng)方形面積怎么求？

生：長(zhǎng)×寬。

師：老師想給大家提個(gè)更高的要求，能不能在剛才研究的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式呢？剛才告訴你圓的半徑為5厘米，請(qǐng)你求出圓的面積。

生：3.14×10÷2×5=78.5（平方厘米）。

師：半徑為10厘米的圓，請(qǐng)你算算面積。

生：3.14×10×10=314（平方厘米）。

師：半徑為r厘米的圓，請(qǐng)你算算它的面積。

生：πr×r。

【反思】教師利用數(shù)、字母讓學(xué)生動(dòng)腦思考和推理，5厘米、10厘米、r厘米等幾個(gè)緊密聯(lián)系又層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)任務(wù)，最后達(dá)成面積公式符號(hào)化。借用學(xué)生的解釋、敘述，發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓全體學(xué)生再一次在大腦中回顧、重現(xiàn)。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的歷程，滿足了學(xué)生的心理需求。通過(guò)積極思考和合作交流得出了圓的面積計(jì)算公式，引發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的體會(huì)和領(lǐng)悟。

總之，通過(guò)本課教學(xué)，筆者對(duì)“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)實(shí)踐層面也有進(jìn)一步的思考：操作活動(dòng)的系統(tǒng)化有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟思想方法，形成能力。由于受到學(xué)生思維特點(diǎn)的限制，在教學(xué)時(shí)要借助實(shí)物、模型、圖形等具體的外部操作彌補(bǔ)學(xué)生的不足。但是直觀具體的操作常常依附個(gè)體操作，不便于學(xué)習(xí)過(guò)程的推進(jìn)，所以及時(shí)對(duì)操作活動(dòng)進(jìn)行回顧、反思、討論、總結(jié)，有助于正確處理思維與操作的聯(lián)系。例如片段二，學(xué)生探究活動(dòng)不是僅僅回憶具體的剪、拼等操作活動(dòng)，而是讓學(xué)生回憶并對(duì)在這一過(guò)程產(chǎn)生的較高級(jí)的思想方法進(jìn)行概括：轉(zhuǎn)化的思想。片段三是具體操作過(guò)程，不僅要求學(xué)生能描述、解釋自己是怎么做的，還要通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。片段四中的操作活動(dòng)的結(jié)果是產(chǎn)生圓面積公式S=πr2。這三個(gè)過(guò)程不能僅靠學(xué)生自主完成，還需要教師全過(guò)程補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)學(xué)生操作活動(dòng)的內(nèi)化。同樣，實(shí)現(xiàn)操作數(shù)學(xué)化，僅靠學(xué)生自己的努力是不夠的，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，并且有教師的組織和指導(dǎo)，這樣才能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的系統(tǒng)化，從而獲得更豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省海寧市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314400）endprint