李小蕾

摘 要： 本文就參考圓對(duì)研究簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的妙用作了概述。

關(guān)鍵詞： 簡諧運(yùn)動(dòng) 物理模型 參考圓 妙用

構(gòu)建物理模型，是研究物理問題的科學(xué)方法和重要手段。在簡諧運(yùn)動(dòng)的描述中，引入物理模型“參考圓”，不僅使簡諧運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)簡單易行，而且對(duì)抽象概念（如圓頻率，相位）的理解更具體形象。對(duì)學(xué)生而言，既降低了學(xué)習(xí)難度，明白了振動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，又體驗(yàn)到了科學(xué)的研究方法，為今后進(jìn)一步探究簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律開辟了廣闊天地。那么，什么是參考圓呢？參考圓對(duì)研究簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有什么妙用呢？本文概述如下。

一、簡諧運(yùn)動(dòng)的物理模型——參考圓

設(shè)想一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心就是簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置。半徑為簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，過圓心建立直角坐標(biāo)系（如圖1）。以y軸為參照，則做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P在x軸上的投影的運(yùn)動(dòng)就是簡諧運(yùn)動(dòng)。反過來，可以把任何一個(gè)實(shí)際的簡諧運(yùn)動(dòng)設(shè)想為一個(gè)和它相對(duì)應(yīng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的投影，這個(gè)設(shè)想的圓周就叫參考圓。

圖1

二、參考圓的妙用

1.易推導(dǎo)簡諧運(yùn)動(dòng)的方程

做簡諧運(yùn)動(dòng)的振子P看成是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P在x軸上的投影。設(shè)t=0時(shí)P所在位置的半徑與y軸的夾角為φ，若做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P的角速度是ω，經(jīng)過時(shí)間t，P所在位置的半徑與y軸的夾角是（φ+ωt），則振子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移為：

X=Asin（φ+ωt）

這就是簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程。

2.好理解圓頻率、相位、初相概念的物理意義

通過簡諧運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生體會(huì)到參考圓不僅能將振動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來，而且進(jìn)一步對(duì)較難理解的圓頻率ω、相位（φ+ωt）、初相φ這些抽象的概念有了具體形象的認(rèn)識(shí)：簡諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率ω就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度；簡諧運(yùn)動(dòng)的初相φ就是初始時(shí)刻振子所對(duì)應(yīng)的參考圓上的質(zhì)點(diǎn)所在位置的半徑與y軸的夾角；相位（φ+ωt）就是t時(shí)刻振子所對(duì)應(yīng)的參考圓上的質(zhì)點(diǎn)所在位置的半徑與y軸的夾角。有了參考圓，把抽象變形象，降低了學(xué)習(xí)難度，加深了對(duì)概念的理解。

3.能探究簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在x軸上的投影就是做簡諧運(yùn)動(dòng)的振子。假設(shè)t=0時(shí)φ=0（如圖2）。

對(duì)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振子：

∵F■=kx

X=Asinωt

∴F■=kAsinωt

與之對(duì)應(yīng)的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：

∵F■=mω■A

該向心力在x軸上的分力就是振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力

∴F■=F■sinωt

即kAsinωt=mω■Asinωt

∴ω=■

故T=■=2π■

這個(gè)推導(dǎo)過程實(shí)在精彩，突出了物理模型對(duì)解決物理問題的重要性。它給學(xué)生用科學(xué)方法探究物理規(guī)律以啟迪，同時(shí)也提高了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

4.巧判斷簡諧運(yùn)動(dòng)■時(shí)間內(nèi)振子的最大路程

簡諧運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，具有對(duì)稱性的特點(diǎn)。在■時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程又具有多解性，其結(jié)果取決于振子初始時(shí)刻的位置和振動(dòng)方向。要判斷■時(shí)間內(nèi)振子運(yùn)動(dòng)的最大路程對(duì)學(xué)生來說是個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中更多采用函數(shù)求極值的辦法。但我們?nèi)裟芮捎脜⒖紙A，稍作分析就可判斷出振子在■時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最大路程。

圖3

當(dāng)振子在以O(shè)點(diǎn)為中心的■時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其平均速度最大，則運(yùn)動(dòng)的路程也是最大。所以在剛好運(yùn)動(dòng)到距平衡位置O點(diǎn)的■的時(shí)間內(nèi)的位移是最大路程的一半。而振子所對(duì)應(yīng)的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在該■時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是■，故振子在■時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最大路程為

S■=2x=2Asin■=■A.