許少華

縱觀近三年廣東高考數(shù)學(xué)試卷，無(wú)論文科還是理科，對(duì)于數(shù)列內(nèi)容的考查相對(duì)比較穩(wěn)定，試題一大一小，分?jǐn)?shù)為19分.試題內(nèi)容也比較相似，小題都是考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，此題的難度很小，百分之八十以上的考生都能順利得分.大題都與遞推關(guān)系或通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系有關(guān)，然后考查求具體的項(xiàng)與通項(xiàng)公式，最后都是與不等式有關(guān)的證明問(wèn)題，且在證明過(guò)程中又都無(wú)一例外的用到裂項(xiàng)與放縮技巧.2014年呢？由于高考命題要求在穩(wěn)定中創(chuàng)新、在中改革，于是，我們預(yù)測(cè)其命題熱點(diǎn)有以下幾個(gè)方面，供參考.

熱點(diǎn)一：客觀題仍考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與簡(jiǎn)單的常用技能

例1. 設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（ ）

A. Sn=2an-1 B. Sn=3an-2

C. Sn=4-3an D. Sn=3-2an

解析一 在等比數(shù)列{an}中，Sn===3-2an，選D.

解析二 在等比數(shù)列{an}中，a1=1，q=an=（）n-1.

于是，Sn==3[1-（）n]=3[1-×（）n-1]=3-2an

點(diǎn)評(píng) 等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與簡(jiǎn)單的常用技能是處理數(shù)列問(wèn)題的思維起點(diǎn)，也是數(shù)列中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的入手點(diǎn)，因此，在各級(jí)各類(lèi)的考試中對(duì)這些內(nèi)容的考查作為檢查高中生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的普遍掌握情況十分有利.

熱點(diǎn)二：客觀題轉(zhuǎn)變考查方向，建立在數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的基礎(chǔ)上考查分析與推理能力

例2. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=（）n-1[（）n-1-1]，下列表述正確的是（ ）

A. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為-

B. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)不存在

C. 最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為-

D. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為a4

解析 （1）由an=（）n-1[（）n-1-1]，得a1=0.

∵當(dāng)n>1時(shí)，0<（）n-1<1，

∴an最大項(xiàng)為a1=0.

又an+1-an=（）n[（）n-1]-（）n-1[（）n-1-1]=（）n-1×

，顯然，當(dāng)n≥3時(shí)，an+1-an>0；當(dāng)n<3時(shí)，an+1-an<0.

于是， 最小項(xiàng)為a3=-，故選A.

點(diǎn)評(píng) 從函數(shù)角度來(lái)認(rèn)識(shí)本題最有利于求解，函數(shù)的最值往往與單調(diào)性有關(guān)，那么數(shù)列的最值呢？也與數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)，于是，借助數(shù)列的單調(diào)性最終產(chǎn)生結(jié)論.

例3. 數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)______.

解析一 由題設(shè)知，a2-a1=1…①；a3+a2=3…②；a4-a3=5…③；a5+a4=7…④；a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，a8-a7=13，a9+a8=15，a10-a9=17，a11+a10=19，a12-a11=21，......

∴②-①得a1+a3=2，③+②得a4+a2=8，

同理可得a5+a7=2，a6+a8=24，a9+a11=2，a10+a12=40，…，

∴a1+a3，a5+a7，a9+a11，…，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，

a2+a4，a6+a8，a10+a12，…是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，

則{an}的前60項(xiàng)和為15×2+15×8+×16×15×14=1830.

解析二 由an+1+（-1）nan=2n-1a4n+2-a4n+1=8n+1，a4n+3+a4n+2=8n+3，a4n+4-a4n+3=8n+5 a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=16n+8，

令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，

則bn+1=bn+16，又b1=a1+a2+a3+a4=10S15=10×15+×16=1830.

則{an}的前60項(xiàng)和為1830.

點(diǎn)評(píng) 本題無(wú)論是方法一還是方法二，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)都不太好想，說(shuō)它很難吧，不是；說(shuō)它不難吧，顯然也不準(zhǔn)確.反復(fù)應(yīng)用遞推關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

熱點(diǎn)三：解答題延續(xù)去年的熱點(diǎn)，繼續(xù)建立在an與sn關(guān)系的基礎(chǔ)上考查通項(xiàng)公式的求法及放縮法證明不等式

例4. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…

（1）寫(xiě)出Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式（n≥2），并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；

（2）設(shè)fn（x）=xn+1，bn=（p）（p∈R），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；

（3）求證：++…+>.

解析 （1）由于n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，那么Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），則-=1，

因此=+（-）+…+（-）=n.

于是Sn=.

（2）由fn（x）=xn+1，得fn（x）=xn+1，

那么=nxn，于是bn=npn，

得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=p+2p2+3p3+…+npn.

10若p=0時(shí)，則Tn=0；

20若p=1時(shí)，則Tn=1+2+3+…+n=；

30若p≠0且p≠1時(shí)，則pTn=p2+2p3+3p4+…+npn+1，則（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-npn+1=-npn+1，得Tn=-.

（3）由（1）得Sn=

于是S1+S2+…+Sk<1+2+…+k=>=2（-），

那么++…+>2[（1-）+（-）+…+（-）]=.

點(diǎn)評(píng) 本題延續(xù)去年的熱點(diǎn)，繼續(xù)考查與Sn有關(guān)的遞推式.值得一提的是：廣東的高考命題有延續(xù)往年熱點(diǎn)的“習(xí)慣”，看看近年的三角試題（解答題的第一題），連續(xù)四年的命題，從形式到內(nèi)容都非常接近.再看2012年高考數(shù)列題與2013年高考數(shù)列題是多么接近啊！再延續(xù)一年完全有可能.

熱點(diǎn)四：解答題降低難度，考查等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算與基本技能

例5. 64個(gè)正數(shù)排成8行8列，如右圖所示：其中aij表示第i行第j列的數(shù).已知每一行中的數(shù)依次都成等差數(shù)列；每一列中的數(shù)依次都成等比數(shù)列，且公比均為q∶a11=，a24=1，a21=.

（1）求a12和a13的值；

（2）記第n行各項(xiàng)之和為An（n∈N且1≤n≤8），數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足an=，mbn+1=2（an+mbn）（m為非零常數(shù)），cn=，且c21+c27=100，求c1+c2+…+c7的取值范圍；

（3）對(duì)（2）中an，記dn=（n∈N），設(shè)Bn=d1d2…dn（n∈N），求數(shù)列{Bn}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

解析 （Ⅰ）因?yàn)閝==，所以a14==2.又a11，a12，a13，a14成等差數(shù)列，公差設(shè)d，由a14=a11+3dd=，所以a12=1，a13=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，第一行所成等差數(shù)列公差為，所以a18=4.

因?yàn)閍n1=a11·（）n-1=（）n，an8=a18·（）n-1=4×（）n-1=8×（）n.

所以An=×8=36×（）n，所以an=2n（1≤n≤8，n∈N）.

因?yàn)閙bn+1=2（an+mbn），所以mbn+1=2n+1+2mbn.

整理得-=.而cn=，所以cn+1-cn=，得{cn}是等差數(shù)列.

故c1+c2+…+c7=.

因?yàn)椤?，所以c1≠c7，所以2c1c7

得（c1+c7）2=c21+c27+2c1c7<2（c21+c27）=200，

即-10

（Ⅲ）因?yàn)閐n=200×（）n是一個(gè)正項(xiàng)遞減數(shù)列，所以當(dāng)dn≥1時(shí)，Bn≥Bn-1，當(dāng)dn<1時(shí)，Bn1）.

于是{Bn}，中最大項(xiàng)滿足dn≥1，dn+1<1，即200×（）n≥1，200×（）n+1<1.

解得6+log

所以n=7，即{Bn}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為7.

點(diǎn)評(píng) 本題共三問(wèn)，看看第一問(wèn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題，沒(méi)有什么難度.第二問(wèn)呢？雖然看上去繞了很多彎，但只要你認(rèn)清每一步涉及的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，也會(huì)順利完成.第三問(wèn)呢？無(wú)論是分析還是求解，都在常規(guī)之列，也不算難.但當(dāng)這三問(wèn)合在一起時(shí)，再說(shuō)此題是簡(jiǎn)單題恐怕就沒(méi)有人同意了.本題很全面，你再仔細(xì)看看，它涉及的知識(shí)點(diǎn)有多少個(gè)？方法與技能又有多少個(gè)？這樣你就明白了，表面上看是降低了難度，考查也轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)了，但因全面而使試題顯得更有區(qū)分度.

熱點(diǎn)五：解答題真正在遞推數(shù)列上作文章，從求解遞推式必備的基本技能入手，考查通項(xiàng)公式、求和及不等式的證明

例6. 設(shè)>2，給定數(shù)列{an}，其中x1=，xn+1=，求證：

（1）若yn=lg，則數(shù)列{yn}是等比數(shù)列；

（2）若>3，則當(dāng)n≥lg/lg時(shí)，xn<3；

（3）若<3，那么xn≤2+.

解析 （1）由xn+1=xn+1-2=xn+1==（）2，由于>2，易得>0，于是lg=2lgyn+1=2yn.

故數(shù)列{yn}是等比數(shù)列.

（2）由==（1+），得xk>3時(shí)，<<1即xk+1

假設(shè)>3，當(dāng)n≥lg/lg時(shí)，有xn+1≥3.

由x1>x2>…>xn>xn+1≥3及x1=，得3≤xn+1=x1·（）·…·（）<（）nn

故當(dāng)n≥lg/lg時(shí)，xn<3.

（3）由（1）得=（）2=（）xn=2+.

∵>2>1（）>1，又由（1+x）n=1+x+x2+…≥1+nx，

得（）=（1+）≥1+（）·2n-1≥1+2nxn=2+≤2+.

點(diǎn)評(píng) 本題的第一問(wèn)考查遞推公式的變形技巧及等比數(shù)列的判定，顯然，有難度.第二問(wèn)考查反證法與放縮法的綜合應(yīng)用，其間用恒等式的構(gòu)造，有難度也有靈活性.第三問(wèn)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，再多次使用放縮法，最終產(chǎn)生結(jié)論，寥寥幾筆，數(shù)學(xué)味極濃.

熱點(diǎn)六：解答題建立在分析、探索、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力

例7. 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosn）（an-1）+3，n∈N.

（1）求通項(xiàng)公式an；

（2）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，問(wèn)：是否存在正整數(shù)m，n使得S2n=mS2n-1？若存在，請(qǐng)求出所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，cosn=-1；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，cosn=1.

所以，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an+2=an+2；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an+2=3an.

又a1=1，a2=2，所以a1，a3，a5，…，a2n-1，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；a2，a4，a6，…，a2n，…是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.

所以，ann，n為奇數(shù)2×3.n為偶數(shù)

（2）由（1），得S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=[1+3+…+（2n-1）]+（2+6+…+2×3n-1）=3n+n2-1，S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1.

所以，若存在正整數(shù)m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當(dāng)m=1時(shí)，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當(dāng)m=2時(shí)，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，31-1=1≠0=12-1；當(dāng)n=2時(shí)，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個(gè)解.

當(dāng)n≥3時(shí)，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當(dāng)m=3時(shí)，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個(gè)解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對(duì).

點(diǎn)評(píng) 本題建立在分析、探索、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力很到位.首先通項(xiàng)公式，要借助分類(lèi)思想來(lái)完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的步驟，其實(shí)慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過(guò)關(guān)就很難產(chǎn)生結(jié)論.

熱點(diǎn)七：解答題建立在交匯考查的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與其它知識(shí)結(jié)合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{xn}.

（1）求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點(diǎn)為Pn，且過(guò)點(diǎn)Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設(shè)S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數(shù)，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對(duì)稱(chēng)軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為Pn，

∴設(shè)cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設(shè)cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當(dāng)x=0時(shí)，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數(shù)a1=-17.

設(shè){an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點(diǎn)評(píng) 本題與函數(shù)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等都聯(lián)系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時(shí)還是必須熟悉的.否則，對(duì)求解還是會(huì)存在很大威脅的.實(shí)際上，數(shù)列在日常生活中廣為應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行存款利率問(wèn)題、貸款問(wèn)題等.另外，有些實(shí)際問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問(wèn)題.

熱點(diǎn)八：解答題建立在新定義的基礎(chǔ)上考查創(chuàng)新知識(shí)的應(yīng)用

例9. 如果由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數(shù)列{an}中，已知an=-n2，試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列”；

（Ⅱ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，設(shè)s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因?yàn)閍n=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因?yàn)閎n=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因?yàn)閍s+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關(guān)于數(shù)列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說(shuō)的熱點(diǎn)一致.

（作者單位：中山一中）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

所以，若存在正整數(shù)m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當(dāng)m=1時(shí)，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當(dāng)m=2時(shí)，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，31-1=1≠0=12-1；當(dāng)n=2時(shí)，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個(gè)解.

當(dāng)n≥3時(shí)，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當(dāng)m=3時(shí)，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個(gè)解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對(duì).

點(diǎn)評(píng) 本題建立在分析、探索、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力很到位.首先通項(xiàng)公式，要借助分類(lèi)思想來(lái)完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的步驟，其實(shí)慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過(guò)關(guān)就很難產(chǎn)生結(jié)論.

熱點(diǎn)七：解答題建立在交匯考查的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與其它知識(shí)結(jié)合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{xn}.

（1）求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點(diǎn)為Pn，且過(guò)點(diǎn)Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設(shè)S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數(shù)，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對(duì)稱(chēng)軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為Pn，

∴設(shè)cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設(shè)cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當(dāng)x=0時(shí)，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數(shù)a1=-17.

設(shè){an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點(diǎn)評(píng) 本題與函數(shù)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等都聯(lián)系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時(shí)還是必須熟悉的.否則，對(duì)求解還是會(huì)存在很大威脅的.實(shí)際上，數(shù)列在日常生活中廣為應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行存款利率問(wèn)題、貸款問(wèn)題等.另外，有些實(shí)際問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問(wèn)題.

熱點(diǎn)八：解答題建立在新定義的基礎(chǔ)上考查創(chuàng)新知識(shí)的應(yīng)用

例9. 如果由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數(shù)列{an}中，已知an=-n2，試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列”；

（Ⅱ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，設(shè)s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因?yàn)閍n=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因?yàn)閎n=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因?yàn)閍s+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關(guān)于數(shù)列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說(shuō)的熱點(diǎn)一致.

（作者單位：中山一中）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

所以，若存在正整數(shù)m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當(dāng)m=1時(shí)，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當(dāng)m=2時(shí)，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，31-1=1≠0=12-1；當(dāng)n=2時(shí)，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個(gè)解.

當(dāng)n≥3時(shí)，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當(dāng)m=3時(shí)，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個(gè)解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對(duì).

點(diǎn)評(píng) 本題建立在分析、探索、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力很到位.首先通項(xiàng)公式，要借助分類(lèi)思想來(lái)完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的步驟，其實(shí)慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過(guò)關(guān)就很難產(chǎn)生結(jié)論.

熱點(diǎn)七：解答題建立在交匯考查的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與其它知識(shí)結(jié)合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{xn}.

（1）求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點(diǎn)為Pn，且過(guò)點(diǎn)Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設(shè)S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數(shù)，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對(duì)稱(chēng)軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為Pn，

∴設(shè)cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設(shè)cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當(dāng)x=0時(shí)，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數(shù)a1=-17.

設(shè){an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點(diǎn)評(píng) 本題與函數(shù)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等都聯(lián)系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時(shí)還是必須熟悉的.否則，對(duì)求解還是會(huì)存在很大威脅的.實(shí)際上，數(shù)列在日常生活中廣為應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行存款利率問(wèn)題、貸款問(wèn)題等.另外，有些實(shí)際問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問(wèn)題.

熱點(diǎn)八：解答題建立在新定義的基礎(chǔ)上考查創(chuàng)新知識(shí)的應(yīng)用

例9. 如果由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數(shù)列{an}中，已知an=-n2，試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列”；

（Ⅱ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”，設(shè)s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因?yàn)閍n=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因?yàn)閎n=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因?yàn)閍s+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關(guān)于數(shù)列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說(shuō)的熱點(diǎn)一致.

（作者單位：中山一中）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)