李靜茹，喻 莉，趙 佳

(華中科技大學(xué)電子與信息工程系 武漢 430074)

確定網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)是包括社交網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的重要研究內(nèi)容。比如，在各種社交網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)常需要知道哪些是最活躍、最具影響力的用戶，以便為運(yùn)營商提供營銷策略的指導(dǎo)，或?yàn)橐苿?dòng)社交網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)容分布提供有用依據(jù)。在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析中，用“中心性(centrality)”來刻畫節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度[1]。

中心性常用的度量方法有度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性[2]和特征向量中心性(EVC)[3]等。相比其他幾種中心性度量方法，EVC不僅考慮了節(jié)點(diǎn)的度(即鄰居節(jié)點(diǎn)的數(shù)量)，還考慮了鄰居節(jié)點(diǎn)的重要性，因此成為檢測社交網(wǎng)絡(luò)中最具影響力節(jié)點(diǎn)的成功方法，并在社會(huì)科學(xué)中有廣泛應(yīng)用[4]。而由于EVC是將鄰接矩陣對(duì)應(yīng)的主特征向量作為節(jié)點(diǎn)中心性，故最重要的一些節(jié)點(diǎn)集中于一個(gè)社團(tuán)；而事實(shí)情況往往是這些最具影響力的節(jié)點(diǎn)分屬于不同社團(tuán)。鑒于此，文獻(xiàn)[4]提出了主分量中心性(PCC)，利用鄰接矩陣的前P個(gè)特征向量來計(jì)算節(jié)點(diǎn)中心性，有效地避免了EVC的缺陷。文獻(xiàn)[5]針對(duì)PageRank方法在非連通網(wǎng)絡(luò)中排序不唯一的缺陷，提出了LeaderRank方法，網(wǎng)絡(luò)中增加一個(gè)與所有節(jié)點(diǎn)雙向連通的節(jié)點(diǎn)，使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)連通且排序唯一，在傳播效率、魯棒性和容錯(cuò)性方面有明顯的提升。文獻(xiàn)[6]針對(duì)度中心性的低相關(guān)性和介數(shù)中心性、接近中心性在大型網(wǎng)絡(luò)中的高復(fù)雜度，折中提出一種半局部中心性，在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)能很好地識(shí)別出影響力高的節(jié)點(diǎn)。

而以上方法均針對(duì)無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，只考慮了節(jié)點(diǎn)間是否連接，而未考慮節(jié)點(diǎn)間鏈接強(qiáng)度如何。而文獻(xiàn)[7]提出，很多網(wǎng)絡(luò)中的鏈接并不僅僅表示存在與否，而是有相應(yīng)的權(quán)重來記錄鏈接的強(qiáng)度，也就是說，很多網(wǎng)絡(luò)都是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[7]也提到，在很多情況下，可以應(yīng)用無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中的傳統(tǒng)方法來解決加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的問題。因此，將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的方法拓展到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)是網(wǎng)絡(luò)研究的重要問題之一。文獻(xiàn)[8]指出，可將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中的EVC擴(kuò)展到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，并將這樣得到的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)EVC用于引文網(wǎng)絡(luò)的搜索結(jié)果排序；但是，PCC作為在計(jì)算節(jié)點(diǎn)中心性方面比EVC更好的工具，目前還沒有被擴(kuò)展到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

本文首次提出將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中度量節(jié)點(diǎn)中心性的PCC應(yīng)用于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，提出基于鏈接強(qiáng)度矩陣的加權(quán)主分量中心性度量法(加權(quán)PCC)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，加權(quán)PCC在傳播效率、魯棒性和容錯(cuò)性等方面優(yōu)于加權(quán)EVC，因此加權(quán)PCC在加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)中是可行有效的。本文最重要的貢獻(xiàn)就是把無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的PCC延伸到加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)，從而豐富了將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典方法拓展到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究。

1 無權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性計(jì)算方法

中心性常用的度量方法有度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性[2]和特征向量中心性(EVC)[3]等。相比于其他幾種中心性度量方法，EVC不僅考慮了節(jié)點(diǎn)的度，還考慮了鄰居節(jié)點(diǎn)的重要性，因此成為檢測社交網(wǎng)絡(luò)中最具影響力節(jié)點(diǎn)的成功方法。無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的EVC定義為：與該節(jié)點(diǎn)鄰居的EVC之和成正比[7]。

通過分析EVC算法的收斂性得到，如果λ1為矩陣A的模最大的特征值，那么特征向量中心性x應(yīng)該是與λ1對(duì)應(yīng)的特征向量，也稱為主特征向量[9]。從而，式(1)即為

而EVC在刻畫無權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性時(shí)，存在其缺陷[4]：最重要的一些節(jié)點(diǎn)集中于一個(gè)較小的區(qū)域，即EVC將最重要的一些節(jié)點(diǎn)視作一個(gè)小社團(tuán)，而事實(shí)情況是，最重要的一些節(jié)點(diǎn)可能分屬于不同社團(tuán)；另外，大部分節(jié)點(diǎn)的EVC值都為無意義的0，不能充分滿足排序等應(yīng)用的需求。

通過將網(wǎng)絡(luò)圖映射為一個(gè)多重圖，可以將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性度量方法推廣到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)；那么，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的EVC，為當(dāng)前加權(quán)鄰接矩陣的主特征向量[7]。文獻(xiàn)[8]指出，可將這樣得到的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)EVC用于引文網(wǎng)絡(luò)的搜索結(jié)果排序。由于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)可看做無權(quán)網(wǎng)絡(luò)映射成的多重圖，EVC在刻畫加權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性時(shí)，也會(huì)存在與無權(quán)網(wǎng)絡(luò)同樣的問題。

為了彌補(bǔ)EVC的以上缺陷，文獻(xiàn)[4]提出了主分量中心性(PCC)。但是目前沒有研究將PCC應(yīng)用于加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)。于是本文拓展了無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的PCC，并提出了適用于加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)的中心性計(jì)算模型。

2 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性計(jì)算模型

2.1 鏈接強(qiáng)度矩陣

傳統(tǒng)的中心性計(jì)算方法未能考慮節(jié)點(diǎn)間連接的時(shí)間動(dòng)態(tài)性，而鏈接強(qiáng)度可以通過具體刻畫連接可用的概率來克服這個(gè)缺陷[10]。因此，本文選用鏈接強(qiáng)度來刻畫節(jié)點(diǎn)間鏈接的權(quán)重。

鏈接強(qiáng)度是定量刻畫節(jié)點(diǎn)間鏈接的一種性質(zhì)，由文獻(xiàn)[11]于1973年首次提出。文獻(xiàn)[10]認(rèn)為一種關(guān)系的強(qiáng)度依賴于4種因素：接觸頻率，關(guān)系時(shí)長，接觸時(shí)長，交互數(shù)目。研究者們據(jù)此提出7種因素，并根據(jù)不同的研究需要采用不同的因素來刻畫鏈接強(qiáng)度：頻率、親密度、壽命、相互性、時(shí)近性、多重社交背景、信任[10]。

本文選取頻率和親密度兩個(gè)因素來刻畫鏈接強(qiáng)度。鏈路上發(fā)生的交互越頻繁，越親密(即連接時(shí)長越長)，則鏈接強(qiáng)度越強(qiáng)。這兩個(gè)因子的計(jì)算方法是根據(jù)基于證據(jù)的策略，即用輔助性證據(jù)與反駁性證據(jù)的數(shù)目的比值來度量節(jié)點(diǎn)或系統(tǒng)對(duì)證據(jù)的信任[10]。

1) 頻率因子：取決于某節(jié)點(diǎn)i與其他節(jié)點(diǎn) j相遇的頻率，用節(jié)點(diǎn)間相遇次數(shù)計(jì)算。

2.2 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心性計(jì)算模型

圖1 M IT Reality M ining藍(lán)牙交互網(wǎng)絡(luò)的用戶朋友關(guān)系圖

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

本文選用以下3個(gè)真實(shí)的加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集，對(duì)加權(quán)PCC的性能進(jìn)行了仿真與分析：

1) M IT Reality M ining數(shù)據(jù)集[13]：該數(shù)據(jù)集是由M IT Media Lab的Reality M ining項(xiàng)目經(jīng)過約9個(gè)月的實(shí)驗(yàn)，使用104個(gè)Nokia 6600手機(jī)記錄用戶交互數(shù)據(jù)。本文采用其中的藍(lán)牙交互數(shù)據(jù)，包括用戶間相遇的頻率、時(shí)長等數(shù)據(jù)，且選出其中94個(gè)有效用戶數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。用戶間朋友關(guān)系圖如圖1所示。用戶間鏈接的權(quán)重根據(jù)2.1節(jié)的方法計(jì)算得到。

2) NetScience數(shù)據(jù)集[14]：這是研究網(wǎng)絡(luò)理論與實(shí)驗(yàn)的1 589位科學(xué)家組成的科學(xué)家合作網(wǎng)。網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)代表論文的作者，邊是作者間的合作關(guān)系，邊上的權(quán)重是根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的方法計(jì)算得到的。

3) Facebook-like social network數(shù)據(jù)集[16]：該數(shù)據(jù)集描述加州大學(xué)歐文分校學(xué)生的在線社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。它共包含1 899個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)表示學(xué)生，邊表示學(xué)生之間的信息接受和發(fā)送，邊上的權(quán)重表示接受和發(fā)送信息的數(shù)目。該數(shù)據(jù)集本來是一個(gè)有權(quán)有向圖，由于本文的中心性指標(biāo)適用于有權(quán)無向圖，所以本文將兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間接受和發(fā)送信息數(shù)目的總和作為對(duì)應(yīng)鏈接的權(quán)重，從而將Facebook-like social network數(shù)據(jù)集轉(zhuǎn)化為有權(quán)無向圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

以上3個(gè)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集的相關(guān)信息如表1所示。

表1 網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集相關(guān)參數(shù)

3.2 傳播效率分析

3.2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

文獻(xiàn)[17]認(rèn)為，在社交網(wǎng)絡(luò)中信息是以串聯(lián)形式進(jìn)行傳遞，且信息串流的傳播分析可用于確定社交網(wǎng)絡(luò)中最有影響力的節(jié)點(diǎn)。因此，本節(jié)實(shí)驗(yàn)采用獨(dú)立串聯(lián)模型[18]來刻畫社交網(wǎng)絡(luò)的信息傳播規(guī)律?；谠撃Ｐ停竟?jié)實(shí)驗(yàn)比較加權(quán)PCC和加權(quán)EVC的傳播效率，從而驗(yàn)證提出的加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)中心性計(jì)算模型的有效性。具體的傳播過程為：

1) 初始激活節(jié)點(diǎn)集：分別以加權(quán) PCC和加權(quán)EVC排序得到的前N個(gè)節(jié)點(diǎn)為傳播的初始激活節(jié)點(diǎn)集，分別表示為

2) 成功激活閾值：獨(dú)立串聯(lián)模型中，兩節(jié)點(diǎn)v和w間存在成功激活概率pv,w；當(dāng)v試圖激活w時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)概率小于pv,w時(shí)，v將成功激活w。將成功激活概率pv,w稱為成功激活閾值(用THv,w表示)，且認(rèn)為與鏈接強(qiáng)度成正比，因?yàn)殒溄訌?qiáng)度越大，表明兩節(jié)點(diǎn)關(guān)系越親密，則兩節(jié)點(diǎn)間傳遞信息越容易。設(shè)

式中，常數(shù)k?[0,1]稱為傳播參數(shù)。實(shí)驗(yàn)中將鏈接強(qiáng)度矩陣歸一化至[0,1]，這樣能保證此時(shí)，鏈接強(qiáng)度越大，THv,w越大，產(chǎn)生的隨機(jī)概率小于THv,w的可能性越大，即節(jié)點(diǎn)間傳遞信息越容易。

3) 比較方法：當(dāng)v試圖激活w時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)概率小于THv,w時(shí)，則v將成功激活w，信息就在兩節(jié)點(diǎn)間傳遞。計(jì)算每個(gè)步驟分別以A0,PCC和A0,EVC為傳播起點(diǎn)而被激活的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，并加以比較，即可比較分別以為傳播起點(diǎn)的傳播效率。

3.2.2 結(jié)果與分析

圖2是傳播初始激活節(jié)點(diǎn)數(shù)目N取不同值時(shí)，每時(shí)刻兩種加權(quán)中心性傳播效率的比較。以下每幅實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖均是進(jìn)行500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)并將其結(jié)果取平均得到的。

圖2 加權(quán)PCC和加權(quán)EVC傳播效率比較

由圖2可見，在不同的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，基于加權(quán)PCC排序選出的前N位節(jié)點(diǎn)作為傳播源的傳播效率高于加權(quán)EVC，即加權(quán)PCC能更準(zhǔn)確地識(shí)別出傳播影響力高的節(jié)點(diǎn)。這是因?yàn)榧訖?quán)PCC采用了權(quán)重矩陣的更多主特征向量，能挖掘加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)的更多結(jié)構(gòu)信息。同時(shí)，3個(gè)加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度均為Inf，即3個(gè)網(wǎng)絡(luò)均為非連通網(wǎng)絡(luò)。可說明加權(quán)PCC由于采用了更多主特征向量，因此可以有效彌補(bǔ)網(wǎng)絡(luò)非連通部分對(duì)中心性計(jì)算的影響。

另外還發(fā)現(xiàn)，加權(quán)PCC在高聚類系數(shù)的M IT Reality M ining數(shù)據(jù)集和NetScience網(wǎng)絡(luò)中的優(yōu)勢更明顯，而在聚類系數(shù)相對(duì)低的Facebook-like social network中的優(yōu)勢并不明顯。這是因?yàn)榧訖?quán)PCC通過采用更多的主特征向量，能探測出加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)中的主要社團(tuán)結(jié)構(gòu)；而低聚類系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)特性相對(duì)不強(qiáng)，則加權(quán)PCC的優(yōu)勢相對(duì)不明顯。

3.3 魯棒性分析

社交網(wǎng)絡(luò)中存在一類節(jié)點(diǎn)，它們通過關(guān)注原網(wǎng)絡(luò)中某些用戶或給它們發(fā)垃圾郵件的方式，改變原網(wǎng)絡(luò)中某些節(jié)點(diǎn)的影響力[5]，稱之為虛假粉絲。它們與原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的互動(dòng)非常微弱，即鏈接強(qiáng)度很弱，但由于改變了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，所以對(duì)節(jié)點(diǎn)中心性的計(jì)算帶來了干擾。因此很有必要度量一種中心性指標(biāo)針對(duì)虛假粉絲攻擊的魯棒性。

本節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)令原網(wǎng)絡(luò)中真實(shí)用戶節(jié)點(diǎn)之間的互動(dòng)關(guān)系(即鏈接強(qiáng)度)不變，同時(shí)增加20%的虛假粉絲節(jié)點(diǎn)。假設(shè)這些虛假粉絲節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)之間存在弱鏈接強(qiáng)度，然后比較加權(quán)PCC和加權(quán)EVC的魯棒性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3中，y=x為比較基準(zhǔn)，為最理想的情況，即加入虛假粉絲后，節(jié)點(diǎn)中心性排序不變。若加入虛假粉絲后，節(jié)點(diǎn)中心性排序在y=x周圍波動(dòng)得厲害，則說明該中心性的魯棒性較差，反之，魯棒性較好。由圖3的結(jié)果可見，在3種加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)中，加權(quán)PCC的魯棒性均相對(duì)較好。其中，加權(quán)PCC在節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少、聚類系數(shù)較高的M IT Reality M ining數(shù)據(jù)集網(wǎng)絡(luò)中的魯棒性最好，波動(dòng)最輕微，這是因?yàn)樵摼W(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)間鏈接非常緊密，使得虛假粉絲的加入對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能影響較小，從而保證節(jié)點(diǎn)中心性排序較為穩(wěn)定。在NetScience網(wǎng)絡(luò)中，大約前440位節(jié)點(diǎn)的加權(quán)PCC排序保持不變，而在后面節(jié)點(diǎn)的排序波動(dòng)也小于加權(quán)EVC。證明了加權(quán)PCC在加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)中較好的魯棒性。在Facebook-like social network中，加權(quán)PCC的魯棒性存在一定優(yōu)勢，但并不明顯，這是由于聚類系數(shù)較低時(shí)，外來虛假粉絲的加入較明顯地改變了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使得中心性排序產(chǎn)生較大波動(dòng)。

圖3 加權(quán)PCC和加權(quán)EVC魯棒性比較

3.4 容錯(cuò)性分析

中心性指標(biāo)的容錯(cuò)性考慮的是網(wǎng)絡(luò)增減一些偽造鏈接時(shí)的情況[5]。這是因?yàn)樯缃痪W(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中可能存在噪聲數(shù)據(jù)，即根據(jù)原始數(shù)據(jù)并不容易確定用戶間是否存在某種鏈接。由于增加和移除偽造鏈接的容錯(cuò)性是對(duì)稱的，本節(jié)實(shí)驗(yàn)針對(duì)移除偽造鏈接的情況進(jìn)行容錯(cuò)性分析。檢驗(yàn)加權(quán)中心性算法的容錯(cuò)性的方法是，度量當(dāng)鏈接被隨機(jī)移除時(shí)排序的變化量[5]，因?yàn)閷?duì)于中心性算法，排序的準(zhǔn)確性比中心性的具體數(shù)值更重要。噪聲數(shù)據(jù)對(duì)排序的影響IR為[5]：

式中，Ri和Ri￠分別是由原圖和修改后的圖得到的中心性排序。

圖4 加權(quán)PCC和加權(quán)EVC容錯(cuò)性比較

如圖4所示，在NetScience網(wǎng)絡(luò)和Facebook-like social network中，加權(quán)PCC相比于加權(quán)EVC有較小的IR，即容錯(cuò)性較好。而在M IT Reality M ining藍(lán)牙交互網(wǎng)絡(luò)中，加權(quán)PCC卻表現(xiàn)出較差的容錯(cuò)性。這是因?yàn)椋贛 IT Reality M ining藍(lán)牙交互網(wǎng)絡(luò)中，我們將用藍(lán)牙裝備檢測到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)視為一條鏈接，并采用2.1節(jié)的方法計(jì)算出鏈接強(qiáng)度，這樣雖能全面、準(zhǔn)確地刻畫出每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的鏈接強(qiáng)度，卻同時(shí)產(chǎn)生了噪聲數(shù)據(jù)。這使得加權(quán)PCC雖采用更多主特征向量，反而不能更好地識(shí)別噪聲數(shù)據(jù)，造成容錯(cuò)性較差。而NetScience網(wǎng)絡(luò)和Facebook-like social network的鏈接分別為節(jié)點(diǎn)間的合作和信息發(fā)收，均比較明確，所以數(shù)據(jù)集本身不含有太多噪聲數(shù)據(jù)，因而，加權(quán)PCC容錯(cuò)性的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來了。這些發(fā)現(xiàn)給出了啟示，即本文鏈接強(qiáng)度的計(jì)算方法有待改進(jìn)，如可以通過增加門限的方法，過濾掉一些噪聲數(shù)據(jù)，這樣能增加加權(quán)PCC的容錯(cuò)性。

4 結(jié) 論

確定網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)在社交網(wǎng)絡(luò)研究中有重要意義。本文將無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中度量節(jié)點(diǎn)中心性的方法PCC進(jìn)行拓展，基于鏈接強(qiáng)度矩陣提出適用于加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)的中心性計(jì)算模型(加權(quán)PCC)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，加權(quán)PCC在傳播效率、魯棒性和容錯(cuò)性比較中優(yōu)于加權(quán)EVC。此結(jié)果說明，應(yīng)用PCC度量并排序加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要程度，可有效地促進(jìn)信息的擴(kuò)散，在實(shí)際應(yīng)用中很有價(jià)值，如加速信息傳播、控制輿論擴(kuò)散、加速移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)容分布等。同時(shí)，由于加權(quán)PCC針對(duì)虛假粉絲有更好的魯棒性，針對(duì)噪聲數(shù)據(jù)有更好的容錯(cuò)性，使得它在實(shí)際加權(quán)社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)中是可行有效的。

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編 輯 蔣 曉