張 愷，馬忠軍，李科贊

(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 桂林 541004)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究始于20世紀60年代提出的ER隨機圖模型，直到小世界網(wǎng)絡(luò)模型[1]及無標度網(wǎng)絡(luò)模型[2]的提出，才真正令復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究成為一個令人矚目的領(lǐng)域。用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的觀點和矩陣、圖論等數(shù)學(xué)工具來研究社會中存在的各種關(guān)系，近幾十年來一直是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的研究熱點[3-4]。

朋友網(wǎng)作為一種典型的社會網(wǎng)絡(luò)，受到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域諸多學(xué)者的關(guān)注。顧名思義，朋友網(wǎng)是根據(jù)人們之間的朋友關(guān)系所建立的網(wǎng)絡(luò)，以人為節(jié)點，兩人之間若有朋友關(guān)系則連接一條邊。一些學(xué)者之前對朋友網(wǎng)的研究也獲得了許多成果[5-7]。本文將朋友網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計描述及各網(wǎng)絡(luò)之間的數(shù)據(jù)對比等作為研究重點。

隨著科技的發(fā)展，關(guān)于朋友網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中于在線交友網(wǎng)站中的好友關(guān)系。如美國的Facebook[8]，Tw itter[9]；中國的QQ[10]，微博[11]，人人網(wǎng)[12]等，都取得了顯著的成果。廣大學(xué)者之所以將研究的興趣集中于在線網(wǎng)絡(luò)，而不是真實網(wǎng)絡(luò)，原因在于現(xiàn)實朋友網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)不易進行大范圍的有效收集且成本較高，而在線交友網(wǎng)絡(luò)卻擁有大量易收集的數(shù)據(jù)。盡管每個人都能感受到虛擬世界的好友關(guān)系與現(xiàn)實生活中的朋友關(guān)系很不一樣，但在線朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)卻展現(xiàn)了很多與現(xiàn)實朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)一致的特點。上面的一些文獻也很好地驗證了這一點，更多在線網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)內(nèi)容可參考文獻[13-15]。

以上文獻雖然取得了不錯的成果，但關(guān)于真實朋友網(wǎng)絡(luò)的研究并不多見(文獻[6]是研究真實朋友網(wǎng)絡(luò)的并不多見的成果之一)，且實證網(wǎng)絡(luò)的研究中又往往將研究對象限于一個固有網(wǎng)絡(luò)，沒有涉及在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點不變的情況下節(jié)點動力學(xué)行為是否影響網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)這一問題。本文以具有31個節(jié)點的真實朋友關(guān)系網(wǎng)為實例，通過研究發(fā)現(xiàn)，對于不同親密度的朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)亦會明顯不同。通過對網(wǎng)絡(luò)各項統(tǒng)計特征的對比研究，揭示了這一變化的內(nèi)在原因。

1 朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

朋友關(guān)系網(wǎng)是社會與社交網(wǎng)絡(luò)的一種，在近年來的研究中愈發(fā)受到關(guān)注。本文主要研究的對象是基于一個班級內(nèi)同學(xué)之間的朋友關(guān)系所構(gòu)成的真實網(wǎng)絡(luò)。

本文研究的數(shù)據(jù)來源于真實的調(diào)查問卷，問卷對象選擇桂林電子科技大學(xué)本科部的一個班級。具體操作流程如下：1) 設(shè)置問卷。問卷上有全班同學(xué)的姓名，采用具名調(diào)查方式。按照兩人之間親密程度，將朋友關(guān)系劃分為如下4個層次：“普通朋友”“比較好的朋友”“很好的朋友”以及“最好的朋友”；填寫選項只需選擇“是(用√表示)”或“否(用×表示或直接不填寫)”即可。2) 對象選擇。選取一個容量為36人的班級作為調(diào)查對象。3) 具體操作。選擇在課間休息時間發(fā)放和回收問卷，為了在一定程度上保證問卷答案的真實性，需要同學(xué)們在填寫時不要相互交談，避免調(diào)查進行中出現(xiàn)“舞弊”現(xiàn)象。

以上得到的只是原始數(shù)據(jù)，尚需要進行一些必要的處理，具體說明如下：1) 缺席問題。調(diào)查時沒有到場的同學(xué)，其數(shù)據(jù)自然作廢，相應(yīng)的也要刪除其他同學(xué)的問卷中與缺席者相關(guān)的數(shù)據(jù)，以保證數(shù)據(jù)的完整性。2) 隨意填寫現(xiàn)象。有極少同學(xué)只填寫“最好的朋友”一欄，且對全部同學(xué)皆選擇“是”這一選項，其數(shù)據(jù)明顯不符合標準，也予以刪除。3) 雖然在實際中得到的網(wǎng)絡(luò)都是有向的，但為了方便和統(tǒng)一，如無特別說明，采用的都是無向圖(即每條邊皆按雙向，單向亦按雙向設(shè)定)。

最終得到31人的有效問卷數(shù)據(jù)，以下的分析皆基于本次調(diào)查所得到的結(jié)果。由于將朋友關(guān)系劃分為4個層次，故最終可以得到4個不同的網(wǎng)絡(luò)。這些網(wǎng)絡(luò)之間并不是毫無關(guān)系的，因為所有網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點。文章的研究重點集中在隨著朋友關(guān)系親密程度的增強，網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)與統(tǒng)計性質(zhì)所發(fā)生的變化。

為了對文中的朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)在直觀上有一個初步的了解，首先給出它們的拓撲關(guān)系圖，為了使圖像清晰簡潔，忽略網(wǎng)絡(luò)的有向性，故得到的圖形皆為從有向圖基礎(chǔ)上得到的無向圖。得到4種情況下的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

從圖1中可以直觀的觀察到，4個網(wǎng)絡(luò)圖首先在拓撲結(jié)構(gòu)上就有了顯著的變化：從復(fù)雜變得簡單，從連通變成不連通等。改變源自個人與他人之間朋友關(guān)系的親密程度發(fā)生了變化，隨之引發(fā)了整個網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的變化。

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)圖

為了敘述方便，分別將圖1a～圖1d四個網(wǎng)絡(luò)稱為“網(wǎng)絡(luò)1”、“網(wǎng)絡(luò)2”、“網(wǎng)絡(luò)3”和“網(wǎng)絡(luò)4”。

2 網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計特征

隨著近些年對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的逐步深入，學(xué)者提出了大量概念和度量方法[16-19]，用于衡量一個網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性。

2.1 無向網(wǎng)絡(luò)的度與平均度

度(degree)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個基本且重要的統(tǒng)計特征。第i個節(jié)點的度ki指的是與該節(jié)點相連接的其他節(jié)點的數(shù)目，其數(shù)值可以在一定程度上反映該節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)中的重要程度。全部節(jié)點的度的算術(shù)平均值稱之為網(wǎng)絡(luò)的平均度，用ák?來表示，即

式中，N表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)目；ki表示第i個節(jié)點的度值。在朋友網(wǎng)絡(luò)中，k表示一個人的朋友數(shù)，則表示網(wǎng)絡(luò)中平均每人有多少朋友。經(jīng)過計算，得到4個網(wǎng)絡(luò)的平均度分別為27.806, 15.903, 6.322 6和1.806 5。

可見，隨著朋友關(guān)系的親密度逐漸增加，網(wǎng)絡(luò)的平均度也在逐漸下降，從平均每個人大約有28個普通朋友到平均每個人只有不到2個最好的朋友。數(shù)據(jù)的差異也說明了圖1中網(wǎng)絡(luò)從復(fù)雜變的愈發(fā)簡單的根本原因。

2.2 無向網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度

最短路徑長度指的是從節(jié)點i到j(luò)要經(jīng)歷的邊的最小數(shù)目，記作d(i,j)。平均路徑長度(average path length)指的是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點對之間最短路徑長度的算術(shù)平均值，即：

式中，N是節(jié)點數(shù)目。

若按有向圖研究，則網(wǎng)絡(luò)2、網(wǎng)絡(luò)3和網(wǎng)絡(luò)4這3個都不是強連通圖，平均路徑長度也就無從談起；若按無向圖研究，則只有網(wǎng)絡(luò)4是不連通的。若按無向圖考慮，則網(wǎng)絡(luò)2、網(wǎng)絡(luò)3亦可計算平均路徑長度，但網(wǎng)絡(luò)4由于有4個點與其他點無相連(這從上面給出的網(wǎng)絡(luò)拓撲圖中可以清晰的看出來)，故無法求其平均路徑長度。將網(wǎng)絡(luò)1、網(wǎng)絡(luò)2和網(wǎng)絡(luò)3按無向圖進行處理，可得到其平均路徑長度分別為1.008 6，1.311 8、1.311 8。

數(shù)據(jù)的變化不難理解，朋友少了，兩個人之間的“距離”也就拉大了。數(shù)據(jù)的變化也暗合了中國的俗語“多一個朋友多一條路”。

2.3 無向網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)

集聚系數(shù)(clustering coefficient)也稱群聚系數(shù)、集群系數(shù)或聚類系數(shù)，用來描述節(jié)點的鄰點之間也互為鄰點的比例。節(jié)點i的集聚系數(shù)Ci等于所有與它相連的節(jié)點相互之間所連的邊的數(shù)目除以這些節(jié)點之間可以連出的邊數(shù)的最大值，即：

式中，ki表示節(jié)點i的度；ei表示節(jié)點i的所有鄰接點之間實際存在的邊數(shù)。顯然Ci是一個介于0與1之間的數(shù)。Ci越接近1，表示這個節(jié)點附近的點越有“抱團”的趨勢。整個網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)C為所有點聚集系數(shù)的算術(shù)平均值，即：

式中，N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)目。通過計算，得到4個網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)C分別為0.928 6、0.590 14、0.325 65和0.156 45。

從數(shù)據(jù)中可以看出，網(wǎng)絡(luò)1的集聚系數(shù)高達0.928 6，在上文中還得到網(wǎng)絡(luò)1的平均路徑長度為1.008 6。網(wǎng)絡(luò)1的集聚系數(shù)與平均路徑長度的值都接近1，這表明其接近完全耦合網(wǎng)絡(luò)。文獻[1]揭示，小世界網(wǎng)絡(luò)模型的統(tǒng)計特征為高集聚系數(shù)和低平均路徑長度，由于網(wǎng)絡(luò)1具有上述特征，故網(wǎng)絡(luò)1(即普通朋友網(wǎng)絡(luò))顯然是一個小世界網(wǎng)絡(luò)。隨著朋友關(guān)系親密度的增加，網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)逐漸變小，逐漸喪失了小世界特性，最終網(wǎng)絡(luò)變得不連通。

2.4 無向網(wǎng)絡(luò)的介數(shù)

介數(shù)[16,20](betweenness)亦稱邊介、中心等，通常分為邊介數(shù)和節(jié)點介數(shù)兩種，反映了節(jié)點或邊的作用和影響力。本文中所探討的是點介數(shù)，節(jié)點i的介數(shù)B(i)具體算法[20]如下：

通過計算，得到網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點點介數(shù)如圖2所示。從圖2中可以觀察到各網(wǎng)絡(luò)介數(shù)值最大的節(jié)點，如表1所示。

表1 各網(wǎng)絡(luò)中介數(shù)最大點

介數(shù)值最大的節(jié)點對于整個網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)有著重要的影響。網(wǎng)絡(luò)1介數(shù)值最大的為第21個和第17個，網(wǎng)絡(luò)2則對應(yīng)第21個，網(wǎng)絡(luò)3變成了第3個，而網(wǎng)絡(luò)4則變成了第26個。由下文中的圖3可以看出，它們并不一定是度最大的節(jié)點(有向網(wǎng)絡(luò)里節(jié)點的出度與入度中較大的那個值等于對應(yīng)無向化網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)節(jié)點的度)。這個研究結(jié)果表明，介數(shù)值最大的節(jié)點不一定是度最大的節(jié)點，反之亦然。此外，這也從一個側(cè)面表明，網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)有重大變化。隨著朋友關(guān)系親密程度的增加，網(wǎng)絡(luò)中最“親密的人”也發(fā)生改變。

圖2 網(wǎng)絡(luò)j中的各節(jié)點的點介數(shù)(j=1,2,3,4)

2.5 無向網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性

度相關(guān)性(degree correlations)[14]描述的是網(wǎng)絡(luò)中不同節(jié)點之間的連接關(guān)系，用r表示。如果度大的節(jié)點傾向于連接度大的節(jié)點，則稱網(wǎng)絡(luò)是正相關(guān)的；反之，如果度大的節(jié)點傾向于和度小的節(jié)點連接，則稱網(wǎng)絡(luò)是負相關(guān)的。文獻[21-22]給出了一種相關(guān)性的計算方法，即計算網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的Pearson相關(guān)系數(shù)r：

式中，ji，ki分別表示連接第i條邊的兩個頂點 j和k的度；M表示網(wǎng)絡(luò)的總邊數(shù)；r的取值范圍為時，網(wǎng)絡(luò)是負相關(guān)的；當r=0時，網(wǎng)絡(luò)是不相關(guān)的。文獻[21-22]還指出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的度相關(guān)性與其類型有關(guān)，如演員合作網(wǎng)、中學(xué)生的朋友關(guān)系網(wǎng)等社會網(wǎng)絡(luò)往往是正相關(guān)的，而電力網(wǎng)、因特網(wǎng)、海洋食物鏈網(wǎng)等技術(shù)和生物網(wǎng)絡(luò)往往是負相關(guān)的[22]。其后的研究表明，并非所有社會網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性都為正[16]。

本文中，r>0表示朋友多的同學(xué)更容易和朋友多的同學(xué)結(jié)成朋友關(guān)系，而r＜0表示朋友多的同學(xué)更容易和朋友少的同學(xué)結(jié)成朋友關(guān)系。經(jīng)過計算得到4個網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)分別為-0.079 249、-0.105 34、-0.159 57和0.116 12。

通過對比數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：在前3個網(wǎng)絡(luò)中，其r值均為負，與通常所說的社會網(wǎng)絡(luò)往往正相關(guān)相悖。事實上，文中所研究的朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)是一個節(jié)點數(shù)只有31的小網(wǎng)絡(luò)，與演員網(wǎng)絡(luò)、科研合著網(wǎng)絡(luò)等動輒幾百上千個節(jié)點的實證網(wǎng)絡(luò)是無法比擬的，更無法與在線網(wǎng)絡(luò)千萬級的節(jié)點數(shù)作比較。因此，自身的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模決定了所研究的網(wǎng)絡(luò)與文獻中已有內(nèi)容的不同。且上文也提及，不一定所有的社會網(wǎng)絡(luò)其r參數(shù)都取正，負相關(guān)的結(jié)論也可為之提供些參考價值。另一方面，朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)是一個復(fù)雜的實證網(wǎng)絡(luò)，朋友的結(jié)成并不如在線網(wǎng)絡(luò)那樣純粹而直接，同鄉(xiāng)、同宿舍、同愛好等諸多原因影響了朋友關(guān)系的建立，各種錯綜復(fù)雜的因素結(jié)合在一起，使網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出與其他網(wǎng)絡(luò)截然不同的統(tǒng)計特征。第4個網(wǎng)絡(luò)的r值又變回正值，也從一個側(cè)面反映了網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性。

2.6 有向網(wǎng)絡(luò)的出度與入度

上述討論都基于所有網(wǎng)絡(luò)是無向的這一假設(shè)。但在實際中，兩人之間的朋友關(guān)系并不是相互的，即網(wǎng)絡(luò)是有向的。朋友網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點的出度表示本節(jié)點對應(yīng)的人所認可的朋友數(shù)，入度表示把該節(jié)點對應(yīng)的人作為朋友的人數(shù)。分析所獲得的有向網(wǎng)絡(luò)模型，統(tǒng)計并繪制各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的出度與入度分布如圖3所示。(“○”表示出度，“×”表示入度)

從圖3中可以明顯看出，大多數(shù)節(jié)點的出度與入度值相差很小，但也有一些節(jié)點，兩者的值差距很大。特別是第22個節(jié)點，出度分別為30、30、30、6，而入度卻分別只有27、12、3、0，其在各個網(wǎng)絡(luò)中都是對應(yīng)出度最大的節(jié)點之一，而出度與入度的差值是最大的。尤其在很好朋友網(wǎng)絡(luò)和最好朋友網(wǎng)絡(luò)中，入度更是減少到了3和0。

圖3 各網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的出度與入度

3 結(jié) 論

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，對某班級同學(xué)之間的朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)進行了研究和探討。通過對4個不同網(wǎng)絡(luò)的分析比較，發(fā)現(xiàn)個人的朋友選擇行為(個體的動力學(xué)行為)對于整個朋友網(wǎng)的構(gòu)成(網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu))有著重要的影響。

直觀看無向化后得到的拓撲圖，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)從復(fù)雜變得簡單，由連通圖轉(zhuǎn)化為不連通圖；從統(tǒng)計性質(zhì)看，網(wǎng)絡(luò)的平均度和集聚系數(shù)愈變愈??；平均路徑長度越來越大，直至出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的不連通性；度相關(guān)性亦由負相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)。網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點沒有發(fā)生變化，而網(wǎng)絡(luò)從具有小世界特性到逐漸消失該特性。普通朋友網(wǎng)絡(luò)是小世界的，而最要好朋友的網(wǎng)絡(luò)是不連通的。若考慮有向圖，則有些節(jié)點雖具有較大的出度，但入度很小。

雖然本文只選取了一個僅有36人容量的班級作為研究對象，且最后得到的有效數(shù)據(jù)只有31個，但可以為研究更大規(guī)模朋友網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)提供參考。

雖然采集數(shù)據(jù)量較少，希望以后可以有機會和條件研究具有更多節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)。 本文只是對朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)進行的一個初步實證研究, 還有更多的網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)變化情況在本文中并未涉及，這也是將來繼續(xù)要做的工作。除此之外，對于該網(wǎng)絡(luò)上的各種動態(tài)行為，如同學(xué)之間流言的傳播能力、興趣由個人到群體的擴散過程、各種影響朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的形成等尚待進一步深入研究。

[1] WATTS D J, STROGATZ S H. Collective dynamics of small-world Networks[J]. Nature, 1998, 393(4): 440-442.

[2] BARABáSI A L, ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science, 1999, 286(5439): 509-512.

[3] 周濤, 汪秉宏, 韓筱璞, 等. 社會網(wǎng)絡(luò)分析及其在輿情和疫情防控中的應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2010, 25(6): 742-754.

ZHOU Tao, WANG Bing-hong, HAN Xiao-pu, et al. Social network analysis and its application in the prevention and control of propagation for public opinion and the epidemic[J]. Journal of Systems Engineering, 2010, 25(6):742-754.

[4] BORGATTI S P, MEHRA A J, BRASS D J, et al. Network analysis in the social sciences[J]. Science, 2009, 323(5916):892-895.

[5] BALL B, NEWMAN M E J. Friendship networks and social status[DB/OL].[2012-05-30]. http://arxiv.org/abs/1205.6822.

[6] YIN Hai-ping, RONG Zhi-hai, YAN Gang. Development of friendship network among young scientists in an international summer school[J], Physica A, 2009, 388(17):3636-3642.

[7] EAGLE N, PENTLAND A, LAZER D. Inferring friendship network structure by using mobile phone data[J].Proceedings of the National Academy of Sciences, 2009,106(36): 15274-15278.

[8] GOLDER S A, WILKINSON D, HUBERMAN B A.Rhythms of social interaction: messaging w ithin a massive online network[C]//Proceedings of the Third Communities and Technologies Conference. London: Springer, 2007: 41-66.

[9] KWAK H, LEE C, PARK H，et al. What is tw itter, a social network or a new s media?[C]//Proceedings of the 19th International Conference on World Wide Web. New York:ACM, 2010: 591-600.

[10] 楊洪勇, 李凱旋, 林娜. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的學(xué)生交流網(wǎng)絡(luò)模型[J]. 控制工程, 2008, 15(4): 437-439.

YANG Hong-yong, LI Kai-xuan, LIN Na. Student intercommunication model based on complex networks[J].Control Engineering of China, 2008, 15(4): 437-439.

[11] 尹書華. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的微博用戶關(guān)系網(wǎng)絡(luò)特性研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 36(6): 57-61.

YIN Shu-hua. A research of user relations properties based on a complex network of m icroblog[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2011, 36(6): 57-61.

[12] FU Feng, CHEN Xiao-jie, LIU Liang-huan, et al. Social dilemmas in an online social network: the structure and evolution of cooperation[J]. Physics Letters A, 2007,371(1-2): 58-64.

[13] 劉晶, 李永先, 薛偉蓮. 國內(nèi)外在線社會網(wǎng)絡(luò)研究綜述[J]. 農(nóng)業(yè)網(wǎng)絡(luò)信息, 2011(3): 66-68, 86.

LIU Jing, LI Yong-xian, XUE Wei-lian. Review of online social network research at home and abroad[J]. Agriculture Network Information, 2011(3): 66-68, 86.

[14] 胡海波. 在線社會網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、演化及動力學(xué)研究[D].上海: 上海交通大學(xué), 2010.

HU Hai-bo. Research on the structure, evolution and dynamics of online social networks[D]. Shanghai:Shanghai Jiao Tong University, 2010.

[15] HU Hai-bo, WANG Xiao-fan. Evolution of a large on line social network[J]. Physical Letters A, 2009, 373(12/13):1105-1110.

[16] 何大韌, 劉宗華, 汪秉宏. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

HE Da-ren, LIU Zong-hua, WANG Bing-hong. Complex systems and complex networks[M]. Beijing: Higher Education Press, 2009.

[17] 汪小帆, 李翔, 陳關(guān)榮. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2006.

WANG Xiao-fan, LI Xiang, CHEN Guan-rong. Complex network theory and its applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006.

[18] 周濤, 柏文潔, 汪秉宏, 等. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究概述[J]. 物理,2005, 34(1): 31-36.

ZHOU Tao, BAI Wen-jie, WANG Bing-hong, et al. A brief review of complex networks[J]. Physics, 2005, 34(1):31-36.

[19] COSTA L D F, RODRIGUES F A, TRAVIESO G, et al.Characterization of complex networks: a survey of measurements[J]. Advances in Physics, 2007, 56(1):167-242.

[20] BARTHéLEMY M. Betweenness centrality in large complex networks[J]. The European Physical Journal B -Condensed Matter and Complex Systems, 2004, 38(2):163-168.

[21] NEWMAN M E J. Assortative m ixing in networks[J].Physical Review Letters, 2002, 89(20): 208071.

[22] NEWMAN M E J. M ixing patterns in networks[J].Physical Review E, 2003, 67(8): 026126.2010.

編 輯 蔣 曉