☉甘肅省蘭州市第二十七中學(xué) 陳鴻斌 高素環(huán) 安 熙

對一道高考試題的推廣*

☉甘肅省蘭州市第二十七中學(xué) 陳鴻斌 高素環(huán) 安 熙

（1）求M的方程；

（2）C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

本題是2013年新課程高考數(shù)學(xué)理科試題全國卷Ⅱ第20題.本題雖然考察常規(guī)，但是平凡中出新意，內(nèi)涵豐富，很有開發(fā)的價(jià)值，無疑是一道經(jīng)典之作.本題的原型可追溯到2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第16題.

文［1］、［2］分別對此問題作了研究，并且給出了圓中以垂直弦為對角線的四邊形面積最值問題的一些一般性結(jié)論.

筆者在文［3］中曾討論了圓錐曲線中以同過焦點(diǎn)或中心的垂直弦為對角線四邊形的面積最值問題.文［3］中探究的問題與本題有相似之處，不同點(diǎn)在于本題討論一條對角線過焦點(diǎn)，另一條無限制，求面積的最值問題.

證明：不妨設(shè)F為橢圓M的右焦點(diǎn)（c，0），弦AB的傾斜角為θ∈［0，π）.如圖1所示.

當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即直線CD過橢圓M的中心時(shí)，取“=”號(hào).

當(dāng)直線CD的斜率不存在時(shí)，弦AB為長軸，當(dāng)且僅當(dāng)弦CD為短軸，過M的中心時(shí)，四邊形的面積最大，即Smax=2ab.在式①中，令θ=0，則S≤2ab.所以當(dāng)直線CD的斜率不存在時(shí)，仍然滿足式①.

綜上可知，當(dāng)直線CD過M的中心時(shí)，四邊形ACBD的面積取得最大值

在左焦點(diǎn)（-c，0）處結(jié)果與上相同.

把上述結(jié)論加強(qiáng)，如果直線CD過M的中心，且四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，那么四邊形ACBD面積的最大值又會(huì)是多少呢？

1.侯典峰.一道高考題的幾個(gè)思維層次［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2009（8）.

2.黃萍.對一道高考填空題的再拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2009（11）.

3.陳鴻斌.一道經(jīng)典高考題的再研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2011（4）.

*本文是甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“新課程背景下高考數(shù)學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的策略研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：G S［2 0 1 3］G H B 0 4 6 8）的階段性成果.