☉江西省安福縣城關(guān)中學(xué) 曹經(jīng)富

☉江 西 省 教 研 室 陳莉紅

走進(jìn)拓展，竟如此美麗
——記2013年江西中考幾何壓軸題的研究與拓展

☉江西省安福縣城關(guān)中學(xué) 曹經(jīng)富

☉江 西 省 教 研 室 陳莉紅

中考?jí)狠S題或課題學(xué)習(xí)類(lèi)試題，通常以學(xué)生熟悉、感興趣、有價(jià)值的素材或數(shù)學(xué)活動(dòng)為切入點(diǎn)，立足于知識(shí)、問(wèn)題的生長(zhǎng)點(diǎn)、發(fā)展點(diǎn)、延伸點(diǎn)，借助操作活動(dòng)、經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、思想方法等，培養(yǎng)感性直覺(jué)和理性思考為目標(biāo)，重在考查考生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.作為數(shù)學(xué)教師，在日常教學(xué)中，如果挑選一些具有廣闊前景的中考試題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣古c延伸，深入思考與探究，舉一反三，放棄題海戰(zhàn)術(shù)，以一當(dāng)十，我們就能獲得最大限度的收獲.現(xiàn)以2013年江西中考幾何壓軸題為例進(jìn)行拓展與延伸，與大家分享與探討.

例：（2013年江西）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程.

●操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是_________.（填序號(hào)即可）

●數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程.

●類(lèi)比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀.

答：__________________.

解析：操作發(fā)現(xiàn)：①②③④.

數(shù)學(xué)思考：MD=ME，MD⊥ME.

類(lèi)比探究：等腰直角三角形.

評(píng)析：本題以動(dòng)態(tài)三角形為背景，以兩邊為斜邊向外構(gòu)建等腰直角三角形，探究?jī)芍苯琼旤c(diǎn)與第三邊的中點(diǎn)所連線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，注重從特殊（圖1）到一般（圖2），即從特殊等腰三角形入手，逐步過(guò)渡到任意三角形，當(dāng)從點(diǎn)A在BC的上方過(guò)渡到點(diǎn)A在BC的下方時(shí)（圖5）（也就是題中兩邊為斜邊向內(nèi)作等腰直角三角形（圖3）），幾何屬性的結(jié)論仍保持不變，有助于引導(dǎo)教師和學(xué)生在日常的教學(xué)與學(xué)習(xí)中注意觀察與思考相關(guān)幾何圖形的變與不變的屬性.本題所考查的知識(shí)與能力相當(dāng)豐富與深?yuàn)W，如特殊三角形的性質(zhì)（等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）、三角形的中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，試題巧妙地設(shè)置“操作發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學(xué)思考”、“類(lèi)比探究”由易到難的三個(gè)層次.在“操作發(fā)現(xiàn)”中，設(shè)置一些簡(jiǎn)單的補(bǔ)充說(shuō)明文字與判斷選項(xiàng)題，起點(diǎn)低，入口寬，讓學(xué)生作出分析與思考后直接進(jìn)行判斷，循序漸進(jìn)地引領(lǐng)學(xué)生在觀察操作中積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及簡(jiǎn)單邏輯推理；在“數(shù)學(xué)思考”中，通過(guò)背景圖形的變化（從特殊等腰三角形，逐步過(guò)渡到任意三角形），將數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊性拓展到一般性、普遍性，進(jìn)行推廣與應(yīng)用，由直覺(jué)感觀逐步上升到理性思考，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、探究與求證；在“類(lèi)比探究”中，進(jìn)一步將問(wèn)題推向一個(gè)新的高峰與推理.該幾何壓軸試題也飽含命題者的良苦用心及對(duì)廣大學(xué)生的人文關(guān)懷，如在“操作發(fā)現(xiàn)”中的特殊圖形的相關(guān)輔助線示范、補(bǔ)充與提示，由易到難的層次的設(shè)置，相關(guān)幾何圖形由特殊到一般的變化過(guò)程，幾何圖形性質(zhì)的不變性等，都給了學(xué)生很好的啟示、引領(lǐng)與水到渠成的提示.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，在試題研究和課堂教學(xué)中，如果我們能以三角形、四邊形等基本圖形為背景，以相關(guān)邊長(zhǎng)或某些線段的長(zhǎng)作正多邊形，借助相關(guān)點(diǎn)動(dòng)，帶動(dòng)背景圖形（三角形、四邊形等）的變化，相關(guān)圖形之間的位置、形狀與大小關(guān)系卻依然保持著某些結(jié)論的變與不變的屬性，給我們?cè)鎏頍o(wú)窮的趣味性、想象力和探究力.

拓展1：在任意△ABC中，F(xiàn)、G、M分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，分別以AF、AG為邊向外作正n邊形（n為大于2的整數(shù)），如：正三角形ADF，正三角形AGE（圖6）；正方形AFDL，正方形AGEO（圖7）；正五邊形AFDLO，正五邊形AGEXY（圖8）；……，∠EMD=y.

（1）探究MD和ME的大小關(guān)系；

（2）寫(xiě)出y與n之間的關(guān)系；

（3）當(dāng)點(diǎn)A位于BC的下方時(shí)（即向內(nèi)作正n邊形，如圖9、圖10、圖11），（1）和（2）中的結(jié)論是否依然成立？

拓展2：以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，連接EB、FD，交點(diǎn)為G.

（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)（如圖12），EB和FD的數(shù)量關(guān)系是_________.

（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)（如圖13），EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明.

（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，∠EGD是否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)求出∠EGD的度數(shù).

本題在例題中三角形的基礎(chǔ)上拓展：以動(dòng)態(tài)特殊四邊形為背景，以一組鄰邊為邊向外作等邊三角形，醞釀與構(gòu)建從特殊（正方形到矩形）到一般（平行四邊形），以此進(jìn)一步類(lèi)推，以這組鄰邊為邊向外作正n邊形，始終保持相關(guān)圖形之間位置、大小、形狀之間的變與不變的幾何屬性（線段之間的數(shù)量關(guān)系及所夾角度）.

拓展3：如圖17～19，以矩形ABCD的邊AB、AD為邊分別向內(nèi)側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，連接EB、FD，它們相交于點(diǎn)G或它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.∠EGD是否發(fā)生變化？并求出∠EGD的度數(shù).

解析：以矩形ABCD的邊AB、AD為邊分別向內(nèi)側(cè)作等邊三角形ABF和ADE.當(dāng)點(diǎn)G在線段FD的延長(zhǎng)線上（如圖17）時(shí)，∠EGD=60°.當(dāng)點(diǎn)G在線段FD（如圖18）或DF的延長(zhǎng)線上（如圖19）時(shí)（但點(diǎn)G不在線段EB或EB的延長(zhǎng)線上），∠EGD=120°.

拓展與延伸中考題或幾何素材，對(duì)老師而言是開(kāi)發(fā)有限的教材資源、創(chuàng)造性地使用試題素材的舉措之一，對(duì)同學(xué)們而言是研究性學(xué)習(xí)的一種有效的方法，不僅可以幫助自己更好地理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，而且可以培養(yǎng)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，達(dá)到整合知識(shí)的目的.同學(xué)們運(yùn)用自己探索發(fā)現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律或結(jié)論解決問(wèn)題時(shí)，不僅會(huì)產(chǎn)生一種成就感，而且會(huì)提高對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)課程的興趣，在試題的拓展中領(lǐng)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和探究問(wèn)題的方式、方法，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性.

用我們教師的無(wú)限的智慧與辛勤的汗水，將中考試題的變式、拓展播撒在我們的課堂，讓我們的學(xué)生在試題拓展的課堂中自然體驗(yàn)試題的獨(dú)特風(fēng)韻、新中考的清新容顏.把數(shù)學(xué)之妙、數(shù)學(xué)之思、數(shù)學(xué)之用、數(shù)學(xué)之美展現(xiàn)在我們精心設(shè)計(jì)的題組里，讓學(xué)生盡情起舞，從容地面對(duì)更高、更遠(yuǎn)的天空，把夢(mèng)想與希望放飛，成就人生的精彩.

1.卜以樓.一個(gè)幾何模型在中考試題中的拓展與延伸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2010（6）.

2.吳永剛，董建功.從“無(wú)從下手”到“別有洞天”——對(duì)一道中考幾何題的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2009（9）.

3.喻漢林.中考數(shù)學(xué)命題創(chuàng)新的意義與方法［J］.試題研究，2003（2）.

4.曹經(jīng)富.立足教材習(xí)題 注重知識(shí)延伸［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2012（7）.

5.曹經(jīng)富，劉榮堅(jiān).與三角形、四邊形有關(guān)的變換操作題賞析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2012（6）.