☉陜西省延安中學 賀光香

平淡并非無奇 探索亦有收獲
——一道向量試題引發(fā)的思考

☉陜西省延安中學 賀光香

向量是新課程高中數(shù)學中具備工具化作用的章節(jié)，其自身較為靈活的特點以及和解析幾何、三角函數(shù)等相關(guān)知識的結(jié)合，使其成為高考的重要考查點.向量一直以言簡意賅的表述展示于選擇或填空之中，這類向量問題往往是高考數(shù)學的難點所在.本文以一個向量試題為出發(fā)點，從三個方面來闡述向量教學需要關(guān)注的三個基本點，讓向量問題的解決變得深入學生之心，進而改變向量在學生心目中的神秘感.

一、問題

師：同學們，本題最核心的條件是哪一個？

生：應該是（a-c）·（b-2c）=0.

師：請大家分析一下，本題的條件暗示了什么？

師：好，那我們圍繞向量a，b，c建構(gòu)圖形進行嘗試，請同學們試一試.

師：利用圖形，我們關(guān)注了向量垂直條件的轉(zhuǎn)化，利用條件給出的向量夾角，并結(jié)合有效信息建構(gòu)合理的圖形，將問題轉(zhuǎn)化為圓外定點到圓上動點的距離問題，這種利用圖形化解決向量的方法是常用的.大家想一想，有沒有其他的方法呢？

生：老師，我是用坐標做的！

師：考慮到向量a，b滿足夾角60°，且模長均為定值，因此采用坐標化的代數(shù)運算來解決，這樣的方法技巧性低.請大家動手試一試.

師：同學們解答的很好，利用軌跡思想和三角換元，將模長問題轉(zhuǎn)化為一種正交分解下的計算，簡單而有效.因此，大家要學會代數(shù)的方式解決向量問題.

生：老師，能不能用自由向量的代數(shù)方式呢？

師：好，多思路的開拓，利用自由向量的代數(shù)解法，有利于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃悸?、拓展其視野，我們學習數(shù)學不能只會用“畫圖”的方法解決向量，后兩種代數(shù)的方法也有效地解決了向量中稍難的問題，相比來說，坐標化的代數(shù)方法更適合大家在應試的時候使用.

二、認識

1.向量知識系統(tǒng)化

2.多元途徑本質(zhì)化

本題求解的多元途徑，是從向量的兩種方式下手，領(lǐng)略到了不同解決策略的魅力.問題求解中，若圖形建構(gòu)無法實施時（本題解法1），代數(shù)方法（解法2、3）向大家展示了運算力量的魅力，另一方面，我們也要正確看待本文中圖形建構(gòu)的途徑，它展示了數(shù)形結(jié)合思想的魅力，從中感受到以形解數(shù)的優(yōu)勢，是對一定知識運用到能力層面的創(chuàng)新體系，它給了我們一盞明燈，題目本質(zhì)躍然紙上.

3.學生探究主動化

作為復習教學典型性問題，教師在教學階段必須引導學生進行有效的思維培養(yǎng)和探究活動.數(shù)學解題教學需要培養(yǎng)的是學生的問題解決能力和創(chuàng)新能力，而主動化的探究策略是解題教學較為適合的教學策略，其通過教師的正確引導，使學生始終思考在正確的方向和途徑上，既高效又簡潔.

本題的向量解題教學看似平談無奇，但在解決問題的背后體現(xiàn)出學生自主的思想，在課堂解題教學中不惜時、不惜力，將向量解決的核心方法一一引導學生去發(fā)現(xiàn)、探索和小結(jié)，利用一題多解、學生參與、積極探討的多樣化手段來加強解題教學，減弱解題教學的枯燥性.另一方面，用一題多變結(jié)合學生的探究、參與，激發(fā)其認知沖突，在這樣的問題上要把學生卷入其中，給予時間和機會，學生在思維的變化上才能有實質(zhì)性的提升.

三、結(jié)語

優(yōu)質(zhì)的向量解題教學，必需對學生進行兩種思維策略的培養(yǎng)，既本文所表述的代數(shù)策略和圖形策略.平時教學，不要用大量的重復的訓練、大規(guī)模的解題技巧訓練去占據(jù)教學的時間，而要以精辟的問題為引領(lǐng)、以多變的解法為指導、以學生積極參與為手段、以知識系統(tǒng)化為主要目標進行，否則學生遇到試卷中的難題往往是毫無機會.以省統(tǒng)測的一個問題，筆者管窺了向量解題教學的三點思考，立足于思想方法（代數(shù)角度和圖形角度），對自身的教學做了一些思考，不足之處請讀者補充.

1.趙思林.關(guān)于高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的立意［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2009（1-2）.

2.章建躍.概念教學必須體現(xiàn)概念的形成過程［J］.數(shù)學通報，2010（1）.

3.沈恒.千里之行，始于足下［J］.數(shù)學教學，2011（2）.