☉江蘇省南京市第29中教育集團致遠校區(qū) 朱玉祥

一道閱讀理解題的測后講評及教學反思

☉江蘇省南京市第29中教育集團致遠校區(qū) 朱玉祥

進入初三后，學校舉行了第一次月考.月考范圍是蘇科版義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學九年級上冊第1、3、4章，其中第4章的一元二次方程的應用問題不考.具體內容為圖形與證明（二）、二次根式、一元二次方程及其解法.

月考目的明確，重點考基礎.學校要求試卷的難度在0.8左右，實際考下來，難度為0.72.試卷的壓軸題是閱讀理解題型，內容為用配方法求代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0）的最值問題，并用于實際問題的解決.題目有3個小題，共6分，按1∶1∶4配分.一般來說，求最值問題屬于二次函數(shù)的內容，如果此題放在二次函數(shù)后考，學生理解起來就容易些.但是，作為一元二次方程配方法的拓展，作為能力的測試，提前考一考學生也是可以的.結果分析，此題的得分率接近0.4，與學情較為吻合.可見，大多數(shù)學生對用配方法求代數(shù)式的最值的理解還存在明顯的困難，有必要重點講評.講評的價值在于，它對完善學生對配方法的認識有利.

一、試題分析

1.題目

配方法可以用來解一元二次方程，還可以用來解決很多問題.例如：

因為3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有a=0時，才能得到這個式子的最小值1.同樣，因為-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有a=0時，才能得到這個式子的最大值1.

（1）當x=______時，代數(shù)式2（x-1）2+3有最______（填寫大或?。┲?，為_____.

（2）當x=______時，代數(shù)式-2x2+4x+3有最______（填寫大或?。┲担瑸開_____.

（3）如圖1，矩形花園的一面AD靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是16 m，當花園與墻垂直的一面AB長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

2.得分情況

以筆者所教兩個班為例，此題的得分率甲班是0.32，乙班是0.53.甲、乙兩班，一是普通班，一是提優(yōu)班，兩班均分在相應層次班中都是最高.由此可見，整個年級壓軸題的答題情況也大致如此.

3.幾種錯誤解答

（1）、（2）兩題的錯誤五花八門，就不一一列舉了.主要問題是學生不能理解題意，對“最大”、“最小”隨意判斷，特別是小題（2），學生不經(jīng)過配方就下判斷，比如填寫成“當x=0時，代數(shù)式-2x2+4x+3有最大值，為3.”

小題（3），學生的主要錯誤有如下3種.

（1）用列表法尋找答案.

解：設AB的長為xm，則BC的長為（16-2x）m.

根據(jù)題意，得S=x（16-2x）.

因為x＞0，16-2x＞0，所以0＜x＜8.列表：

x/m 1 2 3 4 5 6 7 S/m2 14 24 30 32 30 24 14

從表格可以得到，當x=4時，S最大，最大值是32.

所以AB長為4 m時，花園的面積最大，最大面積是32 m2.

（2）套用小學學過的結論.

解：設AB的長為xm，則BC的長為（16-2x）m.

（3）只見配方之“形”，卻無配方之“實”.

解：設AB的長為xm，則BC的長為（16-2x）m.

根據(jù)題意，得S=x（16-2x）=-2x2+16x.

因為-2x2≤0，所以-2x2+16有最大值16x.

即-2x2+16x≤16x，當x=4時，-2x2+16x的最大值是32.

所以AB長為4m時，花園的面積最大，最大面積是32 m2.

二、講評環(huán)節(jié)與簡述

1.講評環(huán)節(jié)

試題講評，不僅要讓學生知其然，還要讓學生知其所以然；不僅要讓學生懂得題目的正確解法，還要讓學生明白錯誤解法究竟錯在何處.目標是：講評后，學生恍然大悟：原來這樣做！

經(jīng)過一番思考，壓軸題講評大致按下面的幾個環(huán)節(jié)進行.

（1）讓學生討論：閱讀理解題要我們閱讀什么？理解什么？題目在暗示我們什么？

（2）展示錯題，讓做錯的學生談談他們的解題想法，并組織辨析.

（3）請解答正確的學生講題，并談解題體會.

2.講評簡述

環(huán)節(jié)1：呈現(xiàn)壓軸題.

教師問：這是什么題型？

學生集體回答：閱讀理解.

教師繼續(xù)問：既然是閱讀理解，那當然要好好閱讀，好好閱讀就是帶著“理解”的目的去讀.請同學們談一下閱讀的體會.

學生1：我的體會就是首先要把題目仔細地讀一遍，看看題目都說了什么，可是，我知道題目在說什么，但就是沒懂啥意思，所以，這題我沒做對.

教師引導：閱讀題目除了要讀明白題目說了什么，還要看題目要解決什么問題，怎樣解決問題.邊看邊把關鍵詞用筆劃下來，以提醒解題時注意.現(xiàn)在來讀第一句話，看看這句話傳遞著什么信息.

學生2：第一句話告訴我們用配方法不僅可以解一元二次方程，還能解決其他問題.

教師點評：不錯.第一句其實就是傳遞著“配方法可以解決新的問題”的信息，同時也暗示我們解決所給新的問題要用配方法.所以，讀了這句話，就該把“配方法”3個字劃下來，以引起注意.如果誰用其他方法解決問題，那么他首先就犯了理解的錯誤.

數(shù)學閱讀題，往往就是給出一個概念，或給定一個方法，然后我們就要用它所給的概念或方法解決問題.一般來說，題目中還會舉幾個例子，具體示范怎么用給定的概念或方法，那么閱讀時就要用心去體會，解題時謹慎去模仿（不僅形似，還要神似），并注意沿用同樣的思路和方法.

教師引導：大家繼續(xù)看題目中的“例如”，這里給出了如何判斷配方式的最大值和最小值的方法.

學生3：我就是這兒沒讀懂.主要是對3a2+1后面的1為什么是最小值，而-3a2+1后面的1卻又是最大值，沒有弄明白.

學生4：我有點懂.在3a2+1中，3a2的值越大，和就越大；3a2的值越小，和就越小.因為3a2沒有最大值，只有最小值，所以，當3a2=0，也就是a=0時，3a2+1的值就最小，最小值是1；而-3a2沒有最小值，只有最大值，所以，當-3a2= 0，也就是a=0時，3a2+1的值就最大，最大值是1.

教師贊賞地點評：學生3說得很好，最大值、最小值的判斷不容易理解.不過學生4解釋得很好，兩個數(shù)相加，一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)的大小就決定了和的大小，關鍵看另一個加數(shù)究竟能取到最大還是最小，如果能取到最大，則和就最大；如果能夠取到最小，則和就最小.當然，這個問題還需要再深入理解.

老師引導學生關注“例如”中兩個式子中的平方項.經(jīng)過討論、爭辯，學生知道了a2前的系數(shù)的正負能決定和的值的最大或最小，若系數(shù)是正數(shù)，比如3，3a2+1就有最小值；若系數(shù)是負數(shù)，比如-3，-3a2+1就有最大值.這樣判斷既容易又快速.

但從討論中發(fā)現(xiàn)，很多學生對3a2+1和-3a2+1是配方式并不理解，認為3a2+1與-3a2+1并沒有經(jīng)過配方，甚至有學生還考慮過該如何對3a2+1和-3a2+1進行配方.筆者在黑板上寫道，式子3（a-0）2+1和-3（a-0）2+1是不是配方式？學生謹慎答道：是.或許學生覺得這么寫還是有點別扭，但覺得它很“像”配過方的式子.筆者告訴學生，一般配方式形如a（x-h）2+k，而3a2+1和-3a2+1其實就是3（a-0）2+1和-3（a-0）2+1，3或-3相當于一般配方式中的a；在3a2+1和-3a2+1中的a和1就相當于一般配方式中的（x-h）和k，只是h=0而已，所以，3a2+1和-3a2+1本身就是配方式.只有這樣理解，我們才能把“例如”中的思想方法遷移到題（1）和題（2）中來，比如題（1）中的代數(shù)式2（x-1）2+3就是一個標準的配方式，回答起來容易些；而題（2）要通過配方化為a（x-h）2+k，才可解決問題.

學生5：我知道要配方，但就不知道代數(shù)式-2x2+4x+3怎么配方.一元二次方程配方，是在“=”兩邊同時除以二次項系數(shù)，然后把常數(shù)項移到“=”右邊，再在“=”兩邊同時加上新的常數(shù)項，可是-2x2+4x+3后面沒有“=”，更看不到有“=”右邊的0，沒有辦法“同時除以”，也沒有辦法“同時加上”，當時就覺得題目有問題，所以無法解答.

這正是題（2）答得比題（1）差的主要原因.根據(jù)教科書提供的解一元二次方程的配方方法，都是在“=”兩邊進行的，所以，學生遇到?jīng)]有等號的二次式就束手無策了.有的學生只好直接答最大值是3.

教師請做對的學生展示一下正確的配方，并談配方的體會.

學生6：（投影正確配方結果之后）我是想，二次項的系數(shù)要變成1，在方程兩邊可以同時除以二次項的系數(shù).但在代數(shù)式中就不行了，只能“提”出來，否則就改變原來代數(shù)式的值了.配新的常數(shù)項也一樣，必須加一項再減這項，否則也會與原式不等.

學生這才明白，代數(shù)式的配方要在一邊進行，而且也可以在一邊完成.給代數(shù)式配方的策略是“提”二次項系數(shù)，而不是除以二次項系數(shù)；是加上新常數(shù)項再減這個新常數(shù)項，而不是在等號兩邊“同時加”.

教師給出結論：對一般配方式a（x-h）2+k：若二次項系數(shù)a＞0，a（x-h）2+k有最小值，當x＝h時取得最小值k；若二次項系數(shù)a＜0，a（x-h）2+k有最大值，當x＝h時取得最大值k.特別地，若a＞0，配方式ax2+k有最小值，當x＝0時，ax2+ k取得最小值k；若a＜0，配方式ax2+k有最大值，當x＝0時，ax2+k取得最大值k.

環(huán)節(jié)2：先展示3種錯解，請解答錯的學生談談解題的想法.

學生6：我是用列表法找最大面積的.因為我覺得只要能找到最大面積就行了，用什么方法都可以.由于以前學過用表格來探討數(shù)的變化情況，所以我覺得用這種方法是可靠的.通過表格，很容易就找到了最大值.可惜沒得到分，有點兒想不通.

學生7：因為你沒有用配方法.（大家笑）

學生8：列表求最大值不行.因為表中只列出x取整數(shù)時對應的x（16-2x）的值，是不全面的.因為并不是所有的代數(shù)式都是在x為整數(shù)的時候才有最大值，所以，用列表法來找最大值不可靠.

教師點評：學生8講得對，表格中只列出了幾對特殊值，當x取3.9或4.1時，表格中并沒有列出它們對應的值，也就無法判斷這些對應值是不是比32要小，所以，說32是最大值理由不充分.所以，表格法不能解決代數(shù)式值的最大或最小問題.并且列表法也的確不符合題目規(guī)定的解題要求.

學生9：我是用小學學過的一個結論來做的.但就是沒有搞清楚圍成4邊和圍成3邊的區(qū)別.其實做的時候我就沒有把握，只是因為我不知道怎么配方，就只好這樣做碰碰運氣了.結果真錯了.

學生10：其實，不管是圍成4邊還是圍成3邊，用小學學過的結論都能得到結果.比如總的長度為16，用16除以4得4，如果圍4邊，邊長為4的正方形面積最大；如果圍3邊，寬為4、長為8的長方形面積最大.

教師追問：為什么？理由呢？

學生說反正小學就這樣做的.

教師指正：對本題而言，指定用配方法解決問題，所以這個結論肯定不能用.不過學生10說的結論是對的.但這個結論在小學用用還行，在中學用就得先獲得可以直接引用的“許可證”（需要證明）.所以，在沒有“許可”之前，即使題目中沒有指定方法，也不要用這個結論.當然，在不需要解答過程的填空題或選擇題中是可以用的.

學生11：我用的是第3種方法，我不會配方，就模仿3a2+1與-3a2+1.現(xiàn)在我知道，我的模仿只是“形”似，而“神”不似，根本就不是配方.其實當時我就知道錯了，因為我“配方”后卻無法計算了.但我知道x的值應該是4，就在后面寫了x＝4時，取得最大值32.我那是“投機取巧”，結果還是沒取到巧.

環(huán)節(jié)3：引入正確解法.

教師小結：第1種和第2種方法都沒有用配方法，而且解法也有問題，所以是錯的.第3種方法雖然想到了配方，但配方配得不對，外形有點像，實質卻相差很遠.所以，也是錯的.這3種方法都說明大家沒有理解題意，這是出錯的關鍵.下面看正確的解答.請學生12講一講解題的想法.

學生12：（投影正確解法，并解釋每一步解答的理由）我主要是理解了題目的要求，知道用配方法解決問題，所以，我就對列出來的表示面積的式子配方，然后學著“例如”的方法判斷面積的最大或最小值.這題我拿滿分的最大體會就是：題目要多讀、多想、多用心揣摩思想方法.

教師：多讀、多想很重要.平常大家要讀一讀概念，讀一讀定理，還要多讀一些例題.讀后還要多想，多用心揣摩解題方法，要嘗試解題，要通過不斷地訓練來提高解答“閱讀理解”題的能力.

三、教學反思

1.配方法教學要呈現(xiàn)多樣化

配方法是重要數(shù)學方法.教材在一元二次方程中首提配方法，之后在二次函數(shù)中再提配方法.但這兩種配方的形式有所不同.一元二次方程的配方（書中例題都是采用這種方法），在標準形式下常利用等式的性質分三步進行，一是把原方程的常數(shù)項移到等號右邊，二是在等號兩邊同時除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1，三是在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，這時左邊就配成完全平方式，右邊是常數(shù)，接下來就可以用開平方的方法求解了；而二次函數(shù)的配方，不能在等號兩邊進行，而是在二次式的一邊先把二次項的系數(shù)提出來，然后利用先加后減的方式配上一次項系數(shù)一半的平方，最后再轉化為標準的配方式.由于這兩種方法的不同，導致學生學會了一元二次方程的配方，卻不能對一元二次三項式進行配方，就像月考中的壓軸題，學生并不能把對一元二次方程的配方方法遷移到對二次式的配方上來.這固然和教學沒有講透配方的本質有關，但更和教學一元二次方程的配方解法的單一性有關.

由此想到，在教學一元二次方程的配方法時，不妨改變配方的形式，或呈現(xiàn)多樣化的配方方法，既講在等號兩邊的配方方法，也講在等號一邊的配方方法，這樣，學生就容易適應二次函數(shù)的配方，方法得到統(tǒng)一，過渡就會平穩(wěn).

舉個例子，在教學配方法解一元二次方程2x2-4x-3= 0時，就可以采用以下兩種方法：

兩種方法的教學，呈現(xiàn)出配方方法的多樣化，一是容易加深學生對配方本質的理解，二是學生對二次函數(shù)的配方容易順利接受.

2.特殊的配方式不可一帶而過

一元二次方程的標準形式是ax2+bx+c=0（a≠0），對于標準形式的一元二次方程的配方，學生會按步驟中規(guī)中矩地進行，然后得到配方式（x+h）2=k.如果一元二次方程只有二次項和一次項，學生也能從容配方，因為他們能找得到二次項系數(shù)化為1后的一次項系數(shù)，他們會有依據(jù)地配上一次項系數(shù)一半的平方，最后還是能得到（x+h）2=k.但對缺少一次項的一元二次方程，比如ax2+c=0（a≠0），學生就不知道如何對待了.因為他們發(fā)現(xiàn)，要配的新的常數(shù)項的依據(jù)“一次項”找不到了，所以，就會覺得無法完成配方.真是“身在此山不識山”.ax2+c=0本身就是配方式，卻還在為配方煩惱，怎不讓人一聲嘆息呢.出現(xiàn)這種情況，只能說明在平常教學中，老師沒有把特殊的配方式認真地向學生交待清楚，多數(shù)情況下是一帶而過，所以學生識別不出.

其實這種現(xiàn)象不只在配方中.有的學生竟不知道最簡單的一元二次方程可以是x2=0.要求學生寫一個一元二次方程，其兩根分別是2和-2，有的學生不敢寫成x2=4，卻要寫成2x2-8=0，甚至寫成2（x-2）（x+2）=0才放心.在二次函數(shù)中，學生能說出y=2（x-1）2-5的圖像的頂點坐標，卻對說出y=x2或y=x2+1的圖像的頂點坐標遲疑不決.這就說明一些特殊式子在教學中也要特別指出，以讓學生能判斷、會識別.

比如對配方式3x2+1和-3x2+1，在教學中就需要對照一般式a（x+h）2+k給予解釋，說明一般式中，若a=±3，h=0，k= 1，那么就可得到3x2+1和-3x2+1，這就是特殊的配方式了.

3.教學中要滲透學生閱讀能力的培養(yǎng)

學生閱讀理解能力不足，與數(shù)學教學中輕視學生閱讀有關.比如現(xiàn)在常用PPT教學，容量大，換頁快，學生根本就來不及閱讀，更多情況下，都是教師直接代替學生閱讀，長期如此，學生的閱讀水平就難以得到提升.教學中的概念和例題，也都是教師講解，很少要學生去讀內容，去讀解答，因此，閱讀理解題中的概念、方法及解題暗示，學生難以從中讀得出來，這就成了解答閱讀理解題的一個障礙.

同樣，教學中指導學生閱讀更是缺失.一道題目，一個概念，究竟怎樣去讀才能增加理解，這需要在平時教學中給予滲透式的訓練.比如幾何題的閱讀，就需要指導學生一邊讀題一邊看圖，一邊看圖一邊在圖上作標記，一邊在圖上作標記一邊想與之相關的內容.每讀到一個“形”，就要在圖中找到“形”，就要標記“形”的相關條件，就要想到與“形”有聯(lián)系的一些概念或定理，這樣閱讀就會增加學生對題目的理解.再比如應用題的閱讀，可以指導學生先閱讀題目的最后一句，明白求什么，不妨先把要求的“什么”用x表示，也就是設好未知數(shù)，然后一邊讀題一邊用筆劃下關鍵字詞句段，并把表示未知數(shù)的量或與未知數(shù)相關的量用x或含x的代數(shù)式表示，這樣做本身就是嘗試理解，題目讀完，題意大體就在腦海中成形了.平時對書上的例題，也可以讓學生先閱讀，包括讀解答，教師只須對例題設置一些提問，來檢查學生的理解程度，同時可以指導學生對例題解答的每一步計算或推理寫出依據(jù)，引導學生去理解.筆者認為，例題未必都需要教師去講，有的時候完全可以讓學生先閱讀，然后就給出題目讓學生根據(jù)例題的思路嘗試解答，以此方法來培養(yǎng)學生對題目的閱讀理解力.

數(shù)學教學要有耐性.一味地圖快，一味地趕進度，往往會把學生的閱讀時間甚至理解數(shù)學的時間都擠掉，這對學生的閱讀理解能力的提高，甚至對學生整個數(shù)學的學習都是不利的.

1.肖世兵.客觀題講評應重視“對而不懂”現(xiàn)象［J］.中學數(shù)學（下），2013（8）.

2.王莉.養(yǎng)成好習慣 發(fā)揮正能量——淺談七年級學生良好數(shù)學學習習慣的培養(yǎng)［J］.中學數(shù)學（下），2013（11）.

3.朱玉祥.“千算萬算”離不開“計算”——由中考題中的“計算”說起［J］.中學數(shù)學（下），2013（11）.WG