☉江蘇省連云港市連云區(qū)東港中學(xué)新校區(qū) 劉 倩

應(yīng)用題教學(xué)：用力在何處
——由一節(jié)研討課說起

☉江蘇省連云港市連云區(qū)東港中學(xué)新校區(qū) 劉 倩

眾所周知，數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活.初中階段的情境應(yīng)用問題是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文結(jié)合最近聽過的一節(jié)《二元一次方程組的應(yīng)用》研討課談?wù)剬?duì)應(yīng)用題教學(xué)的思考，與同行研討.

一、《二元一次方程組的應(yīng)用》研討課片斷

片斷一：開課階段

今天上課前老師要送給大家一句話：

要么去旅行，要么讀書，身體和靈魂總要有一個(gè)在路上……

今天老師也想帶著大家去旅行，想讓大家通過去過的不同地方感受現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中不同領(lǐng)域所存在的數(shù)學(xué)學(xué)問.

那是什么學(xué)問呢？請(qǐng)看課題：增收節(jié)支，請(qǐng)導(dǎo)游先解釋一下.

（播放視頻，講解增收節(jié)支的含義）

好，明確了此次旅行的目的之后，我們現(xiàn)在就要做些準(zhǔn)備了，馬上進(jìn)入熱身練習(xí).

熱身練習(xí)

學(xué)生獨(dú)立完成熱身練習(xí)（標(biāo)出每題的等量關(guān)系）：

（1）某工廠去年的總收入是50萬元，今年的總收入比去年增加20%，則今年的總收入是__________萬元；

（2）若該廠去年的總支出為10萬元，今年的總支出比去年減少了x%，則今年的總支出是__________萬元；

（3）若該廠今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則今年的利潤為150萬元，那么可得方程_____________.

（教師下去巡查，批改組長(zhǎng)的練習(xí)，之后組長(zhǎng)批改小組其他成員，全部做完后小組交流）

師：好，我們旅行的準(zhǔn)備已經(jīng)做好，現(xiàn)在我們開始第一站：連云港開發(fā)區(qū)某工廠.這個(gè)工廠的老板在糾結(jié)一道數(shù)學(xué)問題，看看我們大家能不能幫助他解決呢，可是有禮物的哦.

片斷二：例題教學(xué)

例題 某工廠去年的利潤（總收入-總支出）為200萬元，今年的總收入比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，則去年的總產(chǎn)值和總支出各是多少萬元？

呈現(xiàn)例題后，老師請(qǐng)一個(gè)學(xué)生讀了一下題目，就迫不急待地開始指導(dǎo)

師：同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系比較多，首先看這個(gè)問題中要求的量有兩個(gè)，因此我們可以設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，題目中，涉及的量不過是這樣三類：總收入、總支出、利潤，我們是否可以用一種形式將這些數(shù)量清晰地表示出來呢？

眾生：列表.

（教師很高興，播放PPT上準(zhǔn)備好的表格）

師：把題目中涉及的三類量填到表格的最上面，下面的分別填入去年和今年.

設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，填入表格中：

總產(chǎn)值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元去年 x y今年

根據(jù)上表，可以列出方組_________，

解得_____________.

（學(xué)生合作得很好，師生很快就完成了這個(gè)例題的解答）

片斷三：變式追問

師：若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

如果設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元.

請(qǐng)同學(xué)們完成下表：

總產(chǎn)值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元去年 200今年 780

根據(jù)上表，可以列出方組______________，

（學(xué)生動(dòng)手解這個(gè)方程組，發(fā)現(xiàn)解法很煩瑣）

師：有沒有其他的方法，使列出的方程組比較簡(jiǎn)潔？

經(jīng)過思考，有學(xué)生提出可以間接設(shè)未知數(shù)，如設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，計(jì)算方便.

片斷四：跟蹤練習(xí)

（1）一、二班共有100名學(xué)生，他們的體育達(dá)標(biāo)率（達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率）為81%，如果一班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.%，二班的達(dá)標(biāo)率為75%，那么一、二班的學(xué)生數(shù)各是多少？

（2）醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營養(yǎng)品，每克甲原料含0.5個(gè)單位蛋白質(zhì)和1個(gè)單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7個(gè)單位蛋白質(zhì)和0.4個(gè)單位鐵質(zhì)，若病人每餐需要35個(gè)單位蛋白質(zhì)和40個(gè)單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？

說明：第1道題在獨(dú)立練習(xí)5分鐘后，有一半學(xué)生解出；第2道題在10分鐘后僅有兩個(gè)學(xué)生答出，接著由于時(shí)間原因，老師將PPT上準(zhǔn)備好的表格展示出來.

解：設(shè)每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：

甲原料各x克乙原料各y克所配制營養(yǎng)品其中所含營養(yǎng)品其中所含鐵質(zhì)

二、應(yīng)用題教學(xué)：用力在何處

以下由上文中的教學(xué)案例出發(fā)，具體說說對(duì)應(yīng)用題教學(xué)的相關(guān)思考.

1.應(yīng)用題教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生讀取信息

我們都知道，波利亞在名著《怎樣解題》［1］的“一段對(duì)話”下，反復(fù)問“我應(yīng)該從哪兒開始？”當(dāng)我們向?qū)W生講解應(yīng)用問題的求解時(shí)，這個(gè)“我應(yīng)該從哪兒開始”是很關(guān)鍵的.就應(yīng)用題教學(xué)來說，首先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀取情境中的信息是十分重要的，比較情境問題中有哪些數(shù)據(jù)？有哪些關(guān)鍵詞句？有哪些是提供等量關(guān)系（或不等關(guān)系）的句子？有哪些是提供要設(shè)元的信息？這些追問，對(duì)于應(yīng)用問題的進(jìn)一步求解都是重要的.在這個(gè)意義上看，上文案例中，教者設(shè)計(jì)了一組“潛伏訓(xùn)練”讓學(xué)生先體驗(yàn)、熱身了情境問題的一些等量關(guān)系，這是有積極意義的，對(duì)于進(jìn)一步開展例題教學(xué)是有幫助的.但是，在例題呈現(xiàn)后，僅僅讓一個(gè)學(xué)生讀了一下題目，教者就迫不及待地開展“專業(yè)指導(dǎo)”，置學(xué)生的獨(dú)立思考于不顧，牽引著學(xué)生跟著自己思維走，并“順利”地導(dǎo)出表格分析法.筆者以為，這種順利的過程，恰恰忽略了引導(dǎo)學(xué)生自己讀取應(yīng)用問題信息的必要環(huán)節(jié)，不利于學(xué)生解題能力的培養(yǎng).可行的操作是，學(xué)生讀題后，安排學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘后，請(qǐng)學(xué)生回答你讀出了什么信息？有哪些數(shù)據(jù)信息？這些數(shù)據(jù)之間有何關(guān)系？你覺得怎樣把這些關(guān)系簡(jiǎn)明地表示出來等設(shè)問后，自然地引導(dǎo)出表格分析法.

2.應(yīng)用題教學(xué)，要幫助學(xué)生分析信息

當(dāng)學(xué)生能從背景豐富的問題情境中解讀出、讀取全信息（數(shù)據(jù)或重要詞句）后，進(jìn)一步分析、梳理信息是很關(guān)健的.比如上文提及的列表法就是一種很有意義的分析、梳理信息的方法，這也是執(zhí)教者預(yù)設(shè)該課時(shí)的主要目標(biāo)之一，即向?qū)W生傳遞表格分析法.但是從課堂教學(xué)情況來看，教者偏重了“教表格法”，淡化了讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)表格.所以在后來“片斷四”中兩個(gè)練習(xí)鞏固時(shí)，學(xué)生對(duì)第2道應(yīng)用題的求解在規(guī)定時(shí)間內(nèi)仍然沒有找到好的分析方法，所以教師又只能將準(zhǔn)備好的PPT展示一下，讓學(xué)生再次模仿、聽講，又一次忽略引導(dǎo)學(xué)生自主分析、發(fā)現(xiàn)表格的方法.順便指出，信息分析、梳理的方法除了表格法以外，針對(duì)不同的問題情境或類型，還有很多不同的法，比如圖示法（線段圖、維因圖、思維導(dǎo)圖等）、直接構(gòu)建等量關(guān)系等.

3.應(yīng)用題教學(xué)，要注重培養(yǎng)學(xué)生的建模思想

4.應(yīng)用題教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí)

多年的應(yīng)用題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，不少學(xué)生在求解應(yīng)用問題時(shí)往往只注意列方程或不等式，然后就是求出方程的解（不等式解集），給出答語，就匆忙結(jié)束.有些學(xué)生設(shè)的未知數(shù)非?！昂?jiǎn)潔”：沒有單位，沒有說清楚這個(gè)未知數(shù)“所指”，這樣做就給后續(xù)解出方程的解后不知道回代未知數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，出錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn)自然會(huì)增大.所以，在應(yīng)用題教學(xué)中，我們需要培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí).這里有這樣一些關(guān)于檢驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，第一，檢驗(yàn)所求解是否是所列方程或不等式的解（特別是，分式方程的解需要有驗(yàn)根的步驟）；第二，求出的解是否符合所設(shè)的未知數(shù)在問題背景中的實(shí)際意義（即應(yīng)用題的解往往要“雙重檢驗(yàn)”）；第三，檢驗(yàn)意識(shí)還是倡導(dǎo)學(xué)生一種“求出答案并繼續(xù)前進(jìn)”（舍費(fèi)爾德語）的反思追求.當(dāng)然，在這里，筆者還想簡(jiǎn)要提及李秉彝先生關(guān)于“答案、過程、表達(dá)”三者關(guān)系的論述，值得我們關(guān)注：首先，為什么答案是重要的？假如你在造一棟住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因?yàn)閮H僅是過程正確而向建筑商支付報(bào)酬嗎？其次，為什么過程是重要的？你可以在過程做錯(cuò)的情況下，得到正確的答案，但我不肯定你下次還會(huì)那么幸運(yùn).第三，為什么表達(dá)是重要的？如果你說得很好，你可以通過一扇門，我是說，你可以把所要表達(dá)的意思傳遞給門后的那個(gè)人，如果你寫得很好，你至少可以通過三扇門，我是說，你可以把所要表達(dá)的意思傳遞給你老板的老板的老板.只有完美的表達(dá)才可以傳遞得更遠(yuǎn).

三、寫在最后

應(yīng)用題的解題教學(xué)是初中階段的重點(diǎn)和難點(diǎn)，上文只是結(jié)合一次聽課案例闡釋了一些初步思考，并不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待更多同行從案例研究的方向展開研討.

1.波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

3.唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知模型及教學(xué)研究［D］.南京：南京師范大學(xué)，2008.

4.李善良.理清核心主線，優(yōu)化教學(xué)過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（10）.

5.劉東升.對(duì)時(shí)育物，有效追問——淺論初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的追問藝術(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（4）.

6.羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

7.史寧中.數(shù)學(xué)的抽象［J］.東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2008（5）.FH